Teoremi sulle serie 2

TEOREMI SULLE SERIE

2

1. Successioni di funzioni

f x)

Definizione. Sia una successione di funzioni definite in un sottoinsieme X non vuoto

(

n n N

∈ f x)

c X

dei numeri reali. Fissiamo un punto e consideriamo i valori assunti dalle funzioni (

∈ n

f

in c. In tal modo otteniamo successione numerica . Diciamo che la successione

(c)

n n N

∈

f x) f

converge in c se la successione numerica converge.

( (c)

n n N n n N

∈ ∈

E X

L'insieme dei punti in cui la serie (F) converge è detto insieme di convergenza

⊆ f x)

(puntuale) della serie. Al variare di x nell’insieme di convergenza otteniamo una funzione (

della variabile x definita in E. Tale funzione è detta limite puntuale (o, più semplicemente, limite)

f x)

della successione o che la successione converge puntualmente (o, più semplicemente,

(

n

f x)

converge) alla funzione . Si scrive

(

f x f

( )=lim (x)

n

n→∞ f x)

Definizione. Sia una successione di funzioni definite in un sottoinsieme X non vuoto

(

n n N

∈ E X

dei numeri reali. Diciamo che tale successione converge uniformemente in alla funzione

⊆

f : E → R , se

f x f x x)∨¿ 0

( )=lim ( )−f

¿ ¿ (

n

x E

∈

n→∞

Teorema. La convergenza uniforme implica quella puntuale.

Dimostrazione. La tesi si deduce immediatamente dall’essere, per ogni x in E,

f x f x x)∨¿

( )−f ( )−f

¿ (x)∨≤ ¿ ¿ (

n n

x E

∈ n x 1]

Il teorema non può essere invertito. Esempio. Sia con . La successione

f x

( )=x ∈[0,

n

converge puntualmente a

1 per x=1

¿ 0,1 ¿

¿

0 per x ∈¿

f x

( )=¿ n

1 1

( ) ( )

1 1 1

( ) ( )

f x f n n

La convergenza però non è uniforme. Infatti, ( )−f

¿ ¿ (x)∨≥ = =

n n 2 2 2

x ∈ [0,1]

Osserviamo che le definizioni di convergenza puntuale e uniforme possono essere formulate anche

nel modo seguente: f x)

Definizione. Si dice che la successione è puntualmente convergente alla funzione

(

n n N

∈

f x) in E se

( ∣ ∣

0,∀ x E ,∃n , x :n> n → f x x ε

( ) ( )−f ( )

(∀ ϵ> ∈ ϵ < )

0 0 n f x)

Definizione. Si dice che la successione è uniformemente convergente alla funzione

(

n n N

∈

E

f(x) sull’intervallo se

∣ ∣

0,∃ n :n>n → f x x ε x E ,

( ) ( )−f ( )

(∀ ϵ> ϵ < ), ∀ ∈

0 0 n f x)

Criterio di Cauchy per le successioni di funzioni. La successione di funzioni ,

(

n n N

∈

n

x E >0

, converge uniformemente in E se e solo se per ogni esiste tale che per

∈ ϵ>0 0

n>n

ogni e per ogni numero naturale p si ha:

0

f x ε

( )−f

¿ ¿ (x )∨¿ ( ¿)

n p n

+

x E

∈ f x)

Dimostrazione. Se uniformemente in E allora

(

n

ε :∀n> n → f x x ε x E ,

( )−f ( )

(∀ >0, ∃n ¿ ¿ ¿ ), ∀ ∈

0 0 n

x E

∈

f x x x x x f x

( ) ( )=f ( )−f ( )−f ( ) ( )

quindi ,

−f +

n+ p n n+ p n

si ha:

∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣

f x x ≤ f x x f x x

( )−f ( ) ( )−f ( ) ( )−f ( )

+

n+ p n n p n

+

≤ f x x f x

( )−f ( )∨+ ( )−f

¿ ¿ ¿ ¿ (x )∨¿

n+ p n

x E x E

∈ ∈

e, infine, ∣ ∣

f x x ≤ f x x f x x 2ε

( )−f ( ) ( )−f ( ) ( )−f

¿ ¿ ¿ ¿ + ¿ ¿ ( )∨¿

n p n n p n

+ +

x E x E x E

∈ ∈ ∈

ε n :∀n> n

∀ >0,∃

Viceversa, se si assume la (&), , si ha

0 0

f x ε

( )−f

¿ ¿ (x )∨¿

n p n

+

x E

∈ f x) x E

e la successione numerica è una successione di Cauchy . Applicando il criterio

( ∀ ∈

n f x) x E. f x)

di Cauchy relativo alle successioni numeriche, è convergente Detto

( ∀ ∈ (

n ε 0

tale limite, per mostrare che la convergenza è anche uniforme in E, fissato un numero reale >

n p→ ∞

e determinato il corrispondente , si passi al limite per nella

0

f x ε

( )−f

¿ ¿ (x )∨¿ .

n p n

+

x E

∈ f x) x E

Teorema. Sia data una successione di funzioni , convergente uniformemente

( ∈

n n N

∈ x E

f x)

f x) ∈

in E alla funzione . Se tutte le funzioni sono continue in , allora anche

(

( n 0

f x) è continua in tale punto.

