Teoremi sulle funzioni continue e insiemi sequenzialmente compatti

TEOREMA DI ESISTENZA DEGLI ZERI

Ipotesi: Sia f: [a, b] → ℝ f continua in [a, b]

f(a). f(b) < 0

Allora ∃c ∈ ]a, b[: f(c) = 0 (tesi)

Dimostrazione: Prima di incominciare con la dimostrazione facciamo tre osservazioni delle ipotesi:

Osservazione 1: f(a). f(b) < 0 significa

f(a) > 0 e f(b) < 0

f(a) < 0 e f(b) > 0

Osservazione 2: c ∈ ]a, b[ vuol dire che c è interno all’intervallo ma c ≠ a e c ≠ b =>

a < c < b

Osservazione 3: ∃c ∈: f(c) = 0

Prima parte della dimostrazione. Dimostriamo che a c è b. Per ipotesi f(a) f(b) < 0 e f(a) < 0 e f(b) > 0. Consideriamo un insieme E = {x ∈ [a b] : f(x) < 0}. Questo è un insieme formato da tutte le x che rendono la funzione negativa. Dato che, per ipotesi, f(a) < 0:

1. a ∈ E => E ≠ ∅
2. Inoltre E è un insieme che ammette maggioranti perché se x considero una x ∈ E => x < b. Scegliamo come estremo superiore dell’insieme E (c = sup E) e dimostriamo che:
   1. c ≠ b, c < b
   2. c ≠ a, a < c

1) e ≠ b, e < b: Per ipotesi sappiamo che f(b) > 0 e per il teorema sulla permanenza del segno esisterà un intervallo di b (I.s) sinistro tale che per ogni x appartenente a questo intervallo la funzione mantiene lo stesso segno che aveva in b [f(x) > 0].

Più precisamente ∃ ε > 0: ∀ x ∈ [b - ε, b [ si avrà f(x) > 0. Perciò accade che I [b - ε, b [ ∩ E = ∅ perchè in ] b - ε, b [ la f(x) > 0 mentre in E_c f(x) < 0 e questo porta a non avere punti in comune fra i due insiemi. Analizzando B₀ e possiamo dire che se c = b...

... si ha f(c) ≤ 0. Per cui esisterebbe un I i con punti di E ( ] b - ε, b [ ∩ E ≠ ∅ ) in comune. Questo è un assurdo perchè b è l'estremo superiore dell'intervallo di punti che rendono la funzione negativa. Per cui e ≠ b, e < b.

2) t ≠ a, a < e. Per ipotesi sappiamo che f(a) ≤ 0 e per il teorema sulla permanenza del segno esisterà un intervallo di r( a ) destro tale che per ogni x appartenente a questo intervallo, la funzione mantiene lo stesso segno che aveva in a (f(x) <0). Più precisamente:

∃ε >0: ∀x ∈ ] a, a + ε [ si avrà f(x)<0. Perciò accade che

] a, a + ε [ ∩ E ≠ ∅ poichè ] a, a + ε [ è la f(x)<0 ed in E

la f(x)<0 e questo porta ad avere punti in comune fra

i due insiemi. Analizzando la e possiamo dire che

se e = a

è un assurdo perchè e è l'estremo superiore dell'in-

tervallo di punti che rendono la funzione negativa.

Per cui e ≠ a, a < e.

Seconda parte della dimostrazione

Dimostriamo che f(e)=0.

Scegliamo ε>0 e consideriamo due intervalli, uno destro ed uno sinistro:

• ]e-ε, e[
• ]e, e+ε[

Poiché e è l’estremo superiore di E (e=sup E) si ha che:

1. ]e, e+ε[ non ha punti in comune con E (]e, e+ε[ ∩ E = ∅)
2. ]e-ε, e[ ha punti in comune con E (]e-ε, e[ ∩ E ≠ ∅)

Questo si ha per la 2^a proprietà dell’estremo superiore.

Se consideriamo l’intervallo ]e-ε, e+ε[ sono presenti all’interno dei punti in cui la funzione assume valori negativi (f(x)<0) ed altri in cui la funzione assume valori positivi (f(x)>0).

Per cui consideriamo questi punti e analizziamo i due possibili casi:

1) f(e) > 0 → Impossibile perché e è l'estremo superiore dell'insieme E e dell'intervallo di punti che rendono la funzione negativa.

2) f(e) < 0 → Per il teorema sulla permanenza del segno: ∃I_e: ∀x ∈ I_e, si ha f(x) < 0. Dovrà sovralles esistere un valore e+δ la cui f rimane < 0 (∃e+δ: f(e+δ) < 0). Questo va contro l'ipotesi che e=sup E data la 2° proprietà dell'estremo superiore. Per cui possiamo affermare che:

f(e)=0 (tesi)

Teorema dei valori intermedi

Enunciato: Se una funzione f(x) è continua in un intervallo chiuso e limitato [a, b], allora essa assume tutti i valori compresi tra il suo minimo (m) ed il suo massimo (M) (assoluti).

