Analisi matematica 1 - Teoremi fondamentali per l'esame

Teorema Fondamentale dell'Algebra

Prima di enunciarlo servono 2 definizioni.

Radice di un polinomio: dato un polinomio a coefficienti reali o complessi, si può dire che a ∈ C è una sua radice (o un suo zero) se il polinomio si annulla in x = a

Molteplicità di una radice: dato un polinomio a coefficienti reali o complessi e sia n > 1 un numero naturale, si dice che a è una radice di p(x) con molteplicità n ⇔ p(x) divisibile per (x-a)ⁿ ma non per (x-a)ⁿ⁺¹

Ora possiamo tentare col teorema fondamentale dell'algebra:

Ogni polinomio a coefficienti reali o complessi, di grado maggiore o uguale a 1, ammette almeno una radice complessa

Conseguenze

• Ricordando che C è un campo, e che un campo si dice algebricamente chiuso se ogni polinomio a coefficienti nel campo ammette almeno una radice appartenente ad esso, per il teorema fondamentale dell'algebra si può dire che il campo dei numeri complessi è algebricamente chiuso
• Corollario: ogni polinomio a coefficienti reali o complessi di grado n ammette in C esattamente n radici, ciascuna contata con la sua molteplicità

Quindi, perché le radici di un polinomio di grado n sono al massimo n?

Ruffini dice che ogni volta che troviamo una radice x₀ del polinomio, ne possiamo e dobbiamo mettere in evidenza (x-x₀) e quindi P(x) = (x-x₀) q(x)

Se si continuasse, P(x) = (x-x₁)(x-x₂) q(x)

fino ad arrivare a: P(x) = (x-x₁), ..., (x-x_n)

^{LeonCarlsono) le Max n radici quindi due}

Formula di Eulero:

eⁱθ = cos θ + i sin θ    e^iπ = -1

a = x + ib    a = x - ib    |z|² = x² + b²    z = ρ(cos x + i sin x)    ρ = e^iθ

z/ρ = e 0

prendiamo ε = d_x(l₁, l₂) / 3

• ∃ ∀ ν₁ : n > ν₁ d_x(a_n, l₁) < ε
• ∃ ∀ ν₂ : n > ν₂ d_x(a_n, l₂) < ε

n > ν = max(ν₁, ν₂)

⇒ 3ε = d_x(l₁, l₂) < d_x(l₂, a_n) + d_x(a_n, l₂) < 2ε

3ε < 2ε

Teorema della Permanenza del Segno

• {a_n} ⊆ ℝ

1^a versione:

HP: lim a_n = l > 0

TH: ∃ ∀ ν : n > ν ⇒ a_n > 0

Dimostrazione: proponi ε = l / 2

• ∃ ∀ ν : n > ν |a_n - ε| < ε ⇒ -ε < a_n - l + ε ⇒ l/2 < a_n < 3l/2 ⇒ a_n > 0

2^a versione: dimostrazione per assurdo della 1^a versione

proponi per assurdo TH: a_n < 0

• |a_n - ε| < ε ⇒ -ε < a_n < ε ⇒ l/2 < a_n < 3/2 < ε ⇒ a_n < 0

Teorema del Confronto (dei due Carabinieri) (Successioni)

• {a_n} ⊆ ℝ
• {b_n} ⊆ ℝ
• {c_n} ⊆ ℝ

a_n ≤ c_n ≤ b_n ∀ n ∈ ℕ

HP: lim a_n = lim b_n = l ∈ ℝ

TH: lim c_n = l

Dimostrazione: proponi ε > 0

• ∃ ∀ ν₁ : n > ν₁ ⇒ l - ε < a_n < l + ε
• ∃ ∀ ν₂ : n > ν₂ ⇒ l - ε < b_n < l + ε

ν = max(ν₁, ν₂) n > ν ⇒ l - ε < a_n ≤ c_n ≤ b_n < l + ε

⇒ l - ε < c_n < l + ε

|C_n - l| < ε

f(c) ≤ 0 STOP

an+1 = an

bn+1 = cn

an = cn

bn = cn

f(an) < 0

f(bn) > 0

3^apossibilità: bn - an = b₀ - a₀ = dunque a ≤ an ≤ bn ≤ b ∀ n∈N

Osserviamo che lim an = sup an = 3₂

lim bn = inf bn = 3₂

lim (bn - an) = lim b - a = 0 = 3₂ - 3₂ = 3₂ - 3₂ - 3₂

lim P(an) = P(3) < 0

lim P(bn) = P(3) > 0

TEOREMA DEI VALORI INTERMEDI

f: [a,b] → lR

f ∈ C([a,b])

