Teoremi sulle derivate - Parte 1

Dato che, per ipotesi, f è derivabile in x₀, allora per la condizione di derivabilità è possibile affermare che:

∃ lim_x→x0 f(x)

Calcoliamo tale limite:

lim_x→x0 [(f(x)-f(x₀))/(x-x₀) (x-x₀) + f(x₀)] = f(x₀)

Dunque:

lim_x→x0 f(x) = f(x₀)

che è la definizione di funzione continua in un punto, per cui f è continua in x₀. (tes)

Teorema di derivazione delle funzioni composte

Siano A e B degli intervalli di ℝ

Sia f: A → ℝ e g: B → ℝ con f(A) ⊆ B

e ∈ A: f è derivabile in e e g è derivabile in f(e)

Allora, la funzione composta g o f è derivabile in e e:

(g o f)'(e) = g'(f(e)) · f'(e)

Dimostrazione:

Introduciamo la funzione ausiliaria

R: B → ℝ definito dalla seguente legge:

R(y) = {

g(y) - g(f(c))

────────────

y - f(c)

se y ≠ f(c)

g'(f(c))

se y = f(c)

Notiamo che la funzione R è ben definito in B ed è continua in f(c).

lim_y→f(c) h(y) = lim_y→f(c) ^{g(y) - g(f(c))}/_{y - f(c)} = g'(f(c)) = h(f(c))

prendiamo la prima espressione perché deve essere y ≠ f(c)

Dunque:

lim_y→f(c) h(y) = h(f(c))

Sempre dalla prima espressione di h si ottiene mediante passaggi algebrici che:

h(y) = ^{g(y) - g(f(c))}/_{y - f(c)} → g(y) - g(f(c)) = (y - f(c))h(y)

per y ≠ f(c)

Ma quest'ultima espressione è identica identicamente per y = f(x) dato che sostituendo x si ottiene 0 = 0 e ciò significa che prime e secondo membro sono nulli. Dunque è possibile affermare che:

g(y) - g(f(x)) = (y - f(x)) h(y) - ∀y ∈ B

Allora ∀x ∈ A si verifica che y = f(x) con f(x) ∈ B e tale espressione diventa:

g(f(x)) - g(f(x)) = (f(x) - f(x)) h(f(x))

Dividendo ambo i membri per x - e (avvenimento avendo supposto che x ≠ e) si ottiene:

g(f(x)) - g(f(c))

_{x - c}

=

(f(x) - f(c)) · R(f(x))

Notiamo che ragionando sul secondo membro:

lim_{x → c} ^{f(x) - f(c)}/_{x - c} = f'(c)

Per ipotesi f è derivabile in c e quindi significa che f è continua in c. Per ciò visto prima, h è continua in f(c). Per cui date due funzioni continue f ed h, la loro composizione sarà pure una funzione continua

(teorema di continuità delle funzioni composte) e quindi:

lim_x→c h(f(x)) = h(f(c))

Per ipotesi g è derivabile in f(c) e dato che g: B→ℝ ed h:B→ℝ, allora possiamo affermare che:

h'(f(c)) = g'(f(c))

Dunque:

_x→elim h(f(x)) = g'(f(e))

Pertanto g o f è derivabile in e e

_x→elim ^{g(f(x)) - g(f(e))}/_x-e = g'(f(e)) · f'(e)

Ovvero,

g'(f(e)) = g'(f(e)) · f'(e)

TEOREMA DI DERIVAZIONE DELLE FUNZIONI INVERS

Sia A un intervallo di R

Sia f:A→R una funzione continuo

e strettamente monotono in tole in-

tervallo A

Sia f⁻¹:f(A)→A la funzione inver

se (continuo e strettamente mono).

Se è derivabile in un punto c ∈ A

e se ′(c) ≠ 0 allora anche la funzione

inversa ^-1 è derivabile nel punto

d ∈ (A) donde d = (c) e la sua deri-.

vata vale

(^-1)′(d) = ¹/_′(c) = ¹/_′(^-1(d)) (der)

Dimostrazione

Consideriamo il rapporto incrementale della funzione inversa

^{f-1(y) - f-1(d)}/_y-d con y≠d

È facile osservare che:

• d = f(x)
• y = f(x)
• f^-1(d) = x
• f^-1(y) = x

Abbiamo applicato la definizione di funzione inversa.

