Teoremi sui limiti

Partiamo dalla definizione dell'ipotesi: lim_x→c f(x) = L

∀ε>0 ∃δ>0: |f(x)-L|<ε ∀x∈]c-δ, c+δ[∩A\{c}

Fissato ε>0 è possibile determinare un δ>0 tale che

|f(x)-L|<ε ∀x∈]c-δ, c+δ[∩A\{c}

Partiamo dalla definizione di lim_n→∞ x_n = c

∀δ>0 ∃n̅∈ℕ: |x_n-c|<δ ∀n>n̅

In corrispondenza del δ positivo precedente è possibile determinare un n̅ ∈ℕ tale che

|x_n-c|<δ ∀n>n̅

|x_n-c|<δ ⇒ -δ<x_n-c<δ ⇒ c-δ<x_n<c+δ ∀n>n̅

Dato che x_n∈A\{c} e che c-δ<x_n<c+δ ∀n>n̅

risulta che per:

|f(x_n)-L|<ε ∀x_n∈]c-δ, c+δ[∩A\\{c} ∀n>n̅

Di conseguenza si ottiene che

lim f(x_n) = L, cioè:

∀ε > 0 ∃n̄ ∈ IN: |f(x_n)−L| < ε    ∀n > n̄ (tesi)

Dimostrazione

Ipot:\ ∀(x_n) ⊆ A\{e} con limn⟶∞ x_n = e    risulta limn⟶∞ f(x_n) = L

tesi:

limx⟶e f(x) = L (tesi)

Dimostriamo negando la tesi cioè la seguente affermazione:

∀ε > 0 ∃δ > 0: |f(x)−L| < ε    ∀x ∈ ]e−δ, e+δ[∩A\{e}

Si ottiene quindi che:

∃ε > 0: ∀δ > 0 ∃ x ∈ ]e−δ, e+δ[∩A\{e}: |f(x)−L| ≥ ε

Scegliamo come segue:

1. ∈

₁=[−1,+1[ ⟹ ∃₁∈]−₁,+₁[∩|{}:|(₁)−|≥

₂=[−¹/₂,+¹/₂[ ⟹ ∃₂∈]−₂,+₂[∩|{}:|(₂)−|≥

_n=[−¹/_n,+¹/_n[ ⟹ ∃_n∈]−_n,+_n[∩|{}:|(_n)−|≥ ∀∈ℕ⁺

Per cui abbiamo costruito:

{}⊆∖{} con lim_→∞= e tale che |(_n)−|≥ ∀∈ℕ⁺

2. =+∞=sup

₁=[1,+∞[ ⟹ ∃₁∈]−₁,+₁[∩|{}:|(₁)−|≥

₂=[2,+∞[ ⟹ ∃₂∈]−₂,+₂[∩|{}:|(₂)−|≥

_n=[,+∞[ ⟹ ∃_n∈]−_n,+_n[∩|{}:|(_n)−|≥ ∀∈ℕ⁺

Per cui abbiamo costruito:

{x_n} ⊆ A \ {c} con lim x_n = c = -∞ e tale che |f(x_n) - L| ≥ ε ∀ n ∈ ℕ⁺

3) c = -∞ = inf A

θ₁ = ] -∞, -1[ =⟹ ∃ x₁ ∈ ]e - δ₁, e + δ₁[ ∩ A \ {ε}: f(x₁) - L| ≥ ε

θ₂ = ] -∞, -2[ =⟹ ∃ x₂ ∈ ]e - δ₂, e + δ₂[ ∩ A \ {ε}: f(x₂) - L| ≥ ε

θ_n = ] -∞, -n[ =⟹ ∃ x_n ∈ ]e - δ_n, e + δ_n[ ∩ A \ {ε}: f(x_n) - L] ≥ ε ∀ ε

Per cui abbiamo costruito:

{x_n} ⊆ A \ {c} con lim x_n = c = -∞ e tale che |f(x_n) - L| ≥ ε ∀ n ∈ ℕ⁺

In tutti e tre i casi abbiamo costruito:

{x_n} ⊆ A \ {c} con lim x_n = e e tale che |f(x_n) - L| ≥ ε ∀ n ∈ ℕ⁺

Applichiamo la definizione dell'ipotesi

lim_n→∞ f(x_n) = L :

∀ε>0 ∃n̅∈ℕ: |f(x_n) - L| < ε ∀n>n̅

Dato che in -x_i ho ∀n∈ℕ⁺, possiamo affermare che:

