Teoremi sulle derivate

Derivabilità e differenziabilità delle funzioni

R∈L tale che: −f (x + h) f (x )0 0lim = L (2)hh→0derivataIl numero L viene chiamato della funzione f nel punto x , che indicheremo con il0′simbolo f (x ).0 tangenteDEFINIZIONE 3. (Tangente) Se f é derivabile in x allora si definisce al grafico f0nel punto P = (x , f (x )) la retta r di equazione:0 0 0 0 ′ −r = f (x )(x x ) + f (x ) (3)0 0 0 0DEFINIZIONE 4. (Differenziabilitá) Una funzione derivabile in x che soddisfa la formula:0′f (x + h) = f (x ) + f (x )h + hω(h) (4)0 0 0R∃ ∈In particolare se L allora:f (x + h) = f (x ) + Lh + hω(h)0 0E quindi: ′f (x ) = L0 Differenziabile.Dove ω(h) é una funzione tale che lim ω(h) = 0. Si diceh→0TEOREMA 1. Una funzione f é differenziabile in x se e soltanto se é derivabile in x .0 0→Dimostrazione. Notiamo che la (1) é equivalente alla formula (4) per h 0, in base alladefinizione 4 possiamo quindi riscrivere il rapporto incrementale in questo

modo: −f (x + h) f (x )0 0 = L + ω(h)h

Da cui otteniamo che −f (x + h) f (x )0 0lim = Lhh→0

TEOREMA 2. Se f é derivabile in x allora f é continua in x .0 02

Dimostrazione. La dimostrazione é quasi immediata conoscendo la definizione di differenzia-bilitá. In particolare dobbiamo dimostrare che lim f (x + h) = f (x ) ovvero la definizione di0 0h→0continuitá. Basta dunque notare che, per la nozione di differenziabilitá:−lim [f (x + h) f (x )] = lim [hL + hω(h)] = 00 0h→0 h→0

TEOREMA 3. (Operazioni con le derivate) Siano f e g due funzioni derivabili in x allora0valgono i seguenti risultati: ′ ′ ′

1. f + g é derivabile in x e la derivate vale (f + g) (x ) = f (x ) + g (x )0 0 0 0′ ′ ′
2. f g é derivabile in x e la derivata vale (f g) (x ) = f (x )g(x ) + f (x )g (x )0 0 0 0 0 0′ ′
3. f (x )g(x )−f (x )g (x )f fg ′ 0 0 0 0∕3. se g(x ) = 0 allora é

derivabile in x e la derivata vale ( ) (x ) =0 0 0 2g [g(x )]0

Dimostrazione. La dimostrazione é immediata, basta infatti applicare la definizione del rapporto incrementale per ciascuno dei punti sopra elencati per verificarne la correttezza. In particolare dimostreremo la 3 essendo tutte le dimostrazioni analoghe. Applicando la definizione di rapporto incrementale otteniamo:

f (x +h) - f (x ) / 0 0 - g(x +h) + g(x ) / 0 0h

Da cui otteniamo sommando le due frazioni: -g(x )f (x + h) - f (x )g(x + h) / 0 0 0 0 · ·g(x + h) - g(x ) / h0 0

Possiamo notare che sommando e sottraendo f (x )g(x ) la formula rimane invariata ed inoltre possiamo raccogliere in questo modo - - -g(x )[f (x + h) - f (x )] + f (x )[g(x + h) - g(x )] / 0 0 0 0 0 0 · ·g(x + h) - g(x ) / h0 0

Notando che é equivalente con: ! " #! " ! "$- -1 f (x + h) - f (x ) g(x + h) - g(x ) / 0 0 0 0 · -g(x ) f (x ) / 0 0 g(x + h)g(x ) h h0 0 →Si puó notare come per h 0 otteniamo

Che vi sono i due rapporti incrementali di f(x) ed g(x) per cui, ed inoltre si applica anche la continuità in g(x) otteniamo:

0! " #! " ! "$− −1 f(x + h) f(x) g(x + h) g(x)0 0 0 0· −lim g(x) f(x) =0 0g(x + h)g(x) h hh→0 0 0 ′ ′−f(x)g(x) f(x)g(x)0 0 0 02[g(x)]0

TEOREMA 4. (Regola della catena) Sia f derivabile in x, e sia g derivabile in y = f(x)0 0 0◦allora la funzione composta η = f g é derivabile in x e la sua derivata vale:

0′ ′ ′η(x) = g(y)f(x) (5)0 0 03

Dimostrazione. Utilizzando la definizione di differenziabilitá possiamo definire due incrementi h e k tali che ′f(x + h) = f(x) + f(x) + hω(h)0 0 0′g(y + k) = g(y) + g(y) + kω(k)0 0 0→ → → →Con ω(h) 0 per h 0 e ω(k) 0 per k 0. Otteniamo pertanto:′ ′ ′ ′ ′ ′ ′η(x) = g(y +f(x)+hω(h)) = η(x)

)+g (y )f (x )+g (y )ω(h)+(f (x )+ω(h))ω(f (x )h+hω(h))0 0 0 0 0 0 0 0 0

Da cui: ′ ′ ′ ′η (x ) = g(y + f (x ) + hω(h)) = η(x ) + g (y )f (x ) + hω(h)0 0 0 0 0 0→ →La tesi segue dal fatto che ω(h) 0 per h 0.

1.1 Estremi Locali R→ ∈

TEOREMA 5. (Fermat) Sia f : (a, b) e sia x (a, b), se f é derivabile in x allora a sua derivata é nulla: f (x ) = 0.0

Dimostrazione. Prendiamo il caso in cui x rappresenta un massimo locale per f , allora sappiamo che: % f (x +h)−f (x )0 0 ≥ 0, se h > 0hf (x +h)−f (x )0 0 ≤ 0, se h < 0hDal teorema della permanenza del segno ne segue che:− −f (x + h) f (x ) f (x + h) f (x )0 0 0 0′≤ ≤0 lim = f (x ) = lim 00h h− +h→0 h→0La dimostrazione é analoga per un minimo locale.

1.2 Teorema di LagrangeTEOREMA 6. (Rolle) Sia f una funzione continua in [a, b] e derivabile in (a, b), e tale che′∃

∈f (a) = f (b) allora x (a, b) t.c. f (x ) = 0.

Dimostrazione. La dimostrazione segue dall’osservare che sono soddisfatte le ipotesi del teorema di Weierstrass allora sicuramente essa ammette massimo e minimo assoluto in [a, b]. Dunque chiamati m (minimo) e M massimo, se m = M allora si tratta di una funzione costante ed in′ R. In particolare f (x) = 0∀x. Invece nel caso in cui risulti m < M allora, siccome per ipotesi f (a) = f (b), m ed M cadono′∃xin (a, b) e quindi per il teorema di Fermata possiamo concludere che t.c. f (x ) = 0.

TEOREMA 7. (Lagrange) Sia f una funzione continua in [a, b] e derivabile in (a, b). Allora ∈ esiste un punto x (a, b) tale che 0 − f (b) f (a) ′ = f (x ) (6) 0 − b a.

Dimostrazione. Avendo dimostrato precedentemente il teorema di Rolle possiamo costruire una funzione ausiliare che soddisfi f (a) = f (b). Tale funzione puó ad esempio essere: − f (b) f (a) − − g(x) = f (x) (x a) − b a.