Teoremi sulle successioni numeriche

Teorema sulla continuità del limite

∀n ∈ ℕ, f_n continua

Se f_n → f uniformemente, allora f è continua.

Teorema sull'inversione del limite

Se f_n → f uniformemente, allora:

lim_x→x0 (lim_n→+∞ f_n(x)) = lim_n→+∞ (lim_x→x0 f_n(x)).

Teorema di passaggio al limite sotto il segno di integrale

Se f_n è continua su [a,b] e f_n → f uniformemente, allora:

lim_n→+∞ ∫_a^b f_n(x) dx = ∫_a^b f(x) dx.

Utilizzo questo teorema quando mi trovo davanti ad un integrale che non so calcolare.

Esempio - Prova 2008

lim_m→+∞ ∫₀¹ (sen [x/m] + 1) dx = ∫₀¹ 1 dx = 1

f_m(x) → 1 = f(x)

Calcolo g_n per vedere se è uniforme:

g_n = sup_x∈[0,1] |sen [x/m]|

Per 0 ≤ x ≤ π/2, posso togliere il modulo:

g_n = sup_x∈[0,1] |sen [x/m]| ≤ sen [1/m] → 0

Per 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ x/m ≤ 1/m → 0 ≤ sen [x/m] ≤ sen [1/m]

Teorema sulla continuità del limite

∀n ∈ ℕ, f_n continua

Se f_n → f uniformemente, allora f è continua.

Teorema sull'inversione del limite

Se f_n → f uniformemente, allora:

lim_x→x0 (lim_n→+∞ f_n(x)) = lim_n→+∞ (lim_x→x0 f_n(x)).

Teorema di passaggio al limite sotto il segno di integrale

f_n continua su [a,b]

Se f_n → f uniformemente, allora:

lim_n→+∞ ∫_a^b f_n(x) dx = ∫_a^b f(x) dx.

Utilizzo questo teorema quando mi trovo davanti ad un integrale che non so calcolare.

Esempio - Prova 2005

lim_n→+∞ ∫₀¹ (sen(x/n) + 1) dx = ∫₀¹ 1 dx = 1

f_n(x) → 1 = f(x)

Calcolo δ_n per vedere se è uniforme:

δ_n = sup_{x ∈ [0,1]} |sen(x/n)|

Per 0 ≤ x ≤ π/2, posso togliere il modulo:

α_n = sup_{x ∈ [0,1]} sen(x/n) ≤ sen(1/n) → 0