Teoremi sulle funzioni uniformemente continue e lipschitziane

un intervallo allora non può essere

nemmeno uniformemente continua

sull'intervallo.

Teorema di Cantor

Ipotesi: Sia K⊆ℝ un insieme sequenzialmente compatto. Sia f:K→ℝ una funzione continua. Allora f è una funzione uniformemente continua in K. (tesi)

Dimostrazione: Neghiamo la seguente affermazione di funzione uniformemente continua:

∀ε>0 ∃δ>0 : |f(x_δ)-f(y_δ)|<ε ∀x_δ,y_δ∈K con |x_δ-y_δ|<δ

∃ε>0: ∀δ>0 : ∃x_δ,y_δ∈K con |x_δ-y_δ|<δ : |f(x_δ)-f(y_δ)|≥ε

Cioè abbiamo supposto, per assurdo, che la funzione f non sia uniformemente continua.

Scegliendo arbitrariamente δ=1/n ∀n∈ℕ⁺ otteniamo due successioni {x_n}⊆K e {y_n}⊆K e che godono della:

proprietà. Cioè si ha che: |x_n - y_n| < 1/n e |β(x_n) - β(y_n)| ≥ ε

Poiché, per ipotesi, K è un insieme sequenzialmente com-patto, si ha (per la definizione di insieme sequenzial-mente compatto) che ogni successione apparte-nente all'insieme K ammette un estratto conver-gente ad un certo valore x̅ ∈ K.

Avendo detto precedentemente che {x_n} ∈ K e {y_n} ⊆ Kpossiamo definire due estratte convergenti, cioè:

∃x_np → x̅ ∈ K ed ∃y_np → x̅ ∈ K

Di conseguenza si ha anche: |x_np - y_np| ≤ 1/n_p chepossiamo riscrivere come |y_np - x_np| < 1/n_p .

Essendo x_np → x̅ ∈ K possiamo scrivere che:

|y_np - x̄| = |y_np - x_np + x_np - x̄| ≤ |y_np - x_np| + |x_np - x̄| ≤ ¹⁄_np + |x_np - x̄|

Quando n_p → ∞ si ha che:

1. ¹⁄_np → 0
2. |x_np - x̄| → 0

Dato che |y_np - x̄| ≤ ¹⁄_np + |x_np - x̄| allora anche

|y_np - x̄| → 0 e per la definizione di limite si ha quindi anche che y_np → x̄

Poiché per ipotesi f è una funzione continua in K allora lo sarà anche in x̄ poiché x̄ ∈ K. Applicando il teorema ponte si ottiene che:

1. f(x_np) → f(x̄) cioè lim _{p → ∞} f(x_np) = f(x̄)
2. f(y_np) → f(x̄) cioè lim _{p → ∞} f(y_np) = f(x̄)

Per ciò detto prima sappiamo anche che:

|f(x_np) - f(y_np)| ≷ ε̅ > 0

Passando al limite membro a membro otteniamo:

|f(x̅) - f(x̅)| ≷ ε̅ > 0 cioè 0 ≷ ε̅ > 0 che è un assurdo

COROLLARIO TEOREMA DI CANTOR

Sia f: [a, b] → ℝ f continuo in [a, b]

allora:

f è uniformemente continuo in [a, b]