Teoremi sulle serie numeriche

DIMOSTRAZIONE SERIE GEOMETRICA

Richiamiamo la Formula che esprime la somma dei termini di una successione geometrica di ragione q ≠ 1:

_Σⁿk=0 q^k = ^1-qn+1/_1-q

∀ q ≠ 1 , n ≥ 0

Dunque se q ≠ 1:

s_n = 1 + q + q² + ... + qⁿ = ^1-qn+1/_1-q

Se invece q = 1 abbiamo:

s_n = n

Prendendo il limite, per n → +∞, otteniamo:

lim _n→+∞ s_n = {

• ¹/_{1 – q} se -1 < q < 1
• ∞ se q > 1 oppure q = 1
• non esiste se q ≤ -1

Pertanto la serie (detta serie geometrica di ragione q)

∑^+∞_n=0 qⁿ DOVE

CONVERGE se -1<q≤1 ed ha per somma ¹/_{1 – q}

DIVERGE positivamente se q ≥ 1

IRREGOLARE se q ≤ -1

SERIE DI MENGOLI

DIMO

STRAZIONE SERIE DI MENGOLI

Sia a_n = ¹/_n(n+1), n ≥ 1. Consideriamo la serie di Mengoli:

^∞∑_n=1 ¹/_n(n+1) = ¹/_1·2 + ¹/_2·3 + ... + ¹/_n(n+1) + ...

Poiché ¹/_n(n+1) = ¹/_n - ¹/_n+1 la ridotta n-esima è

s_n = ¹/_1·2 + ¹/_2·3 + ... + ¹/_n(n+1) =

= (1 - ¹/₂) + (¹/₂ - ¹/₃) + (¹/₃ - ¹/₄) ... + (¹/_n - ¹/_n+1) =

= 1 - ¹/_n+1

Passando al limite:

lim_n→+∞ s_n = 1

Dunque la serie di Mengoli è convergente e ha per somma 1 (^∞∑_n=1 ¹/_n(n+1) = 1).

SERIE TELESCOPICA

∑_n=m^+∞(a_n - a_n+k)

DIMOSTRAZIONE SERIE TELESCOPICA

Sia {a_n} una successione di numeri reali. Sia ∑_n=0^∞(b_n - b_n+1) una serie telescopica dove a_n = b_n - b_n+1.

Essendo, per queste serie,

s_n = a₀ + a₁ + a₂ + ….. + a_n = (b₀ - b₁) + (b₁ - b₂) + (b₂ - b₃) + ….. + (b_n - b_n+1)

s_n = ∑_k=0ⁿ(b_k - b_k+1) = b₀ - b_n+1

risulta che il carattere della serie coincide con quello della successione {b_n}.

Se lim_n→∞ b_n = L ⇒ lim_n→∞ S_n = b₀ - L ↔ ∑_n=0^∞ (b_n - b_n+1) = b₀ - L

(teorema succ. estratte)

Se lim_n→∞ b_n = +∞ ⇒ lim_n→∞ S_n = -∞ ↔ ∑_n=0^∞ (b_n - b_n+1) = -∞

Se lim_n→∞ b_n = -∞ ⇒ lim_n→∞ S_n = +∞ ↔ ∑_n=0^∞ (b_n - b_n+1) = +∞

Se {b_n} oscilla ↔ {S_n} oscilla ↔ ∑_n=0^∞ (b_n - b_n+1) oscilla

SERIE ARMONICA

∑_n=1^∞ 1/n

DIMOSTRAZIONE SERIE ARMONICA

Per dimostrare la divergenza della serie armonica, prendo come riferimento la successione a_k:

a_k = (1 + ¹/_k)^k

Si tratta di una successione crescente per k→∞. Il limite della successione per k→∞ è anche un limite notevole, molto conosciuto, che tende al numero di Nepero (e):

lim_k→∞ (1 + ¹/_k)^k = e

Pertanto, la successione è crescente e convergente al numero di Nepero (e). Posso affermare che:

e > (1 + ¹/_k)^k ∀k ∈ N⁺

Applico il logaritmo a entrambi i membri. Ottengo una disequazione equivalente:

log e > log(1 + ¹/_k)^k

Sapendo che il logaritmo dell'esponenziale è 1:

1 > log(1 + ¹/_k)^k

Applico la regola dell'esponente di un logaritmo:

1 > k · log(1 + ¹/_k)

Con un semplice passaggio algebrico ottengo:

1/&sub>k > log(1 + ¹/_k)

Poi applico la regola del rapporto di un logaritmo:

¹/_k > log_{(k + 1)} – log_k

Quest'ultima disequazione mi fa capire che la successione 1/k è sempre maggiore alla successione log(k+1)-log k. Calcolo la somma per k→n a entrambi i membri della disequazione:

ⁿ∑_k=1 1/k > ⁿ∑_k=1 log_{(k + 1)} – log_k

Nel membro di sinistra c'è la serie armonica. Quindi, la serie armonica è maggiore alla serie log(k+1)-log k. Questo mi permette di studiare il carattere della serie armonica per confronto con la serie log(k+1)-log(k).

La serie ⁿ∑_k=1 log_{(k + 1)} – log_k si sviluppa in questo modo:

ⁿ∑_k=1 log_{(k + 1)} – log_k = (log₂ – log₁) + (log₃ – log₂) + (log₄ – log₃) + ... + (log_{(n + 1)} – log_n)

Quindi, il primo minuendo è sempre annullato dal sottraendo del fattore successivo:

ⁿ∑_k=1 log_{(k + 1)} – log_k = (log₂ – log₁) + (log₃ – log₂) + (log₄ – log₃) + ... + (log_{n + 1)} – log_n)

Pertanto la serie è uguale a:

_k=1ⁿ∑log(k+1)−logk=−log1+logn+1

ossia:

_k=1ⁿ∑log(k+1)−logk=logn+1−log1

Poiché il logaritmo di 1 è zero, il risultato è:

_k=1ⁿ∑log(k+1)−logk=logn+1

A questo punto, studio il carattere della successione log(n+1) sapendo che è sempre inferiore alla serie armonica per qualsiasi k:

_k=1ⁿ∑1/k > log(n+1)

Calcolo il limite per n→∞ in entrambi i membri della disequazione:

lim_{n→∞ k=1}ⁿ∑1/k > lim_n→∞ log(n+1)

Poiché il limite del logaritmo n+1 è infinito:

lim_n→∞ log(n+1) = ∞

Posso riscrivere la disequazione precedente in questo modo:

lim_n→∞∑_k=1ⁿ1/k > ∞

Quindi anche il limite della serie armonica per n→∞ è infinito:

lim_n→∞∑_k=1ⁿ1/k = ∞

Questo dimostra la diver