Ipotisi: f: [a, b] → ℝ

f(a) ≠ f(b)

f continua in [a, b]

min {f(a), f(b)} < ϒ < max {f(a), f(b)}

Allora ∃ c ∈ ]a, b[: f(c) = ϒ (tesi)

Dimostrazione: Consideriamo f(a) < ϒ < f(b) e definiamo una nuova funzione g: [a, b] → ℝ

g continua in [a, b]

g(x) = f(x) - y. Per cui risulta che:

1. g(a) = f(a) - y con g(a) < 0 poiché f(a) < y < f(b)
2. g(b) = f(b) - y con g(b) > 0 poiché f(a) < y < f(b)

g(a) < 0 e g(b) > 0 => g(a) ⋅ g(b) < 0

Dato che sono soddisfatte tutte le ipotesi del teorema di esistenza degli zeri nella funzione g(x) possiamo dire che per quest'ultima funzione:

∃ c ∈ ]a, b[ : g(c) = 0. Ma g(c) = f(c) - y => f(c) - y = 0 => f(c) = y (tesi)

Corollario Teorema dei Valori Intermedi

Enunciato: Una funzione continua in un intervallo [a, b] assume tutti i valori compresi tra f(a) e f(b).

Ipotesi:

• f: [a, b] → ℝ continuo in [a, b]
• f(a) ≤ f(b)

Allora:

∀_y0 ∈ [f(a), f(b)] ∃ _x0 ∈ [a, b]: f(x₀) = y₀

Dimostrazione:

Partendo dalla tesi possiamo distinguere tre casi:

1. Se y₀ = f(a) allora si può porre x₀ = a
2. Se y₀ = f(b) allora si può porre x₀ = b
3. Se y₀ ∈ ]f(a), f(b)[ significa che: f(a) < y₀ < f(b)

Dallo sopra disuguaglianze notiamo che

• f(a) < y_o → f(a) - y_o < 0
• y_o < f(b) → f(b) - y_o > 0

Consideriamo ora la seguente funzione ausiliaria: g: [a, b] → &R;

g(x) = f(x) - y_o

∀ x ∈ [a, b]

che è anch'esso una funzione continua poiché f(x) e y_o sono funzioni continue. Per cui risulta che.

• g(a)=f(a)-y₀ con g(a)0 per -

g(a)0 => g(a) · g(b) f(x₀)-y₀=0 => f(x₀)=y₀

Teorema

Sia f : [a, b]→ℝ una funzione monotona. Sia c∈[a, b] un punto di discontinuità per f. Allora:

1) Se r ∈ ]a, b[ allora r è un punto di discontinuità di prima specie

2) Se r = a oppure r = b allora r è un punto di discontinuità di terza specie

OSSERVAZIONE

Se f è una funzione monotona allora essa può avere al più uno infinito numerabile di punti di discontinuità

Caratterizzazione dei sequenzialmente compatti in R

K ∈ R sequenzialmente compatto K chiuso e limitato

Dimostrazione:

1. Ipotesi: K ∈ R sequenzialmente compatto
2. Tesi: K chiuso e limitato

Supponiamo, per assurdo, che K non è limitato. Ciò significa che:

∃ xₙ ∈ K : lim xₙ = ∞ _{n -> ∞} ∀ n ∈ N

Per il teorema sulle successioni estratte:

∃ xₙₖ : lim xₙₖ = ∞ _{k -> ∞} ∀ n ∈ N *

Ma quest'ultima formulato conto

l'ipotesi K ⊆ R sequenzialmente compatto

data che K ⊆ R è sequenzialmente compatto se,

∀x_m ∈ K   ∀n ∈ N

∃x_mn sottosuccessione ∃e ∈ K   lim x_mr = e

Il che è un assurdo. Dunque K è limi-

tata. Proviamo ora che K è chiuso.

Sia e un punto di accumulazione per

l'insieme K ⊆ R. Dunque e ∈ D K. Allo-

ra (per un teorema) esiste una succession

x_mi di elementi di K convergente a

e con x_n ≠ e ∀n∈ℕ. In simboli:

∃{x_nk}: x_nk∈K ∀n∈ℕ con lim_n→∞ x_n = e

Per il teorema sulle successioni estratte

∃x_nk: lim_n→∞ x_nk = e ∀n∈ℕ

Ma quest’ultima formula corrisponde solo all’ipotesi K⊆ℝ sequenzialmente compatto. Dunque D⊆K cioè K è chiuso.

(⇒) Ipotesi: K chiuso e limitato

⇐: K⊆ℝ sequenzialmente compatto.

