Teoremi sulle serie 2

E X

L'insieme dei punti in cui la serie (F) converge è detto insieme di convergenza

⊆ f x)

(puntuale) della serie. Al variare di x nell’insieme di convergenza otteniamo una funzione (

della variabile x definita in E. Tale funzione è detta somma della serie e si scrive

∞

∑

f x f

( )= (x )

n

n=0 ∞

∑ f x)

In tal caso si dice anche la serie converge puntualmente (o, più semplicemente,

(

n

n=0

f x)

converge) alla funzione .

( n−1

Esempio. La serie geometrica è una serie di funzioni, con .

f x

( )=x

n

Il teorema sulla convergenza della serie geometrica può allora essere riformulato affermando che

<

x 1 n−1

f x

( )=x

Teorema. Se la serie di funzione , converge ed ha per somma la funzione

n

1 ≥

x 1

, se invece la serie non converge.

1−x

Osserviamo che la nozione di convergenza puntuale può essere formulata nel modo seguente:

∞

∑ f

Definizione. Si dice che la serie è puntualmente convergente alla funzione f(x) in E

(x)

n

n=0

se x E , lim s x

( )

∀ ∈ =f (x )

n

n→∞ ∣ ∣

[ ]

0,∀ x a ,b , :∀ n>n → s x x ε

( )−f ( )

(∀ ϵ> ∈ ∃n < )

0 0 n

n

In tale definizione dipende non solo da ma anche da x. Ossia:

ϵ

0 ∣ ∣

, x :∀n> n → s x x ε

( ) ( )−f ( )

∀ ϵ>0, ∃n ϵ <

0 0 n

[ ]

x a , b ,

∀ ∈ ¿

r x x x ,

( ) ( )−s ( )

Inoltre, posto possiamo anche scrivere:

=f

n n

∣ ∣

, x : n → r x

( ) ( )

∀ ϵ>0, ∃n ϵ ∀n> <ε

0 0 n

[ ]

x a , b ,

∀ ∈ ¿ ∞

∑ f

Definizione. Si dice che la serie è uniformemente convergente alla funzione f(x)

(x)

n

n=0 n

∑

E R S f x

nell’insieme se, indicate con le somme parziali n-esime, si ha

⊂ = ( )

n k

k =0

∣ ∣

0,∃ n :∀n> n → s x x ε) , x E ,

( ) ( )−f ( )

(∀ ϵ> ϵ < ∀ ∈

0 0 n

r x x x ,

( ) ( )−s ( )

Posto possiamo anche scrivere:

=f

n n ∣ ∣

:∀n> n → r x , x , b) ,

( ) ( )

∀ ϵ>0, ∃n ϵ <ε ∀ ∈(a

0 0 n n

Si osservi che il punto essenziale in tale definizione è che dipende solo da ma n non da

ϵ

0

x. Per evidenziare ciò osserviamo la definizione di convergenza puntuale può essere riformulata nel

mod seguente:

In analogia a quanto detto per le successioni, la nozione di convergenza uniforme per le serie può

essere formulata come segue: ∞

∑ f

Definizione. Si dice che la serie è uniformemente convergente alla funzione f(x)

(x)

n

n=0 n

∑

E R s f

nell’insieme se, indicate con Sia le somme parziali n-esime, si ha

⊂ (x)= (x)

n k

k=0

¿ ∣ ∣

0,∃ n :∀n> n → x E s x x ε

( ) ( )−f ( )

(∀ ϵ> ϵ ∈ ¿ )

0 0 n

ossia ∣ ∣

lim s x x

( )−f ( )

¿ =0

n

x E

∈

n →∞ ∞

∑

E R f x)

Definizione. Sia , si dice che la serie converge puntualmente assolutamente

⊂ (

n

n=0 ∞

∑

E f x)∨¿

(uniformemente assolutamente) alla funzione f(x) in se la serie converge

¿ (

n

n=0

puntualmente (risp. uniformemente) in E.

Si vede facilmente che se una serie di funzioni converge assolutamente puntualmente

(uniformemente) allora converge puntualmente (uniformemente). ∞

∑ x E

f x)

Criterio di Cauchy per le serie di funzioni. La serie di funzioni , , converge

∈

(

n

n=1

n n>n

>0

uniformemente in E se e solo se per ogni esiste tale che per ogni e per

ϵ>0 0 0

ogni numero naturale p si ha:

∣ ∣

n+ p

∑ f ε

¿ (x) <

n

x E

∈ k=n+1

Dimostrazione. Basta applicare il criterio di Cauchy per le successioni alle somme parziali della

serie. ∞

∑ f

Definizione. Una serie di funzioni si dice totalmente convergente in E se esiste una

(x)

n

n=1

∞

∑ ∣ ∣

f x ≤ M , x E

M ( )

serie convergente a termini positivi tale .

∀ ∈

n n

n

n=1

n

¿

2 log¿ x∨¿

¿ ¿

¿

¿

Esempio. La serie è totalmente convergente.

nx cos ¿

sin ¿

¿

∞

∑ ¿

n=1

Teorema. (Criterio di Weierstrass o M-test) Una serie totalmente convergente in un certo insieme E

è ivi uniformemente e assolutamente convergente.

