Successioni e teoremi

M

,

= an an

i -

:

,

Posso -Econ <l E

riscrivere come :

la +

formula

b b

b

(a + a -

= -

liE l I

lan -Eam

Ecam z

>

> -

-

-

- +

-

Unicità il

limite

del successione esste

limite di una se

È Unico -M

Siaan3m

Proposizione IMer def M

5 41 an allora la

:

,

. Inferiormente

è limitata

successione superiormente

Limite

del

Esistenza

Teorema Se amaler heck

limitatezza

di se

e

,

def k

# ogni

in

com ;

allora particolare successione

, Negativamente

è Invece diverge positivamente

limitata

convergente successione

ogni

. ,

superiormente

È inferiormente

limitata

Diciamo tende

se oppure

converge

una reale

numero

successione un

che ad ,

a)

(-

( a) negativamente

positivamente

diverge

Diciamo a

+ è

Jh kl

Osserviamo ogni intervallo

che

Dimostrazione intorno

,

deftameJH

l kl

definizione

quindi per

a la

umite

di ,

, ,

lck

Scegliendo

41

5

prop

la

segue con

Limitatezza . . 1)

(ad R

ker H l

H =k +

1

esempio = =

-

,

Torema Se anal Rallora

e

segno

permanenza del

di per

defin deju

Hel Han panikae

e an

per

Ogni >

,

QUINDI ,

limam

Se dege

fo an na

allora lo delmi

stesso segno

Se anel

Teorema chel defr

carabinie

del e se

e

ed l

ambmCa (bm-al)

don

allora ha limite

,

, lan-RI E

scovere

posso

come

Dimostrazione

<bE)

(a) D

bla

- ↓ anche

van-liEl-Eonle

XXXXXX

l E

+ /// Grafico l

una successione che -

di

l E

+ Esiste in val

il

Quale

dopo

numero

un il

l du e due formand

righe

ore stasca

di tra una

,

l Prendo

+ E più

e

valore ed

↑ piccolo

di

/ un esiste

cá - quale il

alos numero dopo

un il

m

l E ~

- è

della strusca

Valore una

tra

successione

più

~ streta

ancora

- M

M AnCbnCm

↑

defe

An stuscia

dentro alla

sa è

De Quindi

compreso :

defe ,

En sentas strscia

alla

sta l-Elbmcl

defi

ve E

+

che

dimostrare

tesi devo 2)

<ank (

defl-E

E so +

sappiamo

No che : NON Le

& defan

delle

Quat due parti

chiediamo USIAMO

bn In

più

Interessa che

sapere

di

c ,

Em sta sopra sga inferiore

la

sta E)Gl

an sotto

che (l

rich

la dogu

o E

+

-

SUPERIORE . dm>

Se an

che

sappiamo non

Nulla

Ne facciamo della

C Ne che

caviamo

n :

disuguaganza Destra

di Alla STESSOMODO

, ,

lmllm

Se ne

sappiamo ce

non

che l EbmLl E

+

facciamo Nulla disuguaguan

della -

Di SINISTRA

2 è

Essendo ciascuna proposizione

che

Il def

vale

carabinieri

tedrera del anche utilizzare

possono

si insieme

vera ,

,

l e pers l def-

e d

se non

=+ a si

Quindi

se e

abbiamo vere

sono tutte

che

, Ch an che

la

serve successione dimostrazio

risultato

ricava della

basta subito il

,

spinge Utilizza

es Tedrea

prmo Teorema

del

del Ne .

Stessa le-do

Confranto la

basta

cosa per ,

. SOPRA

SPINGE

SUCCESSIONE CHE .

Quindi è

L'uso carabinieri

tedrena

del Questo

dei :

Se lam è vanno

successioni

due

tra che nella stessa direzione

la streta

successione ,

= costretta ad andarci anche lel .

Continuità Una f

M A a

R per e

funzione un ceno X

che

: (Ver g)

A e l

: dominio

Verifica di

,

VExm3nCA (xm f(x)]

f(xm)

xx =

=> -

, e

f punto

ogni

dice

si in

continua continua

se

in te ; fe

A

di dice che

sempucemente

si continua

Intorni e

e

Se 8 Xer

una funzione punto

reale di

e un

fe

camb e

se

accomuladone allora

di Xe

in

continua

limf(x) f(x

sono se =

Se f Xea

Insiemi Aer fe

: che continua

e dice

si

,

Se

X

In AnV

FUe : fexey

Ig JVe Ex xe

, ,

Se e

8 a

b

ogni

continua in punto di un sotoinsieme dice

si

di

e b e

f

S se punto

ogni

por continua

continua su

che in

i Co(a)

fe

A e

che f si

e

sdice continua scove

di ,

Se f Azi

Con posso

e : solvere come

definizione

la

, (Ix-1) f(x)()]

Exea (f(x)