∀n>n̅ abbiamo contemporaneamente la validità di:

|f(x_n) - L| ≥ ε e di |f(x_n) - L| < ε che è un assurdo

Teorema di esistenza del limite per le funzioni monotone

Ipotesi: Siano a, b ∈ ℝ con a < b

1. Sia f : (a,b) → ℝ una funzione crescente. Allora:
   • ∀x₀ ∈ ]a,b] si ha: lim_{x → x0^-} f(x) = sup_{x → x0^-} f
   • ∀x₀ ∈ ]a,b[ si ha: lim_{x → x0⁺} f(x) = inf_{x → x0⁺} f
2. Sia f : (a,b) → ℝ una funzione decrescente. Allora:
   • ∀x₀ ∈ ]a,b] si ha: lim_{x → x0^-} f(x) = inf_{x → x0^-} f
   • ∀x₀ ∈ ]a,b[ si ha: lim_{x → x0⁺} f(x) = sup_{x → x0⁺} f

Dimostrazione i): Supponiamo che sup_{x → x0^-} f = L. Applicando le proprietà caratteristiche del sup si ha:

1. L ≥ f(x) ∀x ∈ [a, x₀[
2. ∀ε > 0 ∃x ∈ ]a, x₀[ : f(x) > L − ε

Dato che f è crescente è possibile affermare che:

L - ε < f(x) ≤ L < L + ε

∀x ∈ ]x̅, x₀[

Di conseguenza è vero che lim_{x → x0} f(x) = L (tesi)

Supponiamo che: sup_{x ∈ (a, x0[} f = +∞, Abbiamo che:

∀k > 0

∃x̅ ∈ ]a, b[ : f(x̅) > k

∀k > 0

∃x ∈ ]a, b[ : f(x) > k

Dico conseguenza: ∀x > x̄

f(x) ≥ f(x̄) > k

Perciò è vero che lim f(x) = +∞

Dimostrazione i≥2) Supponiamo che inf f = l

Vedendo le proprietà caratteristiche dell inf si ha:

1. l ≤ f(x) ∀x ∈ ]x_o, b[
2. ∀ε > 0 ∃x ∈ ]x_o, b[ ; f(x̄) < l + ε

Dato che f è decrescente è possibile affermare che:

l - ε < f(x) ≥ l < l + ε

∀x ∈ ]x_o, x̄]

Di conseguenza è vero che lim f(x) = l

Supponiamo che inf_{x ∈ ] a,b [} f = -∞. Abbiamo che:

∀K > 0 ∃x ∈ ] a,b [ : f(x) < -K

∀K > 0 ∃x ∈ ] a,b [ : f(x) < -K

Di conseguenza: ∀x > x̄

f(x) ≥ f(x̄) < -K

Perciò è vero che lim_{x -> x^+} f(x) = -∞ (tesi i2)

Considerazioni simili per i casi ii1) e ii2)

Teorema sul limite della funzione composta

Ipotesi: siano f: A → R e g: B → R due funzioni tali che lim_x→c f(x) = d e lim_y→d g(y) = L con c ∈ A, d ∈ B, L ∈ R. Inoltre supponiamo che ∃ δ > 0 : f(x) ≠ d ∀ x ∈ ] c - δ, c + δ [ ∩ A \ {c}.

Allora ∃ lim_x→c (g o f)(x) = L

Dimostrazione: Applichiamo la definizione dell'ipotesi lim_y→d g(y) = L.

∀ _ε1 > 0   ∃ δ₁ > 0 : |g(y) - L| < ε₁   ∀ y ∈ E   |x - δ₁| < δ₁ ∀ x ∈ B |f(x)| < ε₁

Applichiamo la definizione dell'ipotesi: lim _{x → e} f(x) = d

∀ _ε2 > 0   ∃ δ₂ > 0 : |f(x) - d| < ε₂   ∀ x ∈ E

Poniamo δ₃ = δ ∩ δ₂. Di conseguenza si ottiene che:

∀ x ∈ E [e - δ₃, e + δ₃[ ∩ A] ∈ ε₃ sono vere tre condizioni:

1. |f(x)| ≠ a per l'ipotesi
2. |f(x) - d| < ε₂ cioè d - ε₂ < f(x) < d + ε₂ per l'ipotesi
3. |f(x) ∈ B | per l'ipotesi f (A) ⊆ B

