Teoremi sulle derivate - Parte 2

ii) ∀_α,β_]⊆[α,β[: f'^'(x)=0

Dall'ipotesi capiamo che:

f strettamente crescente in ]α,β[

Dunque per il criterio di monotonia si ha:

i) f^'(x) > 0 ∀x ∈ ]α,β[

Se:

∃ ∃_α,β_]⊆[α,β[: f'^'(x)=0

Allora, per la caratterizzazione delle funzioni costanti in un intervallo, si ha che f è costante nell'intervallo ]α,β[. Ciò va contro le ipotesi e dunque:

iii) ∄ ∃_α,β_]⊆[α,β[: f'^'(x)=0

1):

Ipotesi i) f'(x) > 0 ∀x ∈ ]a,b[

ii) ∃ c ∈ ]a, b[ : f'(x) = 0 ∀x ∈ ]a, b[

tes: f è strettamente crescente in ]a,b[

L'ipotesi i assicura che f è crescente

in ]a, b[ per il criterio di monotonia.

Quindi per la definizione di funzione

crescente si ha:

∀ x₁, x₂ ∈ ]a, b[ con x₁ < x₂ risulta che f(x₁) ≤ f(x₂)

Se f non fosse strettamente crescente

allora:

∃ x₁, x₂ ∈ E, a, b ∈ E con x₁ ≤ x ≤ x₂, tali che f(x₁) = f(x₂)

È facile capire che:

f(x₁) ≤ f(x) ≤ f(x₂)   ∀x ∈ [x₁, x₂]

Quindi f sarebbe costante nell'intervallo [x₁, x₂] e, per la caratterizzazione delle funzioni costanti in un intervallo, significa che:

f'(x) = 0   ∀x ∈ [x₁, x₂]

Questo va in contraddizione con l'ipotesi (ii). Pertanto f è strettamente cresc.

Corollario sugli estremi locali

Sia f: ]a, b[ → ℝ. Sia c ∈ ]a, b[.Supponiamo che f sia derivabile in ]a, b[ \ {c}ed f sia continua in c.

1. Se ∃δ > 0:
   • f'(x) ≥ 0, c - δ < x < c (∀x ∈ ]a, b[)
   • f'(x) ≤ 0, c < x < c + δ (∀x ∈ ]a, b[)
   allora c è un punto di massimo relativo per f.
2. Se ∃δ > 0:
   • f'(x) ≥ 0, c < x < c + δ (∀x ∈ ]a, b[)
   • f'(x) ≤ 0, c - δ < x < c (∀x ∈ ]a, b[)
   allora c è un punto di minimo relativo per f.

1° TEOREMA DI DE L'HOPITAL

Siano -∞ < a < b < +∞ e siano

• f,g: (a, b) → ℝ due funzioni che soddisfano le seguenti condizioni:
• f,g derivabili in (a,b) con g'(x) ≠ 0 ∀x ∈ (a, b)
• limx→a+ f(x) = limx→a+ g(x) = 0
• ∃ limx→a+ f'(x)/g'(x) = L con L ∈ ℝ

Allora:

• ∃ limx→a+ f(x)/g(x) = L con L ∈ ℝ

(den)

Dimostrazione

Supponiamo che L ∈ ℝ (cioé L sia finito)

Poiché, per ipotesi, limx→a+ f1(x)⁄g1(x) = L allora:

∀ε>0 ∴ δ(ε)>0 : a<x<a+δ : L-ε < ^f₁(x)⁄_g1(x) < L+ε

∀x ∈ (a,b) con x≠a

che è la definizione di limite.

Poniamo a+δ=t_o. Dunque:

a<x<a+δ diventa a<x<t_o.

Siano a o y, t tali che: a<y<t<t_o.

Consideriamo le restrizioni delle due funzioni f e g nell'intervallo [y,t], ovvero f_[y,t] ed g_[y,t].

Poiché per ipotesi f e g sono derivabili in ]a,b[ allora f e g saranno anche derivabili in ]y,t[. Ovviamente la derivabilità implica la continuità e dunque possiamo anche dire che f e g sono continue in [y,t]. Inoltre, sempre per ipotesi, g'(x) ≠ 0 ∀ x ∈ (a,b).

e dunque è vero anche che g'(x) ≠ 0∀ x ε ]y, t[ L. Cioè sono soddisfatte tutte le ipotesidel teorema di Loval, e per tale teorema allora:

∃ ε ε ]y, t[ L: f'( ε )_{g'( ε )} = ^{f'(t) - f'(y)}∗_{g'(t) - g'(y)}

Per ciò visto prima,L - ε < ^f'(x)_g'(x) < L + ε   ∀ x ε (a,b)

Allora possiamo anche affermare che:L - ε < ^{f'( ε )}_{g'( ε )} < L + ε   ∀ ε ε ]a, t[

Per * otteniamo che:

