Telecomunicazioni (parte 1)

Riassunto Telecomunicazioni

Rumore Termico

• È un processo stocastico dovuto all’agitazione termica degli elettroni; si annulla a T=0°K. Questi elettroni si muovono di moto caotico e determinano una differenza di potenziale Δv ai capi del conduttore reale (resistenza ideale + V_R).
• Il rumore si sovrappone al segnale che porta informazione generando disturbo. → La qualità del segnale analogico: ^S/_N
• Digitale: P_eb = probabilità di errore sul bit
• La tensione v(t) è una funz. aleatoria (processo stocastico) con valor medio nullo, ma il valore (istantaneo) diverso da 0 e ad esso sarà associata una potenza di rumore che è la chiave dell’analisi di questo fenomeno.
• La densità di probabilità della ampiezza di v(t) è una gaussiana con valor medio nullo e varianza σ_V²:

f(v) = ¹/_√2πσv ⋅ exp ^(−v2)/_2σv²

• Ho applicato il teorema limite centrale perché la tensione di rumore è il risultato della somma di numerosi contributi.
• Essendo il processo ergodico, il valor quadratico medio coincide con la potenza del processo, quindi si può scrivere:

σ_V² = R⋅kTB

• La potenza cresce proporzionalmente alla resistenza R, la temperatura T, la banda passante B del filtro. R = 1.38⋅10⁻²³ J/K (cost. di Boltziann)
• È interessante osservare la potenza che un conduttore rumoroso può erogare, perché rappresenta l’entità del disturbo:

P_n = kTB

P_n = potenza disponibile

RICORDANDO IL LEGAME TRA POTENZA E DENSITÀ SPETTRALE DI POTENZA:

P = (1/2π) ∫_-∞^+∞ P(ω) dω = P_d^-B P(ω) = kT/2 = N₀/2

Lo spettro di potenza del rumore

• NOTIAMO CHE P(ω) = cost (cioè lo spettro è piatto) e in questo caso si parla di rumore bianco, ma questo vale a patto di considerare f non troppo alte
• Da P(τ) (antitr.), trovo R(τ) = F^-1[P(τ)] = kT/2 δ(τ), per cui 2 campioni di rumore n₁ e n₂ sono incorrelati e quindi STAT. INDIPENDENTI;
• Perché n₁ e n₂ sono 2 variabili gaussiane miste, quindi l'incorrelazione implica la statistica indipendenza (per ȳ(τ), v. tutto lungo)

—

• Il rumore termico ideale (bianco), cioè a spettro piatto, ha una funzione di autocorrelazione costituita da una delta di Dirac nell’origine.

BANDA EQUIVALENTE DI RUMORE:

• Una rete 2-porte è responsabile dell’introduzione di rumore termico nel segnale utile; lo stesso rumore viene amplificato e filtrato. Considero una rete con una H(fₒ) (Funz. di trasferimento) e chiamiamo kT · n_L/Z² = η/2:

∫_-∞^+∞ |H(fₒ)|² df = η/2 ∫_-∞^+∞ |H(fₒ)|² df = → Potenza di rumore in uscita

Densità spettrale di pot. bilatera → Potenza di rumore in uscita

• Posto B_N = -1/(2|Hₒ|²) ∫_-∞^+∞|H(fₒ)|² df, si può scrivere: ⟨n²⟩ = |Hₒ|² ηB_N

• B_N: banda equivalente di rumore, cioè la larghezza di banda di un sistema lineare con funz. di trasferimento costante =|Hₒ| che fornisce la stessa potenza di rumore che si ha in uscita da H(fₒ).

|Hₒ|²: Guadagno in potenza = G Guadagno disponibile della rete 2-porte.

• Questa modulazione è definita lineare, perchè non altera lo spettro ma lo trasla solamente: la fase viene incrementata di f_c per le freq. positive, e ridotta di f_c per quelle negative.
• Modulo pari, fase dispari → Segnale reale.
• Il segnale modulato è un passa-banda con occupazione spettrale doppia (2 W).

