Automatica - Teoria dei sistemi

Rappresentazione implicita ed esplicita di un sistema dinamico

Rq∈– y è il vettore delle uscite (degli effetti).R– Se D = 0 il sistema è detto strettamente causale.L’equazione dinamica è data da x(k+1) = Ax(k)+Bu(k), mentre la componentestatica da y(k) = Cx(k) + Du(k). Anche questa rappresentazione si presta aduna implementazione in real time, e siamo in grado di farlo con l’uso di unoschema di simulazione.A questa rappresentazione implicita possiamo associare una rappresentazioneesplicita, che è in funzione di x = x(0) con k=0 e di u(0), u(1), ..., u(k−1), u(k)0( k−1P −x(k) = Φ(k)x + H(k j + 1)u(j)0 i=0kP −y(k) = Ψ(k)x + W (k j + 1)u(j)0 j=0Guardando la rappresentazione implicita ci accorgiamo che è a tutti gli ef-fetti un’equazione alle ricorrenze. Come passare da una rappresentazione adun’altra? Dobbiamo ”sbrogliare” la ricorsione, in questo modo:− − − − −x(k) = Ax(k 1) + Bu(k 1) = A(Ax(k 2) + Bu(k 2)) + Bu(k 1) =2

− − −= A x(k 2) + ABu(k 2) + Bu(k 1)− − −(questo perchè x(k 1) = Ax(k 2) + Bu(k 2) )3 − − − −= A (Ax(k 3) + Bu(k 3)) + ABu(k 2) + Bu(k 1)e vado avanti cosı̀ fino a che non arrivo a k = 1, in cui ottengo:x(1) = Ax(0) + Bu(0)36Generalizzando, Xk k−1 k−j+1·A(k) = A x + j = 0 A Bu(j)0Ora chiaramente per trovare y(k) sostituisco x(k) dentro y(k), ottenendo:k−1Xk k−j+1y(k) = CA x + A Bu(j) + Du(k)0 j=04.1 Le matrici Φ(k), H(k), Ψ(k) e W(k)k- Φ(k) = A matrice di transizione nello statok−1- H(k) = A B matrice delle risposte impulsive nello statok- Ψ(k) = CA matrice di transizione in uscita(D se k = 0- W(k) = k−1CA B altrimentiQuest’ultima viene detta matrice delle risposte impulsive in uscita.Ancora una volta, la rappresentazione esplicita non si presta ad implementazioniin real time. Questo perchè col passare del tempo dovrei tenere traccia di tuttoil passato, il

Che equivale a dire avere un buffer infinito, cosa impensabile.

k k T kn TA = λ u v + ... + λ u v1 n1 n

viene detta forma spettrale della potenza k-esima della matrice AT

Chiamando c = v x , l'evoluzione libera sarà data da:

i 0i k knx (t) = c λ u + ... + c λ ul 1 1 n n1k

λ u rappresenta il modo naturale aperiodico. Caratterizziamo questi modi:

- 1° caso: λ > 0. Distinguiamo 3 ulteriori sotto casi:

* Quando 0 < λ < 1 l'evoluzione libera converge saltellando. Abbiamo un modo naturale aperiodico convergente.

* ∈ Quando λ (1, +∞) abbiamo un modo naturale aperiodico divergente.

* Quando λ = 1 il sistema non evolve ⇒ modo naturale aperiodico costante.

- 2° caso: λ = 0 ⇒ modo naturale alternante (vedi di seguito)

k k k|λ|= (-1)- 3° caso: λ < 0, -|λ| 37

A seconda di k pari o dispari esso sarà positivo o negativo.

= v x₀ a₀ b_0a bq 22c + cm = a bφ tale che: ( ccosφ = amcsinφ = bm

4.2 Periodo di campionamento e discretizzazione

Riassumendo un po’ il tutto, possiamo dire che:

• Sistemi a tempo continuo: leggi esponenziali o pseudoperiodiche con oscilla-zioni contenute dentro il termine esponenziale.
• Sistemi a tempo discreto: leggi di tipo potenza o pseudoperiodiche con oscil-lazioni contenute dentro il termine potenza.