HP: f(a) < l < f(b) TH: ∃ 3 ∈ [a,b] : P(3) = 1

DIMOSTRAZIONE

Applicare il teorema degli zeri:

g(a) = P(a) - λ < 0 → a - λ < 0

g(b) = P(b) - λ > 0 → b - λ > 0

TH:∃ 3: g(3) = P(3) - λ = 0 → P(3) =

TEOREMA DI WEIERSTRASS

(X,d) K→lR f continua in K K compatto e K ≠ Ø

TH: ∃ x₁,x₂ ∈K: P(x₁) ≤ P(x) ≤ P(x₂) ∀ x ∈ K

x₁ si dice punto di minimo per f

x₂ si dica punto di massimo per f

DIMOSTRAZIONE

sia M = sup {f(x) | x∈K}

avendo un estremo superiore M esiste una {xₙ} che fa convergere la f(x) f(x) di massimo

Ci sono 2 ipotesi con:

lim f(xₙ)=M

vi è un caso particolare: _n→∞(a_n)=1 ovvero a_n≈_vo^avem.b_n

Comunque vediamo come applicare questo criterio:

1. eliminiamo sia dal numeratore che dal denominatore gli infiniti di ordine inferiore
2. ci costruisce in automatico la serie da confrontare con la prima
3. se il termine non si presenta sottoforma di rapporto, guardiamo il limite e ricordando i limiti notevoli cerchiamo di trarre un termine b_n, _n→+∞^lim (_n→+∞)/b_n

CRITERIO DEL RAPPORTO (o di D'Alembert)

_n→∞ e_n=0, e l ∈ ]0,+∞[ supponiamo che ∃ _n→∞ ^lim (_n+1/a_n)= l

• a) _n→∞ ^lim (_n+1/a_n)= l 1 ⇔ Σ _n,∞ a_n diverge
• c) _n→∞ ^lim (_n+1/a_n)= l =1 può essere tutto ie criterio è inutile

1. a) sia ε>0: ∈ l+ε̅n ⇒ _n→∞ a_n+1/a_n < l+ε0: l-ε>1 ∃ ̅n∧∀n>̅n ⇒ _n→∞ a_n+1/a_n l-ε aₙ₊₁ ↓
2. non crescente se aₙ ≥ aₙ₊₁ ↘

DEFINIZIONE DI FUNZIONE NULLO

f si dice infinitesimo per x→x₀ lim_x→x₀ f(x) = 0

SERIE CONOSCIUTE

• serie di Mengoli ∑1/n(n+1), converge a 1
• serie geometrica qⁿ
• serie armonica generalizzata 1/n^α {α > 1 converge | α ≤ 1 diverge positivamente}

DEFINIZIONE DI INTEGRALE SECONDO RIEHMANN

f: (a,b) → ℝ una fz a scalino

1. limitato: ∃K>0: |p(x)| ≤ K ∀x∈ℝ
2. nulla fuori di un intervallo: ∃(a,b): f(x)=0 ∀ x ∉ (a,b) costante a tratti
• {f: ℝ ⊆ ℝ → ℝ "a scalino" = (p): ∀(x) ∈ f(x) = p(x)
• cosse di fz a scalino maggiorati}
• {g: ℝ ⊆ ℝ → ℝ "a scalino" = (p): ∀(x) ∈ f(x) = p(x)
• cosse di fz a scalino minorati}
A⁺ = ∫fdνdx | ϕ ∈ S⁺ } ⊆ ℝA⁻ = ∫gdνdx | ϕ ∈ S⁻ } ⊆ ℝ

se ϕ ∈ S⁺ ⊆ ϕ ∈ S⁻ p(xₙ) = ∫fdν dx quindi A- e A+ sono classi non vuote e separate

in particolare sup(A⁺) = inf(A⁻)

f si dice integrabile secondo Riemann su ℝ sup(A⁺) = inf(A⁻)

si scrive ∫ f ∈ R(ν) e si pone ∫ fun dx = inf(A⁺) - sup(A⁻)