L - ε < _{f(t) - f(y)}⁄_{g(t) - g(y)} < L + ε   ∀y,t ∈]a,t_o[

Possiamo in quest'ultima espressione, al limite per y → x^o. Nota che, per ipotesi:

lim_{x → x^o+} f(x) = lim_{x → x^o+} g(x) = 0

Allora è anche vero che:

lim_{y → x^o+} f(y) = lim_{y → x^o+} g(y) = 0

Dunque l’espressione si diventa:

L - ϵ < ^f(t)/_g(t) < L + ϵ   ∀t∈]a,t₀]

Ciòè:

lim t→a+ f(t)/g(t) ≡ L

OSSERVAZIONI

La stessa dimostrazione vale anche nel caso in cui consideriamo:

• lim _x→b^- f(x) = lim _x→b^- g(x) = 0

Il teorema vale anche nei casi

L = ±∞

L = -∞

Q = -∞

f = ±∞

COROLLARIO 1^O TEOREMA DI DE L'HOPITAL

Sia f: [a, b] → ℝ. Sia c ∈ ]a, b[. Supponiamo che f sia derivabile nell'intervallo ]a, b[ \ {c} e che f sia continua in c. Allora:

1. Se ∃ lim_{x → c⁺} f'(x) = L con L ∈ ℝ

si verifica che ∃ lim_{x → c⁺} f(x) - f(c)x - c = L con L ∈ ℝ

2. Se ∃ lim_{x → c^-} f'(x) = L con L ∈ ℝ

si verifica che ∃ lim_{x → c^-} f(x) - f(c)x - c = L con L ∈ ℝ

Dimostrazione 1):

Poniamo h: [e, b] → R con la legge:

h(x) = f(x) - f(e)

Poniamo g: [e, b] → R con la legge:

g(x) = x - e

Poiché, per ipotesi, f è derivabile nel

l'intervallo [a, b] è lecito e pos-

sibile affermare che le funzioni h e g

sono derivabili nell'intervallo [e, b]

con g(x) ≠ 0 ∀x ∈ ]e, b[

mostre:

lim_x→e⁺ h(x) = lim_x→e⁺ g(x) = 0

ciò è dovuto al fatto che:

lim_x→e⁺ R(x) = lim_x→e⁺ f(x) - f(a) = 0

lim_x→e⁺ g(x) = lim_x→e⁺ x - e = 0

applichiamo le derivate delle funzioni f e g:

R'(x) = f'(x)

g'(x) = 1

Dunque:

lim_x→e⁺ R'(x) / g'(x) = L con L ∈ ℝ

In particolare:

\(\lim_{{x \to e^+}} \frac{f'(x)}{g'(x)} = \lim_{{x \to e^+}} \frac{f'(x)}{1} = \lim_{{x \to e^+}} f'(x) = L \text{ con } L \in \mathbb{R}\)

per 2^a ipotesi 1)

Le ipotesi.........sono quelle del 1^e teorema di de l'Hôpital e dunque per tale teorema:

\(\exists \lim_{{x \to e^+}} \frac{f(x)}{g(x)} = L \text{ con } L \in \mathbb{R}\)

Per il e quest'ultima espressione diventa:

\(\exists \lim_{{x \to e^+}} \frac{f(x) - f(e)}{x - e} = L \text{ con } L \in \mathbb{R}\)

(tbc.)

2° TEOREMA DI DE L'HOPITAL

Siano -∞≤a<b≤+∞ e siano f,g:(a,b)→ℝ due funzioni che soddisfano le seguenti condizioni:

• f,g derivabili in (a,b) con g'(x)≠0 ∀x∈(a,b)
• lim_x→a⁺ f(x) = lim_x→a⁺ g(x) = ∞
• ∃ lim_x→a⁺ f'(x)/g'(x) = L con L∈ℝ

allora

∃ lim_x→a⁺ f(x)/g(x) = L con L∈ℝ

i due risultati sono identici

Teorema sulla retta tangente

Sia A un intervallo di ℝSia f: A → ℝ una funzione continua nel punto e dove c ∈ A. InoltreP₀ = (c, f(c)). Sono fatti equivalenti:

1. ∃ f'(c)
2. ∃ la retta tangente al grafico di f in P₀In tal caso, la retta tangente ha equazione:y - f(c) = f'(c) (x - c)

Definizione: la retta di equazione x = c

si dice retta tangente verticale al grafico

di f in P₀ se:

limx→x̅+ f(x) - f(x̅) /x - x̅ = ±∞

oppure se:

limx→x̅- f(x) - f(x̅) /x - x̅ = ±∞

DEFINIZIONE

Sia f:[a, b] → ℝ

Denotiamo con P(x,y) = ^{f(x) - f(y)}⁄_{x - y}

∀x,y ∈ [a,b] con x ≠ y, avremo che

P(x,y) = P(y,x). Dunque si può scrivere:

P(x,y) = P(y,x)= ^{f(x) - f(b)}⁄_{x - y}

In particolare tale valore P(x,y) corrisponda al coefficiente angolare o pendenza del

segmento congiungente i punti (x, f(x)) e (y, f(y))

