Teoria Automatica

CON

Diagrammi di Bode:

|()| ()

Diagramma di Nyquist: [()] [()]

Al diminuire di la curva si

ingrandisce

=

In si ha:

1

)

( = =⁡−

)2

( 2

1+2 + 2

> 0⁡⁡⁡⁡,⁡⁡⁡⁡ <

1

)

= 0:⁡( = ={

Se 2 < 0⁡⁡⁡⁡,⁡⁡⁡⁡ >

1− 2

• <

CON > 0,

Si ha lo stesso andamento del modulo, ma la fase è RIBALTATA rispetto al caso con quindi anche il diagramma

di Nyquist è ribaltato.

PARAMETRI CARATTERISTICI DELLA RISPOSTA IN FREQUENZA

()⁡⁡⁡ ≥ 0 ()

() = ⁡⁡⁡ → ⁡⁡⁡⁡ = ∙ |()| ∙ cos⁡( + ())

|(0)|

|(0)|

√2

• |()|

= max

PICCO DI RISONANZA: ≥0

• )|

⁡⁡ℎ⁡ =|(

PULSAZIONE DI RISONANZA:

• |(0)|

MODULO IN CONTINUA: |(0)|

• )|

⁡⁡ℎ⁡|( =

BANDA IN 3dB: √2

|(0)|

|( )| = →⁡trasformandolo |( )| = |(0)| − 3

in dB si ottiene:

√2

Si riduce di 3dB rispetto al valore in continua.

➔ () = ⁡⁡⁡⁡ >

Fattore del 1° ORDINE +

1

() = ⁡⁡⁡⁡ >0

1+

(0) = 1 1

|()| = 2 2

√1+

Per trovare :

1 1 1

2 2

= → ⁡⁡⁡ = 1⁡⁡ → ⁡ =

2 2 √2 ||

√1+

|(0)| = 1

|(0)| 1

=

√2 √2

= 1

-

= 0

- 1

= ⁡⁡⁡⁡ →

- coincide con il punto di rottura

||

➔ () =

Fattore del 2° ORDINE

+ +

1

() = ⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡, > 0⁡ → > 0

dato che i parametri sono caratteristici del modulo, il caso con è uguale.

2

2

1+ + 2

(0) = 1 → 1 ∶

Per

|(0)| = 1 = 1

-

|(0)| 1

= = 0

-

√2 √2

→ 0 ∶

Per 1

> 1⁡ → ⁡⁡⁡ = {1⁡;⁡ }

- 2

|(0)| = 1 2√1−

1

→per = ⁡⁡ ∶ ⁡⁡⁡ =1

|(0)| 1

=

√2

√2 √2 2

> 0 → ⁡⁡⁡⁡⁡⁡ = √1 − 2

-

1

→per = ⁡⁡ ∶ ⁡⁡⁡ = 0

2

√

: :

Andamento di rispetto a Andamento di rispetto a e a

1 1 1

|( )|

= ⁡⁡⁡ → ⁡⁡⁡⁡ =

Per trovare si considera l’equazione:

√2 √2

2 2

2 2

√(1− ) ⁡⁡+⁡⁡4

2 2

√1

2 2 4

= − 2 + − 4 + 4

√2

Risolvendo questa equazione (e prendendo solo le radici positive) si ottiene:

SISTEMI INTERCONNESSI

SISTEMI CONNESSI IN SERIE

() () ≥ 0) ≥

Hp: NON ha modi nascosti (poli e zeri coincidenti con ed è PROPRIA (grado denom grado num)

()

()

() =

è data dal PRODOTTO tra le ()

() ()

… ()

1 2

() ()

() = … =

1 () ()

… ()

1 2

STABILITA’: (),

= 1, … ,

il sistema connesso in SERIE è STABILE se TUTTI i singoli sistemi sono STABILI

➔la interconnessione in serie mantiene la proprietà di stabilità.

SISTEMI CONNESSI IN PARALLELO

() () ≥ 0) ≥

Hp: NON ha modi nascosti (poli e zeri coincidenti con ed è PROPRIA (grado denom grado num)

()

()

() =

è data dalla SOMMA tra le ()

() () ()

() = + + ⋯ +

1 2

() ()+ () ()

() ()

1 2 1 2 2 1

() ()

= 2: () = + = + =

Con 1 2 ()∙ ()

() ()

1 2 1 2

STABILITA’: (),

= 1, … ,

il sistema connesso in PARALLELO è STABILE se TUTTI i singoli sistemi sono STABILI

➔la interconnessione in parallelo mantiene la proprietà di stabilità.