Dunque per tali osservazioni effettuate è possibile affermare che,

f^-1(y) - f^-1(d)

---------------------- =

y - d

x - e

-------- * con x ≠ e

f(x) - f(e)

Poiché, per ipotesi, f è derivabile in e allora significa che f è continua in e. Per il teorema di continuità sulle funzioni inverse, dato che f è continua in e allora anche la sua inversa f^-1 è continua in f(e) = d. Dunque è vero che:

lim f^-1(y) = f^-1(d)

y → d

Inoltre, dato che per ipotesi la funzione inversa f^-1 è strettamente monotona è possibile affermare che:

f^-1(y) ≠ f^-1(a) ∀y ≠ a^*

Per la continuità di f ed f^-1 abbiamo che:

Se y → a allora si ha che f^-1(y) → f^-1(a)

Poiché per le espressioni sopra e vista l’unicità prima:

f^-1(a) = e ⁺⁺

Allora:

f^-1(y) ⟶ f^-1(a)

equivale a dire che:

Passando al limite membro a membro nell'espressione abbiamo:

lim_y⟶a ^{f-1(y) - f-1(a)}/_y-a = lim_x⟶e ^x-e/_f(x)-f(e)

Il primo membro di tale uguaglianza:

lim_y→d ^{f-1(y) - f-1(d)}/_y-d = (f^-1)'(d)

Il secondo membro di tale uguaglianza:

lim_x→e ^x-e/_f(x)-f(e) = lim_x→e ¹/_f(x)-f(e) = ¹/_f'(e)

Dunque l'uguaglianza diventa:

(f^-1)'(d) = ¹/_f'(e)

Teorema di Fermat

Sia c ∈ X un punto di estremo relativo (massimo o minimo).

Ipotesi: Sia f: X → ℝ. Se f'_(c) è ed in c è presente il massimo o il minimo relativo, allora f'_(c) = 0 (tesi).

Dimostrazione: supponiamo che c sia un punto di minimo relativo ⇒ ∃ I(c): f(c) ≤ f(x)   ∀ x ∈ I(c)

Posto x = c + h tale che c + h ∈ I(c) si avrà: f(c) ≤ f(c + h) ⇒ f(c + h) - f(c) ≥ 0

L'idea è quello di creare il rapporto incrementale, infatti:

Se h0 si avrà:

\( \frac{f(e+h)-f(e)}{h} \geq 0 \)

Per il teorema della permanenza del segno ed utilizzando le definizioni di derivata destra e sinistra si ha:

\( f'(e^-) = \lim_{h \to 0^-} \frac{f(e+h)-f(e)}{h} \leq 0 \)

\( f'(e^+) = \lim_{h \to 0^+} \frac{f(e+h)-f(e)}{h} \geq 0 \)

\( \exists f'(e) = f'(e^-) = f'(e^+) \implies f'(e) = 0 \) (tesi)

Teorema di Rolle

Ipotesi: sia f: [a, b] → ℝ

• f continua in [a, b]
• f derivabile in ]a, b[
• f(a) = f(b)

Allora ∃c ∈ ]a, b[: f'(c) = 0 (tesi)

Dimostrazione: essendo, per ipotesi, f(x) continua in [a, b] allora per il teorema di Weierstrass la funzione è dotata di massimo e minimo assoluti, ovvero:

• ∃c ∈ [a, b]: f(c) = min f(x) = m
• ∃d ∈ [a, b]: f(d) = max f(x) = M

f(c) ≤ f(x) ∀x ∈ [a, b]

f(d) ≥ f(x) ∀x ∈ [a, b]

Per la definizione di massimo e minimo si ha che:

m ≤ M ⟹ f(c) ≤ f(d)

Adesso si possono distinguere due casi:

Primo caso: m = M.

Se il minimo e il massimo coincidono allora la funzione è costante. Se la funzione è costante allora la sua derivata è pari a 0, cioè:

f(x) = K   ∀x ∈ [a,b]   ==>   f'(x) = 0   ∀x ∈ [a,b]

Per cui ∃ ∈ ]a,b[: f'(e) = 0 (tesi)

Secondo caso: m < M.

Se il minimo è minore del massimo allora almeno uno dei due tra minimo e massimo è interno all'intervallo [a, b] visto che f(a) = f(b).