(

Dimostrazione. Dobbiamo mostrare che

∣ ∣

∣ ∣

ε δ : x−x → f x x ε .

( ) ( )

∀ >0,∃ <δ −f ¿

0 0

Si osservi che

∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣

f x x f x x x x f x x ≤ f x x f x x f x x

( )−f ( )−f ( ) ( )−f ( ) ( )∨+¿ ( )−f

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

= +f + −f −f ∨+¿ −f

0 n n n 0 n 0 0 n n n 0 n 0 0

ε 0

Fissato ,

>

a) per la convergenza uniforme, per n sufficientemente alto si ha

ε

f x x ,∀ x E

( )−f ( )∨¿

¿ ∈

n 3 ∣ ∣

: x− x δ :

∃δ <

b) per la continuità di ogni funzione della successione 0

ε

∣ ∣

f x x

( )−f ( ) <

n n 0 3 x

c) per la convergenza puntuale in si ha

0

ε

f x x

( ) ( )

¿ −f ∨¿

n 0 0 3 x

Quindi f è continua in .

0 f x) x E

Corollario. Sia data una successione di funzioni , convergente

( ∈

n n N

∈

f x) E

f x)

uniformemente in E alla funzione . Se tutte le funzioni sono continue in ,

(

( n

f

allora anche è continua.

(x) f x) x E

Teorema. Sia data una successione di funzioni , convergente uniformemente

( ∈

n n N

∈

f x) E

f x)

in E alla funzione . Se tutte le funzioni sono continue in , allora, per ogni

(

( n

,b E

intervallo , vale l’uguaglianza

[a ]⊂

b b

∫ ∫

f x)dx=¿ f dx

( (x)

n

a a

lim ¿

n→ ∞ f x) E f

Dimostrazione. Se tutte le funzioni sono continue in , allora anche è

( (x)

n

b b

∫ ∫

f x)dx , f x)dx

continua e ha senso considerare , perché le funzioni continue sono

( (

n

a a

integrabili su ogni intervallo compatto.

Per la convergenza uniforme della successione, qualsiasi sia ε>0, per un n sufficientemente grande,

ε

f x x)∨¿

( )−f

¿ ¿ (

si ha . Di conseguenza:

n b−a

x E

∈

∣ ∣

b b b

∫ ∫ ∫

∣ ∣

f x)dx ,− f ≤ f x dx< ε

( )−f

( (x)dx (x )

n n

a a a

che ciò che andava dimostrato.

Nel precedente teorema l’ipotesi della convergenza uniforme è necessaria. Infatti, si consideri la

2

x

−n [ ]

0 ; 1 .

successione converge puntualmente a 0 nell’intervallo Quindi

f x e

( )=2nx

n

b

∫ f dx=0 , ma

(x)

a −n 1

(1−e )=¿

1 1

[ ]

2 2

∫ x x

−n −n

2nx e dx=lim lim

−e =¿ ¿

0

n→∞ n→∞

0 b

∫ f lim

(x )dx=¿ ¿

n n →∞

a lim ¿

n→ ∞

Anche l’ipotesi che gli intervalli siano compatti è necessaria. Infatti, si consideri la successione

{ 1 per x

∣ ∣

<n

f x

( )= 2n

n ∣ ∣

0 per x ≥ n b

∫ f dx=0

che converge uniformemente a 0 in R. Quindi , ma

(x)

a

n n

[ ]

1 x

∫ dx= lim 1

=¿

2n 2n

n→ ∞ n

−

−n b

∫ f lim

(x)dx=¿ ¿

n n →∞

a lim ¿

n→∞ f x) x E

Teorema. Sia data una successione di funzioni . Si supponga che:

( ∈

n n N

∈ x E

f x)

- la successione sia convergente puntualmente alla funzione per ∈

(

f x) E

- tutte le funzioni siano derivabili in e abbiano derivate prime continue,

(

n

' E

g(x)

-- la successione sia uniformemente convergente alla funzione in .

f x)

(

n n N

∈

Allora f

- la funzione è derivabile in E,

(x)

'

- ,

f x

( )=g(x )

f x) ,b E

- converge uniformemente ad f(x) in ogni intervallo compatto .

( [a ]⊂

n n N

∈ x E

∈

Dimostrazione. Sia , è noto che

0

x

∫ '

f x x f x

( )=f ( ) + ( )dx

n n 0 n

x 0 x E. n → ∞

Qualsiasi l’indice n e il numero Passando al limite per e applicando il teorema

∈

precedente, si ha:

x

∫

f x x g x) dx

( )=f ( ) + (

0 x 0 f g(x)

Tale uguaglianza mostra che è una delle primitive di , le quali si ottengono tutte

(x) x

∫ g( x . f x)

aggiungendo una costante alla funzione integrale Quindi è derivabile e

)dx (

x 0

' .

f x

( )=g(x ) x

,b E =a

Infine, preso e posto , essendo

[a ]⊂ 0

x

∫

f x a g(x)dx

( )=f ( ) + a x

∫ '

f x a f x dx ,

( )=f ( ) ( )

+

n n n

a

si ottiene x

∫ '

( )

f x x a a f x x dx ,

( )−f ( )=f ( ) ( )+ ( )−g ( )

−f

n n n

a

da cui x

'

f x dx

( )−g(¿)∨¿

n ¿

¿ ¿

[ ]

x a , b

∈<