Voto

Veso =

: -

,

,

Teorema dani

↑ monotona

successione

di successione monotona

Decrescente

Debolmente

In crescente

particolare debolmente

una successione

Limite

ha ,

. Inferiore

superiore

estremo

ha come Limite il suo

Una e gescente

successione crescente desalmente

anche Ros-a

(l

le

Dimostrazione proviamo

e

= che

supam

an> li al

Em

per an

definizione est

di suo

. ,

defe Sempre

Basta h

hal per

provare am

don

per >

che .

hll at

estremo

Definizione ge esste

da

di sup segue

.

th

an per

Tale che della successione

monotonia

,

tr i an

an

= ,

Teorema Bolzano-Weerstrass è

Se

M successione

di una

Xm

Limitata Convergente

Successione

Ha una

alle sono Un

Do

Dimostrazione Xm1

& o

abbiamo : Em XmElo3

Ao

bo]

[Ao

Io

CHIAMO = :

=

, È insere infinito

un

INTERVALL Id

mo I

mo

[ao [mo bo]

Utilizzerò =

bisezione

di

mesodo

il ,

, [3

Em xmel3 Agen

Ab

/1

....... :

= : m

Do

& è

Uno

o Mo infinito

due

ruti

de due e

o

Se la c de

successione

che

sappiamo parità scelgo

A quello sinistra

di

Numero

un nella parte

volte

di

finito .

vorrà cadrà

di un

sinistra dire che ad è

se infinito poniamo

Numero parie Quind

Infinito vole Nella

di , ,

andró Il

a

Destra cercare

e Quindi b]

[a

I

be

Ro

a

Nell =

mo

parte

Limite Ora

destra = =

di ,

. ,

L'ALTRA

SPACCARE

POSSIAMO DUE

In as

As

Se e sarà

potró

così infinito

non

intervallo scelgo che

oreneo

, INFINITO

più

Una pressione ancora grande Do

. mobi

Avrà =

a =

:

È infinito 3

Em

A, xme] e

= : 1

Posso più

prendo

continuare questo modo sertre piccolo

in intervallo

un ,

avró Iz Az

cosi bz

da e

spezzo due ac

lo e

in &3

via ,

, , ...

al, pate

Mi sicuramente

que

sto successioni

quindi

geando (d

e se

e

la crescente

desamente

di

successione (esss)

br

<Pk è

Do

&. & desamente decrescente

Per è

Io

l E succ

ter umitata

al

& ronotona sup

>

- .

. - TOU

E

QUINDI IL NON

SUO UMITE

Ado brak=

bra Quindi

= l

]

[a b br=a auna

.. . a

> ascovo

-

Oteniamo l bx

a =

quindi =

Successioni Si

Cauchy com3m è

che

dice una

di di

successione

Vaso Um niIam-an !

Cauchy E

In :

Se ,

,

Caucy

Una l'osollazione

definiamo

successione sempre

di oscilla se

meno ,

f a

di un

su

una funzione insere

suf-

w(f 1) f

=

. laucy

Dire e equivale

di

successione che

ce dire

una ha :

3)

lim (an [n 0

w =

=

,

0

k +

-

Una è laulay

successione succes

se

di man della

che termini

mand i

più

diventano vioni

vanno tra

sone cors

di

Avanti , .

ER

Cauchy

Teorema Una Cauchy

è di

di sola

successione converge se

Amin

andler zin

m abbiamo

Dimostrazione eso

fissato es :

lam-lIE(an-11E

Per disuguaguanza trangolare +

/(am-1)

an) /Am-11

-1))

Can An-Ri

lam 22

-

=

-

Criterio Se

della radice perdoni se

am me

so

ma aute

lim R

lim

An

allora anche =

m +

> 0

-

Sia f

Limite

↑ di funzione funzione tale

reale

una che sia

tro

ler

f

camf;

punto dicamo rende a

un accomulazione

di che

di

per a

tende se

che

X +do Ke(komf)n( al

FUeFe JeR fexeu

+

: ,

, ,

limf(x) =

In scriviamo

tel caso

La Xe-d

estende anche al

definidone si umiti I

Sia f

2 Se

reale

funzione -do

una ge

tale :

...

FUEFe e]

: glaeu

(comf)1]-o

Jer e , ,

, l

emfx

SCOVIAM = 1 ER

limf(x)

Posso e

scoverla Ex

con =

Ve>0 8

dom

Je :

I ER

> so e

x

. , ,

[xz -l

acfk)

l 2]

+

= - r

Sia

3 & e punto

Xe

sa accomulazione

una di

reale

funzione e un

f

domf re

l

diciamo per

tende rende

e

che la

a : che

funzione X

ad

FUele KelamfinV-Exa f(xeU

JVetz

a se : ,

,

limf(x l

scaviaro =

Teorema b)

la

Sia f

M esistenza

di degli continua con

zen su ,

Je la f(2)

& by

flb)

cas o

e :

albra

ascra

es =

, ,

f(a) <olf(d)

supponiamo che

Dimostrazione

Exe f(x)

b] <03

[a

A Essendo

:

sia estrema sup

+

= uminata un

ha

, ceja

*

I bl puó