Dimostrazione teoremi analisi matematica

Infatti:

1.

2.

3.

4.

5.

La successione fondamentale : dimostrazione che è crescente,

dimostrazione che la successione ausiliaria è decrescente, e

dimostrazione che hanno entrambe limite finito, coincidente.

Guardando i valori della successione, sembra che questa cresca lentamente. Bisogna dimostrare quindi che

che è equivalente a scrivere .

Essendo tutta positiva (n parte da 1) si può scrivere

Questo è ciò che dobbiamo dimostrare.

Il primo membro si può scrivere:

Il primo termine dell’ultima uguaglianza assomiglia molto al termine della disuguaglianza di Bernoulli:

Possiamo quindi utilizzare la disuguaglianza di Bernoulli a patto che . Nel nostro caso

quindi

Se allora . Dato che partiamo da (per questo abbiamo scritto all’inizio si

può usare Bernoulli.

Ma poiché il termine è sempre positivo, posso scrivere

quindi è dimostrato che

e quindi la successione non può che essere crescente.

Come prima guardando i valori si nota che la successione tende a decrescere. Per dimostrarlo bisogna porre

che è uguale a scrivere

Poiché la successione è sempre positiva, è indifferente scrivere

Bisogna quindi vedere se il primo termine è sempre maggiore di uno.

Come prima si può usare la disuguaglianza di Bernoulli se . Poiché allora è sempre

positivo e quindi l’espressione è sempre vera.

Bernoulli ci dice che

ma poiché è sempre positivo, allora è lecito affermare

Se ne deduce quindi che

e quindi che la successione decresce.

Per provare il fatto che le successioni siano limitate si consideri

La successione è strettamente maggiore della successione , quindi significa che non hanno valori in

comune. Abbiamo però visto è crescente, mentre è decrescente. Significa quindi che per forza

devono convergere entrambe ad un valore. Si definisce perciò:

con

Voglio dimostrare che .

dove per . Quindi

Teorema dell’esistenza degli zeri.

Sia un intervallo chiuso e una funzione continua

e hanno segno opposto,

allora esiste almeno uno zero di , ossia un punto tale che .

Esempi:

Questi sono i due casi che potrebbero capitare. Per semplicità prendiamo in esame il secondo caso in cui

e . La dimostrazione per il caso opposto è pressoché identica solo con il cambio di

segno.

Usiamo ancora una volta il procedimento di bisezione. L’idea è quella di dividere a metà l’intervallo

e prendere in considerazione la metà che si trova nella stessa condizione dell’intervallo di

partenza, cioè che presenta un cambio di segno. Può capitare che nessuna delle due metà presenti un

cambio di segno: in questo caso abbiamo trovato il nostro zero e la dimostrazione finisce.

Chiamiamo quindi il punto medio di , intervallo di partenza, e scegliamo tra gli intervalli

e quello con cambio di segno. Chiamiamolo .

Ora possiamo iterare il procedimento. Possono capitare due cose:

 Prima o poi troviamo uno zero (in un numero limitato di passi) finendo così la dimostrazione;

 Non troviamo mai uno zero; abbiamo però una serie di intervalli tali che

e (in questo caso) e che è lungo la metà di .

e sono entrambe successioni monotone limitate, e quindi hanno sempre limite finito.

Quindi

non so però se e coincidono.

Voglio quindi dimostrare che e che .

Vediamo dunque di dimostrare la coincidenza di e .

Sappiamo che è lungo la metà di . Quindi ciò implica che

sappiamo anche però che e e quindi anche e . Di conseguenza

Ora sappiamo che e tendono allo stesso valore . Ora vogliamo dimostrare che .

Usiamo il fatto di avere una continua.

Vediamo quindi che anche e tendono allo stesso valore . Sappiamo inoltre che:

segue che:

segue che:

Tiriamo le conclusioni:

deve per forza valere quindi

Le funzioni derivabili sono continue. Esempio di funzione continua ma non

derivabile.

Se è derivabile in , allora è continua in .

Ipotesi:

Tesi:

cioè è continua in .

Vogliamo quindi dimostrare che .

Il concetto di derivabilità è diverso dal concetto di continuità. Cioè è falso dire che

infatti il teorema afferma che

Un esempio di funzione continua dappertutto, ma non derivabile in 0 è

infatti

La derivata di somma, prodotto e quoziente di due funzioni derivabili.

Siano e due funzioni derivabili in , allora

1.

2.

3.

Infatti:

1.

2.

3.

Teorema di Fermat: in un punto di massimo o minimo locale interno una

funzione derivabile ha derivata nulla.

Sia , un punto interno a , derivabile in e sia estremo locale (massimo o minimo) per ,

allora la derivata di in è nulla, ossia

Il teorema si dimostra nel seguente modo:

è estremo locale. Supponiamo che sia un massimo: per definizione esiste un intorno di tale che

Ciò vorrebbe dire che

avrebbe come segno

Per

e passando al limite si conservano le disuguaglianze deboli

Per

come prima

Mettiamo assieme il tutto:

per ipotesi è derivabile, quindi la derivata destra e sinistra coincidono. La dimostrazione è simile nel caso

in cui sia minimo locale.

Teorema di Rolle, con significato geometrico.

Sia un intervallo chiuso e limitato.

Sia continua su e derivabile su

Supponiamo che

Allora esiste almeno un punto tale che

Per dimostrare il teorema consideriamo che vale sempre

Consideriamo i quattro casi che possono capitare:

1. è assunto in almeno un punto . non può essere esterno perché agli estremi la funzione

vale meno del massimo. Quindi è per forza interno.

Per Fermat la derivata in si annulla.

2. è assunto in almeno un punto . non può essere esterno perché agli estremi la funzione

vale più del massimo. Quindi è per forza interno.

Per Fermat la derivata in si annulla.

3. Il ragionamento è identico ai casi precedenti.

4. La tesi diventa banale perché la derivata è nulla in tutto l’intervallo.

Teorema del valor medio di Lagrange, con significato geometrico.

Sia un intervallo chiuso e limitato.

Sia continua su e derivabile su

Allora esiste almeno un punto tale che

Il teorema dice che da qualche parte esiste almeno un punto in

cui la pendenza della retta passante per e pari a

è uguale alla pendenza della tangente nel punto .

Il problema si presenta in forma simile a quello del teorema di

Rolle. Con un artificio ci riportiamo al teorema di Rolle: riportiamo

la distanza tra ogni punto della funzione e la retta sull’asse delle

ascisse in maniera tale da ottenere una funzione ausiliaria avente

la caratteristica di avere i punti ed alla stessa altezza,

cioè zero. In questa maniera ci mettiamo nella condizione di poter applicare Rolle a .

La formula della funzione è: