Teoremi sulle derivate

Teoremi e Dimostrazioni di Analisi Matematica 1

Carmine Pacilio

Indice

1 La Derivata 2

1.1 Estremi Locali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2 Teorema di Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.3 Monotonia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.4 Convessitá . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.5 Approssimazione Polinomiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1

1 La Derivata

In questa sezione, oltre a dare le principali definizioni riguardanti le derivate, verrano dimostrati

i principali teoremi del calcolo di derivate, oltre che teoremi che impiegano la nozione di derivata

per il calcolo infinitesimale.

DEFINIZIONE 1. (Rapporto incrementale) Sia f una funzione a valori reali definita in un

∈

intervallo aperto (a, b), e sia x (a, b) allora per un h sufficientemente piccolo tale che

0

∈

x + h (a, b) allora definiamo:

0 −

f (x + h) f (x )

0 0 (1)

h

Rapporto incrementale della funzione f nel punto x .

0 derivabile

DEFINIZIONE 2. (Derivabilitá) Diremo che una funzione f é in x se esiste

0

R

∈

L tale che: −

f (x + h) f (x )

0 0

lim = L (2)

h

h→0

derivata

Il numero L viene chiamato della funzione f nel punto x , che indicheremo con il

0

′

simbolo f (x ).

0 tangente

DEFINIZIONE 3. (Tangente) Se f é derivabile in x allora si definisce al grafico f

0

nel punto P = (x , f (x )) la retta r di equazione:

0 0 0 0 ′ −

r = f (x )(x x ) + f (x ) (3)

0 0 0 0

DEFINIZIONE 4. (Differenziabilitá) Una funzione derivabile in x che soddisfa la formula:

0

′

f (x + h) = f (x ) + f (x )h + hω(h) (4)

0 0 0

R

∃ ∈

In particolare se L allora:

f (x + h) = f (x ) + Lh + hω(h)

0 0

E quindi: ′

f (x ) = L

0 Differenziabile.

Dove ω(h) é una funzione tale che lim ω(h) = 0. Si dice

h→0

TEOREMA 1. Una funzione f é differenziabile in x se e soltanto se é derivabile in x .

0 0

→

Dimostrazione. Notiamo che la (1) é equivalente alla formula (4) per h 0, in base alla

definizione 4 possiamo quindi riscrivere il rapporto incrementale in questo modo:

−

f (x + h) f (x )

0 0 = L + ω(h)

h

Da cui otteniamo che −

f (x + h) f (x )

0 0

lim = L

h

h→0

TEOREMA 2. Se f é derivabile in x allora f é continua in x .

0 0

2

Dimostrazione. La dimostrazione é quasi immediata conoscendo la definizione di differenzia-

bilitá. In particolare dobbiamo dimostrare che lim f (x + h) = f (x ) ovvero la definizione di

0 0

h→0

continuitá. Basta dunque notare che, per la nozione di differenziabilitá:

−

lim [f (x + h) f (x )]