Supponiamo che sia e ∈ ]a,b[ con f(e) = min f(x)

Poiché, per ipotesi, la funzione è derivabile in ]a,b[ allora si ottiene che:

∃ f'(e)

x = e   estremo relativo   ==>   f'(e) = 0 (tesi)   per il teorema di Fermat

TEOREMA DI CAUCHY

Ipotesi: siano f, g: [a, b] → ℝ

f, g derivabili in ]a, b[

f, g continue in [a, b]

g'(x) ≠ 0     ∀x ∈ ]a, b[

g(a) ≠ g(b)

Allora ∃c ∈ ]a, b[:

f'(c) = \(\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}\)

Dimostrazione:

Si considera una funzione ausiliaria:

ψ(x) = f(x) - k g(x).

L'obiettivo è quello di determinare il valore di k affinché questa funzione verifichi le ipotesi del teorema di Rolle:

ψ(x) è continua in [a, b]

ψ(x) è derivabile in ]a, b[

perché lo sono, per ipotesi, f e g

Consideriamo adesso:

• ψ(a) = f(a) - k g(a)
• ψ(b) = f(b) - k g(b)

Imponiamo ψ(a) = ψ(b) ⇒ f(a) - kg(a) = f(b) - kg(b)

Determiniamo k: k(g(b) - g(a)) = f(b) - f(a)

K(g(b) - g(a)) = f(b) - f(a) ⇒ k = _{f(b) - f(a)}/^{g(b) - g(a)}

Dalla formula della funzione ausiliaria: ψ(x) = f(x) - k_g(x)

sostituiamo a k il valore trovato ed otteniamo:

ψ(x) = f(x) - _{f(b) - f(a)}/^{g(b) - g(a)} g(x)

abbiamo quindi che questa funzione verifica tutte

le ipotesi del teorema di Rolle, quindi:

∃ c ∈] a, b [ : ψ'(c) = 0 (tesi del teorema di Rolle)

Per cui troviamo:

ϕ'(x) = f'(x) - ^{f(b) - f(a)}/_{g(b) - g(a)} g'(x)

Sostituendo x = c si avrà:

ϕ'(c) = f'(c) - ^{f(b) - f(a)}/_{g(b) - g(a)} g'(c)

Dalla tesi del teorema di Rolle ϕ'(c) = 0 per cui si ha:

f'(c) - ^{f(b) - f(a)}/_{g(b) - g(a)} g'(c) = 0 => f'(c) = ^{f(b) - f(a)}/_{g(b) - g(a)} g'(c)

E dividendo primo e secondo membro per g'(c) ≠ 0 si ha:

f'(c)/g'(c) = ^{f(b) - f(a)}/_{g(b) - g(a)} (tesi)

Teorema di Lagrange

Ipotesi: sia f: [a, b] → ℝ

f derivabile in ]a, b[

f continua in [a, b]

f(a) ≠ f(b)

Allora ∃ c ∈ ]a, b[ : f'(c) = f(b) - f(a) / b-a

(tesi)

Dimostrazione: Basta applicare il teorema di Cauchy considerando come funzione g(x) la funzione g(x) = x.

Riprendiamo le ipotesi del teorema di Cauchy e possiamo affermare che:

f e g sono entrambe definite in [a, b] poiché f lo è per ipotesi mentre g(x) = x lo è perché è definita in ℝ.

Analogamente: f è continua in [a, b] f_g derivabili in ]a, b[

Infatti g'(x) = 1 ∀ x ∈ ℝ. Di conseguenza g'(x) ≠ 0 ∀ x ∈ ]a, b[ ed infine g(a) = a; g(b) = b. g(a) ≠ g(b)

Le due funzioni verificano tutte le ipotesi del teorema di Lagrange, quindi:

∃c ∈]a, b[ : ^f'(c)/_g'(c) = ^{f(b) - f(a)}/_{g(b) - g(a)} (tesi del teorema di Lagrange)

Ed essendo: g'(c) = 1 g(b) = b g(a) = a si ottiene che:

f'(c) = ^{f(b) - f(a)}/_b-a (tesi)

CARATTERIZZAZIONE DELLE FUNZIONI COSTANTI IN UN INTERVALLO

Sia f : [a, b] → IRAllora f è costante nell'intervallo [a, b] se e solo se:

f'(x̄)=0 ∀x̄∈]a,b[

Dimostrazione:

Mostrare che f è costante significa provare che:

∀x₁,x₂∈]a,b[ con x₁<x₂, si verifica che:

f(x₁)=f(x₂)

Fissiamo arbitrariamente x₁,x₂∈]a,b[ con x₁<x₂.