Teorema delle tre pendenze

Sia f: ]a, b[ → ℝ

ϕ connessa in ]a, b[ ⇔ ∀x₁, x₂, x₃ ∈ ]a, b[ con x₁ < x₂ < x₃

si ha che:

P(x₁, x₂) ≤ P(x₁, x₃) ≤ P(x₂, x₃)

Corollario sulla monotonia del rapporto incrementale di una funzione continua

Sia f: ]a, b[ → |R continua.

f è non decrescente in ]a, b[ ⟺ ∀ c ∈ ]a, b[ la funzione P(x, c) = _f(x)-f(c)/^x-c definita in ]a, b[ \ {c}

è crescente in ]a, b[ \ {c}

Dimostrazione:

Supporre: f è non crescente in ]a, b[ ⟺ ∀ c ∈ ]a, b[ la funzione P(x, c) = _f(x)-f(c)/^x-c definita in ]a, b[ \ {c} è crescente in ]a, b[ \ {c}.

Diciamo c ∈ ]a, b[ e siano x ≠ y ∈ ]a, b[ \ {c}

iii) e < x < y

Per il teorema delle tre pendenze si ha:

P(e, x) ≤ P(e, y) ≤ P(x, y)

P(x, e) ___ P(y, e)

Note: ∀e ∈ ]a, b[ la funzione P(x, e) = (f(x) - f(e))/(x-e) definito in ]a, b[ V'ed è crescente in ]a, b[ ∀e₁ < e₂

i.e.: Ḟ è convesso in ]a, b[

Fissiamo x₁, x₂, x₃ l con x₁ < x₂ < x₃

Per l'ipotes si ha che:

P(x₁, x₂) ≤ P(x₁, x₃) ≤ P(x₂, x₃) (tex)

applico l'ipotes

con x = x₁ applico l'ipotesi con x = x₃

quest'ultimo espressione equivale alla crescenza di f per il teorema delle tre pendenze

Teorema

Sia f: ]a,b[→ℝ una funzione convexa.

a in ]a,b[. Allora si ha che:

1. ∀ε∈]a,b[ ∃f^'₊(ε) ed f^'_-(ε)
2. ∀ε∈]a,b[ f è continuo in ε

Dimostrazione 1)

Fissiamo x ∈ ]a, b[⊆ I. Per il corollario sulla monotonia del rapporto incrementale di una funzione convesso si ha:

P(x, x̄) = _f(x)-f(x̄) / _x-x̄ è crescente in I

f ∈ C[.]

Per il teorema di esistenza del limite per le funzioni monotone si ha:

_{limx→x̄⁺} P(x, x̄) = _inf P(x, x̄) _{a, b}

Poiché P(x, x̄) = _f(x)-f(x̄) / _x-x̄

lim_x->e⁺

f(x)-f(e) = inf_{Ie, [e]}

x-e

Proviamo ora che inf_{Ie, [ e ]}

f(x)-f(e) ∈ R

x-e

Fissiamo z ∈ I_a, e ℓ. Da il corollario

sulle monotonia del rapporto incrementale ad una funzione comessa si ha:

1. z < e < x

∀x ∈ [e, ℓ]

P(z, e) ≤ P(z, x) ≤ P(e, x)

[P(x, e)

Detto che P(x,e) è una funzione limitata in

periodicamente in [e,b] e dunque:

_{inf Ie,b} ^{P(x) - P(e)}/_x-e ∈ ℝ

per cui diventa:

^{lim P(x) - P(e)}/_{x→e⁺ x-e} = L con L ∈ ℝ

che è la definizione di derivata prima

destra di una funzione, perciò ∃P'

analogo procedimento per dimostrare che

Dimostrazione 2)

Fissiamo e ∈ I, a ∈ A. Scriviamo l'equazione della retta tangente al grafico di f nel punto e:

f(x) = f(e) + (f(x) - f(e))/(x - e) (x - e)     ∀ x ≠ e

Passando al limite per x → e^- e per x → e⁺ otteniamo che:

^lim _x→e^- f(x) = ^lim _x→e^- f(e) + ^{f(x) - f(e)}/_{x - e} (x - e) = f(e)

^lim _x→e⁺ f(x) = ^lim _x→e⁺ f(e) + ^{f(x) - f(e)}/_{x - e} (x - e) = f(e)

Dunque

lim_{x -> e} f(x) = f(e)

lim_{x -> e} f(x) = f(e)

lim_{x -> e} f(x) = f(e)

che è la definizione di funzione continua in un punto. Per cui f è continua in e

Definizione

Sia f : [a, b] → ℝ. Sia c ∈ ]a, b[. Supponiamo che 3 e la retta tangente al grafico di f in (c, f(c)).

Il punto c si dice punto di flesso per il grafico di f se:

∃δ>0 :

• f è convessa (concava) in ]c - δ, c[
• f è concava (convessa) in ]c, c + δ[

x → x_c x