Teoremi limiti e successioni

Teoremi limiti e successioni

Primi teoremi sui limiti

Teorema di unicità del limite

Se per x che tende a x₀ la funzione f ha limite l, allora tale limite è unico.

Teorema della permanenza del segno

Se lim_x→x0 f(x) = l, con l ≠ 0, allora esiste un intorno I di x₀ tale che:

• f(x) > 0 ∀ x ∈ I, x ≠ x₀, quando l > 0;
• f(x) < 0, quando l < 0.

Teorema del confronto

Se le funzioni h(x), f(x), g(x) sono definite tutte in D ⊆ ℝ, e h(x) ≤ f(x) ≤ g(x) per ogni x ∈ D e inoltre

lim_x→x0 h(x) = lim_x→x0 g(x) = l, allora anche:

lim_x→x0 f(x) = l.

Il limite di una successione

lim_{n → +∞} a_n = +∞ se, fissato ad arbitrio un numero M positivo, è possibile determinare un corrispondente numero p_M positivo tale che a_n > M, ∀n > p_M. La successione si dice divergente positivamente.

lim_{n → +∞} a_n = -∞ se, fissato ad arbitrio un numero M positivo, è possibile determinare un corrispondente numero p_M positivo tale che a_n < -M, ∀n > p_M. La successione si dice divergente negativamente.

lim_{n → +∞} a_n = l se, fissato ad arbitrio un numero ε positivo, è possibile determinare un corrispondente numero p_ε positivo tale che risulti: |a_n - l| < ε, per ogni n > p_ε. La successione si dice convergente.

lim_{n → +∞} a_n non esiste se a_n è non divergente e non convergente. La successione si dice indeterminata.

I teoremi sui limiti delle successioni

I teoremi relativi ai limiti di funzioni sono validi anche per le successioni. In particolare vale il teorema del confronto.

Teorema del confronto

Date le successioni a_n, b_n, c_n, tali che a_n ≤ b_n ≤ c_n, ∀n ∈ ℕ, se lim_{n → +∞} a_n = lim_{n → +∞} c_n = l, allora è anche lim_{n → +∞} b_n = l.

Date le successioni a_n, b_n tali che a_n ≤ b_n ∀n ∈ ℕ, se lim_{n → +∞} a_n = +∞, è anche lim_{n → +∞} b_n = +∞; se lim_{n → +∞} b_n = -∞, è anche lim_{n → +∞} a_n = -∞.

Teorema del limite di una sottosuccessione

Se una successione a_n ammette limite l ∈ ℝ, oppure +∞ o -∞, per n tendente a +∞, allora ogni successione estratta ammette lo stesso limite per n tendente a +∞.

Teorema del limite delle successioni monotone

(contenuto mancante per il teorema specifico)