Funzioni continue - Dimostrazioni teoremi spiegate

Funzioni Continue di Variabile Reale

Teorema di Weierstrass

Sia I=[a,b] un intervallo chiuso e limitato e f:I->R una funzione continua su I. Allora f ammette massimo (assoluto) e minimo (assoluto) in I, cioè esistono x_min, x_max ∈ I t.c. f(x_min)=min f(x), f(x_max)=max f(x)

x_min -> punto di minimo x_max -> punto di massimo

Massimo e minimo assoluti sono UNICI

Dimostrazione:

Dimostriamo l'esistenza del massimo (il caso del minimo è del tutto analogo). Sia M=sup f(x): x ∈ I e M ∈ R∪{+∞}.

Dato che M può essere un numero reale oppure ∞, distinguiamo due casi:

1. Sia M ∈ R (vedi p.52)

Per definizione di estremo superiore sappiamo che ∀ε>0 ∃x_ε ∈ I t.c. M-ε < f(x_ε) ≤ M. Poniamo ε=1/n dove n ∈ N\{0}.

Allora, rielaborando la precedente definizione di estremo superiore, otteniamo: ∀n ∈ N\{0} ∃x_n ∈ I t.c. M-1/n < f(x_n) ≤ M. Questo però equivale a dire che esiste una successione {x_n}_n∈N\{0} limitata in I.

Per il teorema di Bolzano-Weierstrass per le successioni allora, esiste una sottosuccessione (x_nk)_k∈ℕ convergente.

Ipotizziamo che (x_n)_k∈ℕ converge a x_max∈ℝ per K→∞. Vogliamo verificare che x_max∈I e che ∃(x_max)!

per quanto riguarda la prima verifica siccome

∀K∈ℕ a≤x_n≤b

(ovvero, per ogni K∈ℕ tutti i termini di (x_n)_k sono compresi tra gli estremi a,b dell'intervallo) abbiamo che, per il teorema del confronto a≤x_max≤b per K→∞.

Di conseguenza, per definizione di intervallo, x_max∈I.

Sapendo che se una sottosuccessione (a_nk)_k∈ℕ ha limite l∈ℝ allora anche la sua successione (a_n)_k∈ℕ ha limite l, abbiamo che

lim_K→∞ x_nk = X_max = lim_n→∞ X_n

Inoltre, per continuità di una funzione f,

lim_n→∞ f(x_n) = f(x_max)

Dunque, ricordandoci che M-¹/_n ≤ f(x_n) ≤ M, ora possiamo affermare che, per il teorema dei due carabinieri

M-¹/_n ≤ f(x_n) ≤ M

| | per n→+∞

M f(x_max = M

Per me: Cosa vuol dire "ricordiamoci f(x_n) > n"?

La definizione di lim a_n = +∞_n→+∞ sarebbe

∀N > 0 ∃P.E.C. n > P ⇒ a_n > N

Quindi, se sostituiamo:

N(= +∞), (a_n > N) = (f(x_n) > n)

otteniamo la definizione di lim_n→+∞ f(x_n) = M( = +∞).

Similmente anche per il caso del minimo.

N.B.La continuità di f nel teorema di Weierstrass è una condizione sufficiente ma non necessariaaffinché una funzione abbia massimo e minimo (assoluti)in un intervallo chiuso e limitato.

Teorema degli zeri (o di Bolzano)

Sia I = [a, b] un intervallo chiuso e limitato ef: I → ℝ una funzione continua su I.Se f(a)·f(b) < 0, allora f ammette almenouno zero in (a, b), ovvero

∃ x₀ ∈ (a, b) t.c. f(x₀) = 0

Per me: Rappresentazione grafica della bisezione

Esempio:

a₀=a , b₀=b , dove I=[a,b]

1. Se f(_a0+b0/2) < 0 , poniamo
2. f(_a1+b1/2) < 0 , poniamo
3. f(_a2+b2/2) < 0 , poniamo
4. f(_a3+b3/2) = 0 → ∃ x₀ ∈ I t.c. f(x₀) = 0

a₁ = a₀ b₁ = (_a0+b0/2)

a₂ = a₁ b₂ = (_a1+b1/2)

a₃ = (_a2+b2/2) b₃ = b₂

Per me: Spiegazione

Sapendo che a_n e b_n → x₀ lim a_n n→+∞ = lim b_n n→+∞ per continuità f(x₀) = lim f(a_n) = lim f(b_n)