Telecomunicazioni - Teoria

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Author: Stefano_Luna

Aggiornato il 17/04/2026

di Stefano_Luna

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TEORIA DEI SEGNALITdS 1) Classificazione dei segnali: segnali determinati e segnali aleatori.TdS 2) Rappresentazione dei segnali nel dominio della frequenza: segnali periodici a tempo continuo e …

Esame Telecomunicazioni

Facoltà Ingegneria

Dal corso del Prof. Chiaraluce Franco

Università Università Politecnica delle Marche - Ancona

A.A. 2014-2015

54 pagine

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TEORIA DEI SEGNALI

SERIE DI FOURIER

Un segnale periodico di pulsazione _ω₀ può essere rappresentato come:

s(t) = Σ_k=-∞^∞ C_k e^{i k ω₀ t} C_k ϵ ℂ

C_k = ¹/_√T ∫_-T/2^T/2 s(u) e^{-i k ω₀ t} dt

La conoscenza dei C_k implica la conoscenza di s(t) e viceversa

s(t) a₀ = a₀/2 + Σ_k=1^∞[a_k cos(k ω₀ t) + b_k sen(k ω₀ t)]

a₀ = ²/_√T C₀ = ²/_T ∫_-T/2^T/2 s(t) dt

a_k = ²/_√T Re{C_k} = 2/_T ∫_-T/2^T/2 s(t) cos(k ω₀ t) dt

b_k = ²/_√T Im{C_k} = 2/_T ∫_-T/2^T/2 s(t) sen(k ω₀ t) dt

Proprietà della serie di Fourier

s₁(t) ↔ s₁(t-τ) ➔ C_k = e^{-i k ω₀ t} C_k
s₁(t) ↔ e^{i ω₀ n t} s(t) ➔ C_k = C_k-n
s₁(t) = s₂(t) ➔ C_k = C₂
s₁(t) = s₂(-t) ➔ C_k = C_-k
s₁(t) = d^m [s(t)]/dt^m ➔ C_k = (i k ω₀)^m C_k
s₁(t) - ∫_-T/2^T/2 s(t) dt c₀ = 1/_√T ∫_-T/2^T/2 s(t) dt = 0 ➔ C₀ = ¹/_k Σ _k≠0 C_k/_{i k ω₀} = Σ_k≠0 C_k (-1)^k/_{k ω₀}
C(t) = ∫_-T/2^T/2 s₁(τ) s₂(t- τ) dτ ➔ C_k = C_1,k C_2,k
s₃(t) = s₁(t) s₂(t) ➔ C_k = ¹/_√T Σ_n=-∞^∞ C_1,n C₂(k-n)

TRASFORMATA DI FOURIER

Un segnale non periodico può essere rappresentato così:

S(ω) = F[s(t)] = ∫_-∞^∞ s(t) e^{-i ω t} dt

s(t) = 1/_2π ∫_-∞^∞ S(ω) e^{i ω t} dω

Affinché un segnale possa essere rappresentato in serie o trasformato, deve essere assolutamente integrabile (sul periodo se periodico su tutto t se aperiodico)

∫_-T/2^T/2 |s(t)| dt < ∞
∫_-∞^∞ |s(t)| dt < ∞

Per segnali periodici:

S(ω) = 2π/T Σ_k=-∞^∞ S₀(k ω₀) δ(ω-k ω₀)

S₀ = F[s₁(t)] t ϵ [-T/2, T/2]

TEORIA DEI SEGNALI

SERIE DI FOURIER

Un segnale periodico di pulsazione ω₀ può essere rappresentato come:

s(t) = _k=-∞^∞ Cₖ e^{i k ω₀ t}

Cₖ = 1/√T ∫ s(t) e^{-i k ω₀ t} dt _-T/2^T/2

La conoscenza dei Cₖ implica la conoscenza di s(t) e viceversa

s(t) a₀/2 = _k=1^∞ [aₖ cos(k ω₀ t) + bₖ sen(k ω₀ t)]

a₀ = 2/√T c₀ = 2/T ∫ s(t) dt _-T/2^T/2

aₖ = 2/√T Re{Cₖ} = 2/T ∫ s(t) cos(k ω₀ t) dt _-T/2^T/2

bₖ = 2/√T Im{Cₖ} = 2/T ∫ s(t) sen(k ω₀ t) dt _-T/2^T/2

Proprietà della serie di Fourier

s(t-τ) = s(t) ⟹ Cₖ₁ = e^{-i k ω₀ τ} Cₖ
s₁(t)e^{i n ω₀ t} s(t) ⟹ Cₖ₁ = Cₖ-n
s*(t) = s(t) ⟹ Cₖ* = C_-k
s*(t) = s(-t) ⟹ Cₖ = Cₖ*
dᵐs(t)/dtᵐ ⟹ Cₖ₁ = (i k ω₀)^m Cₖ
s'(t) = ∫ s(t) dt , c₀ = 1/√T ∫ s(t) dt = 0 _-T/2^T/2
C₀ = ^∞_{k ≠ 0} Ck / (i k ω₀) (-1)ʰ k Cₖ = Cₖ²/_{k ω₀}
c(t) = ∫s₁(t) s₂(t-τ) dτ ⟹ C_k₁ = C₁_k C₂_k
s₁(t) = s₁(t) s₂(t) ⟹ C_k₁ = 1/√T ^∞_h=-∞ C₁ₕ C_2(k-h)

TRASFORMATA DI FOURIER

Un segnale non periodico può essere rappresentato così:

S(ω) = F{s(t)} = ∫ s(t) e^{i ω t} dt

s(t) = 1/2π ∫ S(ω) e^{i ω t} dω

Affinché un segnale può essere rappresentato in serie o trasformato, deve essere assolutamente integrabile sul periodo (se periodico su tutto t se aperiodico)

∫ |s(t)| dt < ∞ _-T/2^T/2

Per segnali periodici:

S(ω) = 2π ∑ S₀(k ω₀) δ(ω-k ω₀)

S₀ = F{s(t)} t ∈ [-T/2, T/2]

Proprietà della Trasformata di Fourier

Re [S(-ω)] = Re [S(ω)]Im [S(-ω)] = -Im [S(ω)]|S(ω)| = |S(-ω)|θ_S(-ω) = -θ_S(ω)

s' (t) = s (t - τ) → S' (ω) = e^-iωτS(ω)s' (t) = e^iω₀ts (t) → S' (ω) = S (ω - ω₀)s' (t) = s* (t)

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