∞

∑ M

Dimostrazione. Poiché converge, applicando il criterio di Cauchy per le serie

n

n=1 n n>n

numeriche, per ogni esiste tale che per ogni e per ogni numero naturale p si

ϵ>0 0 0

ha:

n+ p

∑ M ε

<

k

k=n+1

Di conseguenza:

∣ ∣

n+ p n+ p n+ p

∑ ∑ ∑

∣ ∣

f ≤ f x ≤ M

( )

¿ (x) ¿ <ε

n n k

x E x E

∈ ∈

k=n+1 k=n+1 k=n+1

Applicando il criterio di Cauchy per le serie di funzioni risulta provata sia la convergenza assoluta

che quella uniforme. ∞

∑ n

x

Esempi. La serie converge assolutamente puntualmente a 0 in ]-1,1[; non converge

n=0 x ∈

∣ ∣

n k

∑ x =n

assolutamente uniformemente (perché .

k=0 ¿¿

¿ −1,1 ¿

¿ ¿

∞ n

(−1 )

∑

La serie non converge assolutamente in quanto non converge la serie

0, ∞ ¿

x +n ¿

n=1

∞ 1

∑ x+ n

n=1 ,

Essa però converge uniformemente perché, per il criterio di Leibniz, si ha

0, ∞ ¿

¿

∣ ∣

n k 1 1

(−1 )

∑ ≤ ≤

¿ −f (x)

x+ k h+1

x h+1)

+(

k=1 0, ∞¿

x ∈¿

¿

¿ f x)

Teorema (Continuità della funzione limite) Sia data una successione di funzioni ,

(

n n N

∈

∞

∑

x E f x dx

definita per ogni . Se la serie converge uniformemente in E alla funzione

( )

∈ n

n=0 x E

f x)

f x) f

∈

e se tutte le funzioni sono continue in , allora anche è continua

(

( (x)

n 0

in tale punto

Ne diamo una dimostrazione diretta, anche se esso è immediatamente deducibile dall’analogo

teorema per le successioni di funzioni.

ε 0 δ> 0 δ

Dimostrazione. Sia dato . dobbiamo provare che esiste tale che |x- x | <

> 0

implica

∣ ∣

f x x

( )−f ( )

0 s x)

Indicato con la somma parziale n-esima della serie, per la convergenza uniforme si ha:

(

n

N :∀n> N x x ε

( )−s ( )∨¿

∃ ∨f n

con N che non dipende da x. x

s

Poiché ogni funzione è continua, la loro somma parziale, in , è continua, cioè

(x)

n 0

∣ ∣

∣ ∣

ε δ : x−x s x x

( )−s ( )

∀ ∃ <δ =¿ <ε

0 n n 0 δ

Fissato allora un indice n > N, per |x- x | < risulta

0

∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣

f x x f x x s x x x x ≤ f x x s x x s x x ≤ 3ε

( )−f ( )−s ( ) ( )−s ( )−s ( )∨+¿ ( )−s

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

= + +s −f ∨+¿ −f

0 n n n 0 n 0 0 n n n 0 n 0 0

e quindi f è continua in x .

0 f x)

Corollario. Se alle ipotesi del teorema precedente si aggiunge l’ipotesi che le siano tutte

(

n

continue in E, allora anche la funzione f(x) è continua in E.

Gli altri due teoremi fondamentali della teoria delle serie di funzioni sono quelli sulla derivazione e

sull’integrazione termine a termine. In una forma corretta, sono: f x)

Teorema (Integrazione per serie) Sia data una successione di funzioni , definita per

(

n n N

∈

∞

∑

x E f x dx f x)

ogni . Se la serie convergente uniformemente in E alla funzione e

( )

∈ (

n

n=0

f x) ,b E

E

se tutte le funzioni sono continue in , allora, per ogni intervallo , vale

( [a ]⊂

n

l’uguaglianza b

∞ ∞

∑ ∑ ∫

f x dx=¿ f x dx

( ) ( )

n n

n=0 n=0 a

b

∫ ¿

a f x)

Teorema (Derivazione per serie) ) Sia data una successione di funzioni , definita per

(

n n N

∈

x E

ogni . Se

∈ ∞

∑ f x dx f x)

- la serie converge puntualmente in E alla funzione ;

( ) (

n

n=0 f x) E

- tutte le funzioni sono derivabili in e hanno derivate prime continue,

(

n

∞

∑ ' E

f x dx g( x)

-- la serie converge uniformemente alla funzione in .

( )

n

n=0

Allora f

- la funzione è derivabile in E,

(x)

'

- ,

f x

( )=g(x )

∞

∑ ,b E

f x dx

- la serie converge uniformemente ad f(x) in ogni intervallo compatto .

[a ]⊂

( )

n

n=0

Le dimostrazioni di questi due ultimi teoremi sono un’immediata conseguenza degli analoghi

teoremi per le successioni di funzioni. Serie di potenze

Definizione. Si dicono serie di potenze le serie di funzioni aventi la seguente forma:

∞

∑ n

a x

( )

−x

n 0

n=0

Esempi. ∞ n

x

∑

La serie converge per ogni numero reale x. Per dimostrarlo basta applicare il criterio del

n !

n=0 n

x∨¿

¿ n!

rapporto a .

∞

∑ ¿

n=0

∞

∑ n

n ! x

La serie converge solo per x=0, non essendo infinitesima negli altri casi.

n=0 ∞

∑ n

a x

Teorema. La serie converge in un intervallo, detto intervallo di convergenza della

( )

−x

n 0

n=0

serie ¿

x , x R

¿ −R + ¿

0 0 .

dove R è un numero reale positivo oppure 0 o anche (Si noti che l’intervallo può ridursi a

+∞

un solo punto o estendersi all’intero i