Per cui x ha che f(x) ∈ [d - ε₂, d + ε₂[ ∩ B] \ ∀ d]. Di conseguenza si ottiene che:

lim _{x → e} (g o f) (x) = L (tesi)

Limiti notevoli

1. \(\lim_{x \to 0} \frac{\text{sen}x}{x}\)

\(\forall x \in ]0, \frac{\pi}{2}[\)

\(\text{sen}x \leq x \leq \text{tg}x \Rightarrow\) dividendo per \(\text{sen} x > 0\)

\(\frac{x}{\text{sen}x} < \frac{1}{\text{cos}x}\)

\(\Rightarrow \text{cos}x < \frac{\text{sen}x}{x} < 1\)

\(\forall x \in ]-\frac{\pi}{2}, 0[\) \(\Rightarrow -x \in ]0, \frac{\pi}{2}[\)

\(\Rightarrow \text{cos}(-x) < \frac{\text{sen}(-x)}{-x} < 1\)

\(\lim_{x \to 0} \frac{\text{sen}x}{x} = 1\)

2) lim_x→0 (1-cos x)/x²

(0/0)

cos(2a) = cos²a - sen²a = 1 - 2sen²a ⇒ 1 - cos(2a) = 2 sen²a

a ∀x ∈ ℝ

2 = x/2

1 - cosx = 2sen²x/2

(1-cosx)/x² = sen²x/2 / x² = 2/4 (sen x/2 / x/2)² = 1/2 (sen x/2 / x/2)²

lim_x→0 x/2 = 0

lim_x→0 sen y/y = 1

lim_x→0 1/2 (sen x/2 / x/2)=1/2

3. lim_x→∞(1 + ¹/_x)^x = e

lim_n→∞(1 + ¹/_n)ⁿ = e

∀ε>0 ∃n ∈ℕ:(1 + ¹/_n)ⁿ - e| < ε    ∀n≥_n̅

∀x∈ℝ    [x] ⇨ max intero di x

def    è la parte intera di x

x = 2.71    [x] = 2 se x>1⇒[x]∈ℕ⁺

x = 1.9 = 2    [x] = 2 se [x] ≤ x < [x]+1

∀ x > 1

( 1 + ¹⁄_[x] )^[x] ≤ ( 1 + ¹⁄_x )^x < ( 1 + ¹⁄_[x]+1 )^[x]+1

x < [x] + 1 ⇒ ¹⁄_[x]+1 < ¹⁄_x ⇒ ( 1 + ¹⁄_[x]+1 )^[x]+1 < ( 1 + ¹⁄_x )^x ⇒ ( 1 + ¹⁄_[x] )^[x] ≤ ( 1 + ¹⁄_x )^x

[x] x ⇒ ¹⁄_x ≤ ¹ ⁄_[x] ⇒ ( 1 + ¹⁄_x )^x ≤ ( 1 + ¹⁄_[x] )^[x] < ( 1 + ¹⁄ x [x] ⇒

lim_{x → + ∞} ( 1 + ¹⁄_[x] )^[x]+1 = e

(1 + ₁/^[x])^[x]+1 ≤ (1 + ₁/_[x])^[x] ≤ (1 + ₁/_[x])

__ ^V 1

[x] + 1 >> x ⇒ [x] > x - 1 > n̅

x ≥ n̅ + 1 ⇒ [x] > n̅ ⇒ |(1 + ₁/_[x])^[x] - e| < ε

lim_x→∞ 1 + ₁/_{[x] + 1} = e ⇒ esercizio

(1 + ₁/_{[x] + 1})^[x] = (1 + ₁/_{[x] + 1})^{[x] + 1} ₁ /_{1 +} ¹/_[x]+1

9) lim_x→0 tg_x = 0/0

tg_x = sen_x / cos_x, 1/x = 1/cos_x . sen_x / x

↓1 ↓1 → il lim è 1

10) lim_x→0 arcsen_x / x = 0/0

lim_x→0 sen_x / x = 1 ⇔ lim_x→0 sen_y / y = 1

lim_x→0 arcsen_x = arcsen_y = 0

f(x) = arcsen_x

lim_x→0 ^x⁄_arcsenx = 1

lim_x→0 ^arcsenx⁄_x = 1

lim_x→0 ^cosx⁄_x=1

lim_x→0 cosx = 0

lim_x→0 ^tgx⁄_x=1