Sia {x_n} una successione di elementi di K (perciò x_n ∈ K ∀n ∈ ℕ). Poiché, per ipotesi, K è limitato allora anche la successione {x_n} è limitata. Di conseguenza, per il corollario sul teorema di Bolzano-Weierstrass, esiste una sottosuccessione {x_nk} convergente. Per cui supponiamo che lim x_nk = e e di mostriamo che e ∈ K (con facenda e . . .) ma la dimostrazione dato che sarà soddisfatto la definizione ai insieme se

quasi compatto. Supponiamo, per assurdo, che e ∉ K. Dato che

K ⊆ ℝ allora e ∈ ℝ \ K e quindi:

∀ ε > 0 ∃ I(e): I(e) ∩ K = ∅

Poca lo affermato suposa che lim x_nn = e

e quindi per la definizione di limite:

∃ I(e), n̅ ∈ ℕ. x_nn ∈ I(e) ∀ n ≥ n̅

Dunque le due espressioni e − sono in contraddizione fra loro e quindi

e ∈ K.

Teorema di Weierstrass

Ipotesi: Sia K ⊆ ℝ un insieme sequenzialmente compatto. Sia f: K → ℝ una funzione continua. Allora f è una funzione dotata di minimo e di massimo assoluti cioè:

∃ x₀, x₁ ∈ K: f(x₀) ≤ f(x) ≤ f(x₁) ∀x ∈ K (teorema)

Dimostrazione: definiamo una successione {y_n} ⊆ f(K) ∀n ∈ ℕ. Allora ciò vuol dire che:

∃ x_n ∈ K: y_n = f(x_n) ∀n ∈ ℕ.

Poiché per ipotesi, K è un insieme sequenzialmente compatto, si ha (per la definizione di insieme sequenzialmente compatto) che ogni successione appartenente all'insieme K ammette un estratto convergente ad un certo valore x̅∈K.

Avendo detto precedentemente che {x_n}∈K possiamo definire un estratto convergente, cioè:

∃ {x_npp}⟶x̅∈K   (lim_p→∞ x_npp = x̅ ∈ K)

Poiché, per ipotesi, f è una funzione continua in K allora lo sarà anche in x̅ poiché x̅ ∈ K.

il teorema ponte si ottiene che:

f(x_np) → f(x̄) cioè lim_{p → ∞} f(x_np) = f(x̄)

Per la formula è possibile affermare che:

lim_{p → ∞} y_np = f(x̄)

Essendo x̄ ∈ K allora è vero anche che f(x̄) ∈ f(K)

Ma f(K) è, per ipotesi, un insieme mentre compatto. Perciò per il teorema:

K ⊆ ℝ è sequenzialmente compatto (⇔ K è chiuso e limitato

Ogni insieme chiuso e limitato ammette massimo e minimo assoluti. (tesi)

Dimostrazione dell'esistenza del massimo assoluto.

Ricordiamo che K⊆ℝ e quindi f(K)⊆ℝ.

Poniamo M=sup f(K) e proviamo che M∈f(K).

Supponiamo per assurdo che M∉f(K). Ciò vuol dire che M∈ℝ\f(K) e dato che f(K) è un insieme chiuso e limitato allora significa che l'insieme M∈ℝ\f(K) è un insieme aperto.

Allora:

∃n>0 : I(M,n)⊆ℝ\f(K)⇔I(M,n)∩f(K)=∅

Dato che M=sup f(K), per la 1^a proprietà caratteristica del sup in corrispondenza ad n:

∃f(x)∈f(K) : f(x)>M-n

M+r > M > f(x̄) cioè f(x̄) ∈ I(M, r) contro ciè detto per

edentemente ovvero I(M, r) ∩ f(K) = ∅

Allora M ∈ f(K) e quindi M = max f(K) (tesi)

Dimostrazione dell'esistenza del minimo assoluto:

Ricordiamo che K ⊆ ℝ e quindi f(K) ⊆ ℝ

Poniamo m = inf f(K) e proviamo che m ∈ f(K)

Supponiamo per assurdo che m ∉ f(K). Ciò

vuol dire che m ∈ ℝ \ f(K) e dato che f(K) è un

insieme chiuso e limitato allora significa

che l'insieme m ∈ ℝ \ f(K) è un insieme aperto

Allora:

∃r>0.I(_m − r,m)⊆ℝ∣f(K)⟷I(m,r)∩f(K)=∅

Dato che m=inf f(K), per la 2^a proprietà caratteristica dell'inf in corrispondenza ad r:

∃f(x̄)∈f(K):f(x̄)<m+r

Per la 1^a proprietà caratteristica dell'inf si ha che:

m−r<m≤f(x̄) cioè f(x̄)∈I(m,r) contro ciò detto precedentemente allora I(m,r)∩f(K)=∅

Allora m∈f(K) e quindi m=min f(K) (tesi)

Teorema di Weierstrass (Corollario)

Ipotesi: Sia f: [a, b] → ℝ continua in [a, b]

Allora f è dotata di minimo e di massimo assoluti

cioè: ∃x₀, x₁ ∈ [a, b]: f(x₀) ≤ f(x) ≤ f(x₁) ∀x ∈ [a, b]