Consideriamo la seguente restrizione di f:

f|[x₁,x₂]: [x₁,x₂]→ℝ

Poiché, per ipotesi, f è derivabile in ]a, b[ allora anche la restrizione f|[x₁,x₂] sarà derivabile in ]x₁, x₂[ e dato che la restrizione era composta da anche la funzione f è derivabile in ]x₁, x₂[. Inoltre la derivabilità implica la continuità e dunque possiamo anche dire che f è continua in [x₁, x₂]. Inoltre x₁ < x < x₂, x ≠ x₁, x ≠ x₂, f(x₁) ≠ f(x₂).

Pertciò sono soddisfatte tutte le ipotesi del teorema di Lagrange e per tale teorema allora.

∃ c ∈ ]x₁, x₂[ : f'(c) = ^{f(x₂) - f(x₁)} / _{x2 - x1}

Per * si deduce che:

f'(x) = 0 ∀ x ∈ ]a, b[ ⇒ f'(c) = 0 ∀ c ∈ ]x₁, x₂[

Dunque per * otteniamo che:

f'(c) = 0 ⇒ ^{f(x₂) - f(x₁)} / _{x2 - x1} = 0

Ovvero:

f(x₂) - f(x₁) = 0

f(x₁) = f(x₂)

CRITERIO DI MONOTONIA

Sia f: [a, b] → ℝ f derivabile in ]a, b[

Allora:

1. f è crescente in [a, b] ⟷ f′(x) ≥ 0   ∀x ∈ ]a, b[
2. f è decrescente in [a, b] ⟷ f′(x) ≤ 0   ∀x ∈ ]a, b[

Dimostrazione 1):

• Ipotesi: f è crescente in [a, b[

• Tesi: f′(x) ≥ 0   ∀x ∈ ]a, b[

Siaiamo x₀ ∈ ]a, b[ e proviamo che f′(x₀) ≥ 0.

Dall'ipotesi sappiamo che la funzione è crescente, quindi per la definizione di funzione crescente si ha:

∀x≤z, b∈ℝ con x≤z risulta che f(x)≤f(z)

Per cui

x≤z f(x)≤f(z)

Effettuiamo dei passaggi algebrici:

f(x)≤f(z) f(z)−f(x)≥0

Dividiamo ambo i membri della disequazione per z-x supponendo che z≠x

ed otteniamo:

f(z)-f(x)/(z-x) ≥ 0

che è il rapporto incrementale. Possiamo

ad il limite del rapporto incremen

tale otteniamo la derivata prima

per definizione. Tale limite esiste

poiché il rapporto incrementale è < 0^*

Dunque:

lim_{z -> x} ^{f(z) - f(x)}⁄_{z - x} = f'(x)

Il risultato di tale limite è per

forza >= 0 poiché così facendo, per il

teorema della permanenza del segno,

è verificata l'ipotesi ^*. Dunque:

lim_{z -> x} ^{f(z) - f(x)}⁄_{z - x} > 0 → f'(x) > 0 (tesi)

Ipotesi: f'(x) > 0

tesi: f è crescente in ]a, b[

Sissiamo x₁, x₂ ∈ ]a, b[ con x₁ < x₂ e

proviamo che f(x₁) ≤ f(x₂) (tesi)

consideriamo la seguente restrizione di f:

f|_{[x1, x2]} : [x₁, x₂] → ℝ

Poiché, per ipotesi, f è derivabile in ]a, b[

allora anche la restrizione f|_{[x1, x2]} sarà

derivabile in ]x₁, x₂[ e dato

che è una restrizione cioè composto che anche la funzione f è derivabile in

[x₁, x₂]. Inoltre x₁ < x₂

x₁ ≠ x₂ f(x₁) ≠ f(x₂)

perciò sono soddisfotte tutte le ipotesi del teorema di Lagrange e per tale

teorema allora.

c ε [x₁, x₂] : f'(c) =

f(x₂) - f(x₁)

x₂-x₁

Per ipotesi sappiamo che

f'(c) ≥ 0

Dunque l'espressione diventa:

_f(x₂) - _f(x₁) ≥ 0

Moltiplicando ambo i membri per

x₂ - x₁, si ottiene:

_f(x₂) - _f(x₁) ≥ 0

Ovvero:

_f(x₁) ≤ _f(x₂)