Generalmente un processo è un sistema a tempo continuo. Ad ogni istantedi campionamento l’oggetto sensore (il campionatore) misura le uscite delsistema. Solitamente tra due istanti di campionamento passa lo stesso tempo,detto periodo di campionamento. −T = t(k + 1) t(k)38T non può mai essere nullo, poichè in natura non c’è niente che misura a tempocontinuo. Per semplicità assumiamo che il periodo di campionamento per gliingressi e per le uscite sia lo stesso (i due dispositivi sono sincroni). Se T èsincrono ai dispositivi di

variabile complessa. Per isistemi a tempo continuo avevamo usato l'operatore della trasformata di Laplace. Qui invece, ovvero nei sistemi a tempo discreto, usiamo la Trasformata Zeta.

4.3 Trasformata Z e sue proprietà

Mentre per sistemi a tempo continuo avevamo definito

L ∈ ℝ → ℝ: t ↦ sR C

Qui definiamo L ∈ ℕ → ℂ: k ↦ zN C

→f (k) : ℕ → ℝ

0 +∞

1X f (k)

F (z) = Z[f (k)](z) = kz

=0

Valida per funzioni sommabili in un certo dominio.

1) Se →-f (k) = a f (k) + a f (k) F (z) = a F (z) + a F (z)

1 1 2 2 1 1 2 2

Questa proprietà è nota come linearità

2) · -Z[f (k + 1)](z) = z F (z) z(0)

questa seconda proprietà prende il nome di Teorema dello shift in avanti

3) F (z)-Z[f (k T )](z) = Tz

4) z kZ[σ f (k)](z) = F σ

5) d· -z ·Z[k f (k)](z) = F (z)dz

Sulla base di queste proprietà riusciamo a fare tutto quello che ci serve.

41La nuova rappresentazione esplicita nel dominio della variabile complessa z

saràdata da: ( −1 −1− −x(z) = zC(zI A) x + [C(zI A) B + D]u(z)0−1 −1− −y(z) = zC(zI A) x + [C(zI A) B + D]u(z)0

Se, in un sistema a tempo discreto, abbiamo tutti autovalori reali possiamoscrivere nel seguente modo la matrice Φ(z):

zE(z)Φ(z) = − · · −(z λ ) .... (z λ )1 r

Come antitrasformo Φ(z)? Con il metodo dei residui:

z z· ·Φ(z) = R + ... + R1 r− −z λ z λ1 r

dove −z λ i·R = lim Φ(z)i zz→λi k kr=⇒ Φ(k) = R λ + ... + R λ1 r1 T

Se r = n (tutti autovalori reali e distinti), R = u v . Inoltre, in tal ca-i i iso rg(R ) = û , vale a dire che il rango dell’i-esimo residuo coincide con lai imolteplicità geometrica dell’i-esimo autovalore.

Vediamo il caso in cui l’ordine sia maggiore di uno. In tal caso,

zE(z)Φ(z) = m m− · · −(z λ ) ... (z^λ)1 r1 re consideriamo per semplicità il caso di autovalori reali. Avremmo m termini^{1−per z−}, m termini per z λ e cosı̀ via.^{1 2 2 zE(z)Φ(z) = =m m− · · −(z λ ) ... (z λ )1 r1 rzz z= R + R + ... + R + ...+1,1 1,2 1,m12 m− − −z λ (z λ ) (z λ ) 11 2 1z z z+R + R + ... + Rr,1 r,2 r,m i2 m− − −z λ (z λ ) (z λ ) rr r rdove −jm m−d (z λ )i ih ii·R = lim Φ(z)i,j −jmdz ziz→λ i 42 mr izE(z) zX X=}