Nella connessione in serie e in parallelo non si riescono a compensare le instabilità del sistema (come può essere un

disturbo); quindi spesso si utilizzano sistemi in retroazione.

INTERCONNESSIONE IN RETROAZIONE NEGATIVA

() ()

() = =

1+() ()+()

() () ≥ 0) ≥

Hp: NON ha modi nascosti (poli e zeri coincidenti con ed è PROPRIA (grado denom grado num)

= ⋯ = = 0,

Se il sistema diventa:

1 ramo diretto

ramo in retroazione

()

() ()… ()

()

1 2

() ()

() = … = =

1 () ()… ()

()

1 2

() ()

()

= ∙ () ⁡⁡⁡⁡⁡ → () =

1+() 1+()

()

STABILITA’: () + ()

Il sistema interconnesso in RETROAZIONE è STABILE (internamente) se e solo se il polinomio

()) < 0.

(ovvero il denominatore di ha tutte le radici con

Non è garantito il fatto che se ho sistemi stabili ottengo un sistema interconnesso in retroazione stabile

(come invece succedeva con connessione in serie e in parallelo).

INTERCONNESSIONE TRA DUE SISTEMI

, = disturbi che interagiscono con il sistema

1 3

Delle 15 funzioni di trasferimento, 4 sono quelle distinte:

() () () ()

1

1 2 1 2

() = ,⁡⁡⁡⁡() = ⁡⁡⁡,⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡() = ⁡⁡⁡⁡⁡⁡,⁡⁡⁡⁡⁡() =

() () () () () () () ()

1+ 1+ 1+ 1+

1 2 1 2 1 2 1 2

STABILITA’ INTERNA , ,

Per ogni condizione a gli ingressi limitati in ampiezza corrispondono uscite limitate in ampiezza

1 2

, , , , .

1 1 2 2 () + ()

Il sistema in retroazione è STABILE INTERNAMENTE se e solo se il polinomio ha tutte le radici con

() < 0.

() ()

1 2

() ()

= ,⁡⁡⁡ =

1 2

() ()

1 2

() ()⁡⁡⁡, () ()⁡⁡⁡⁡

() = () =

1 2 1 2

() + () () < 0

Se il polinomio ha tutte le radici con , tutte e quattro le funzioni di trasferimento hanno poli

() < 0.

con Quindi i sistemi sono SIA A.S. SIA BIBO.

IL SISTEMA DI CONTROLLO E’ STABILE INTERNAMENTE SE E SOLO SE:

()⁡⁡⁡⁡⁡

() ≥ 0 ().

1) Non ci sono cancellazioni polo/zero con tra 1 2

() () < 0

2) deve avere tutti gli zeri con

 () () < 0

deve avere tutti i poli con

→

() ()

() = funzione di trasferimento D’ANELLO

1 2

() →

() = funzione di trasferimento D’ANELLO CHIUSO

1+()

STABILITA’ CON NYQUIST

STABILITA’ INTERNA: () ≥ 0 () ()

1) Non ci devono essere cancellazioni polo/zero con tra e

1 2

1 + () () < 0

2) deve avere tutti gli zeri con

()

 () = () < 0

deve avere tutti i poli con

1+() ()

Tramite il diagramma di Nyquist esteso della risposta in frequenza di si può studiare la stabilità del sistema.

PRINCIPIO DEGLI ARGOMENTI

⁡è ().

una curva chiusa orientata in senso orario che NON passa per i poli/zeri di

)…(− )

(−

1

() = (− )…(− )

1

() è una curva chiusa limitata che non passa per l’origine del piano complesso e compie intorno all’origine un

.

numero di rotazioni in senso orario pari alla differenza tra il numero di zeri interni a e il numero di poli interni a

= −

(),0

=

numero di zeri interni a

=

numero di poli interni a

():⁡

Per applicare il principio si deve scegliere e

= ()+()

() = 1 + () = → () = 1 + ()

()

= −

1+(),0

= ⁡ = ⁡ −

1+(),0 (),−1+0

() () > 0

= numero di poli di con

() () > 0

= numero di poli di con

= 0⁡ → + = 0⁡⁡ → ⁡⁡⁡ = − = ⁡ ⁡

Per avere stabilità: (),−1+0 (),−1+0 (),−1+0

() −1 + 0.

e non deve passare per il punto

CRITERIO DI NYQUIST

Il sistema in retroazione è STABILE INTERNAMENTE se e solo se:

() ()

() ≥ 0

1. Non ci sono cancellazioni polo/zero a tra e

1 2

−1 + 0

2. Il diagramma esteso di Nyquist non passa per il punto e compie intorno ad esso un numero di

() > 0 ().

rotazioni in senso ANTIORARIO pari al