Si definisce inoltre:

• Banda laterale inferiore (BLF): la parte di spettro con |f| ≥ f_c
• Banda laterale superiore (BLF): la parte di spettro con |f| ≤ f_c

Demodulazione:

Moltiplicare nuovamente per un segnale sinusoidale a freq. f_c e fase φ_c:

r(t)cos(2πf_ct + φ_c) = ¹/₂ A_cm(t) + ¹/₂ A_cm(t)cos(4πf_ct + 2φ_c)

Basta filtrare la parte a freq. doppia per ottenere:

y_l(t) = ¹/₂ A_cm(t)cos(φ_c − φ)

Schema del demodulatore, chiamato ricevitore sincrono o coerente

SI HA CHE:

ϕ(t) = 2πk_f ∫_-∞^t m(τ)dτ.

f_i(t) - f_c = 1/2π k_p d/dt m(t)

PERCIÒ:

1. f_i(t) - f_c =

   1/2π k_p d/dt m(t) PM

   k_f m(t) FM

UN SEGNALE MODULATO IN FREQUENZA PUÒ ESSERE OTTENUTO UTILIZZANDO UN MODULATORE FM, MA ANCHE CON UN MODULATORE PM PRECEDUTO DA UN INTEGRATORE.

2. ϕ(t) =

   k_p m(t) PM

   2πk_f ∫_-∞^t m(τ)dτ FM

UN SEGNALE MODULATO IN FASE PUÒ ESSERE OTTENUTO UTILIZZANDO UN MODULATORE PH, MA ANCHE CON UN MODULATORE FH PRECEDUTO DA UN DERIVATORE.

MOD. FM + INTEGRATORE + MOD. PM       MOD. PM + DERIVATORE + MOD. FM

PER UNA MODULANTE SINUSOIDALE DEL TIPO: m(t) = a cos(2πf_mt), SI DEFINISCONO GLI INDICI DI MODULAZIONE DI FASE β_p E DI FREQUENZA β_f:

β_p = k_p a

β_f = k_f a / f_m

QUINDI IL SEGNALE MODULATO SI PUÒ SCRIVERE:

A_c cos[2πf_ct + β_p cos(2πf_mt)] PM

A_c cos[2πf_ct + β_f sin(2πf_mt)] FM

*f_m = FREQUENZA MODULANTE

k_p α Ė LA MASSIMA DEVIAZIONE DI FASE → Δϕ_max = k_p max|m(t)|

k_f α Ė LA MASSIMA DEVIAZIONE DI FREQUENZA → Δf_max = k_f max |m(t)|

Lo schema di base della FDM è:

NB: Più canali FDM interferiscono nel tempo ma non in frequenza.

2) TDM (Time Division Multiplexing)

Ai segnali sono attribuiti degli intervalli (stavolta di tempo), in cui sono inviate le informazioni, separate appunto nel tempo ma occupanti la stessa banda.

Ad esempio il canale telefonico ha banda 4 KHz, quindi T_e = 1 / 2.048 kbit/s = 125 μs

Quindi ogni 125 μs si invia una stringa di 8 bit, ciascuno ogni 15.625 μs.

Questo tempo può essere ridotto se si trasmettono più sequenze di 8 bit all'interno dei 125 μs; nel sistema italiano vengono trasmessi 30 canali dedicati alle telefonate e 2 al sincronismo e segnalazione, perciò 32 x 8 = 256 bit. → La frequenza di cifra sarà 256/125 = 2048 kbit/s, per il 1° livello di trasmissione; poi le telefonate saranno raggruppate e affasciate in livelli superiori.

• 3° livello: 564.992 Mbit/s - 7680 TF
• 4° livello: 139.264 Mbit/s - 1920 TF
• 3° livello: 34.368 Mbit/s - 480 TF
• 2° livello: 8.448 Mbit/s - 120 TF
• 1° livello: 2.048 Mbit/s - 30 TF

Parola di sincronia

Parola di segnalazione

Parola di sincronizzazione

T₀ = 1 / f₀ = 125 μs = 8 KHz