Serie numeriche - Dimostrazioni teoremi spiegate

Serie numeriche

Serie geometrica di ragione q∈ℝ

∑_n=0^+∞ qⁿ = 1 + q + q² + ... + q^n-1 + qⁿ

Teorema

Per la serie geometrica si ha

∑_n=0^+∞ qⁿ = {

• converge a 1/(1-q) se -1 < q < 1
• diverge a +∞ se q ≥ 1
• è indeterminata se q ≤ -1

Dimostrazione:

Casi:

1. q = 1

S_n = ∑_n=0^+∞ 1ⁿ = 1 + 1 + 1 + 1 + ... + 1 = n ∙ 1

lim_n S_n = lim_n ∑_n=0^+∞ 1ⁿ = lim_n (n + 1) = ±∞

Quindi, se q = 1 allora ∑_n=0^+∞ qⁿ diverge a +∞.

2. q ≠ 1

Se q ≠ 1 allora 1 - q ≠ 0.

S_n = 1 + q¹ + q² + ... + q^n-1 + qⁿ

Moltiplichiamo entrambi i membri per -1 9

S_n(1 - 9) = (1 + 9 + 9² + ... 9ⁿ)(1 - 9)=

SERIE TELESCOPICA

= 1 + 9 + 9² + ... 9ⁿ - 9 - 9² - ... 9ⁿ⁺¹

= 1 - 9ⁿ⁺¹

dividendo entrambi i membri per 1 - 9

S_n = ^{1 - 9n+1}/_{1 - 9}

Ricordando che il limite della successione geometrica di ragione 9 ∈ R equivale a

lim_n qⁿ = { +∞ se 9 > 1 0 se

passando a lim_n S_n avremo

lim_n S_n = ^+∞Σ(9ⁿ) =

{ +∞ se 9 > 1 1 se -1 < 9 < 1 1 - 9 se 0 < 1 9 se

★

Per me: Spiegazione caso -1, 9, < 1

Regola generale del carattere di una successione:

Data una successione (a_n)_n ∈ N, ∀K ∈ N la successione _n+K)_n ∈ N ha lo stesso identico "carattere" di (a_n)_n ∈ N in caso quest'ultima ammetta limite vale

lim_n a_n = lim_n a_n+K ∀K ∈ N

Di conseguenza, se lim_n S_n = sup_n∈ℕ S_n ∈ ℝ, per definizione di serie convergente, Σ_n=0^∞ a_n converge.

Al contrario, se (S_n)_n non è limitata superiormente, allora sup_n∈ℕ S_n = +∞.

Dunque, se lim_n S_n = sup_n∈ℕ S_n = +∞, per definizione di serie divergente, Σ_n=0^∞ a_n diverge a +∞.

Teorema (Criterio del rapporto per serie)

Sia (a_n)_n successione a termini positivi e tale che

lim_n ^a_n+1/_an = l

Allora:

1. se l > 1 ⇒ Σ_n^∞ a_n diverge (a +∞)
2. se l < 1 ⇒ Σ_n^∞ a_n converge
3. se l = 1, non si può dire nulla della convergenza della serie Σ_n a_n

Dimostrazione:

(i) Supponiamo che lim_n ^a_n+1/_an = l > 1. Per definizione di limite sappiamo che ∀ε>0 ∃n_ε ∈ ℕ t.c. ∀n>n_ε ⇒ |^a_n+1/_an - l| < ε

Quindi, avremo che l - ε ≤ ^a_n+1/_an ≤ l + ε

Dunque, per il criterio del confronto, siccome

∑_n=0^∞ (l-ε)ⁿ (serie geometrica di ragione l-ε) è divergente (perché l-ε < 1), ne deduciamo che anche ∑_n=0^∞ a_n è divergente.

(ii) Supponiamo che &lim;_n→∞ √a_n = l < 1.

Sempre per definizione di limite, sappiamo che

∀ ε>0 ∃ n_ε ∈ ℕ t.c. ∀ n ≥ n_ε ⇒ |√a_n-l| < ε

Sapendo che l-ε < l e ε>0, sappiamo che sicuramente, l-ε < l + ε.

Esisterà ε > 0 t.c. l < ε < 1.

Quindi, ritornando alla precedente definizione di limite, possiamo concentrarci su

√a_n < l + ε   ∀ n ≥ n_ε

a_n < (l + ε)ⁿ  ∀ n ≥ n_ε

Di conseguenza, per il criterio del confronto, siccome

∑_n=0^∞ (l+ε)ⁿ (serie geometrica di ragione l+ε) è convergente (perché l + ε < 1), ne deduciamo che anche ∑_n=0^∞ a_n è convergente.

P.S. Consiglio per gli esercizi:

In generale, se nel termine generale a_n della serie compaiono solo esponenziali o potenze, conviene usare il "criterio della radice".

Per es.: &lim;_n→∞ √a_n+1 = &lim;_n→∞ √a_n