Telecomunicazioni - Teoria

TEORIA DEI SEGNALI

SERIE DI FOURIER

Un segnale periodico di pulsazione w₀ può essere rappresentato come:

s(t) = Σ _{k = -∞}^∞ c_k e^{i k w₀ t}

c_k = ¹⁄_√T ∫_-T/2^T/2 s(u) e^{-i k w₀ t} dt

c_k ε C

La conoscenza dei c_k implica la conoscenza di s(t) e viceversa

s(t) = a₀ + Σ_{k = 1}^∞ [a_k cos(k w₀ t) + b_k sen(k w₀ t)]

a₀ = ²⁄_T ∫_-T/2^T/2 s(t) dt

a_k = ²⁄_√T Re{c_k} = ²⁄_T ∫_-T/2^T/2 s(t) cos(k w₀ t) dt

b_k = ²⁄_√T Im{c_k} = ²⁄_T ∫_-T/2^T/2 s(t) sen(k w₀ t) dt

Proprietà della serie di Fourier

• s(t) = s(t - τ) → c_k' = e^{-i k w₀ τ} c_k
• s*(-t) = s(t) → c_k = c_-k^*
• s*(t) = s*(-t) → c_k = c_-k^*
• d^ms(t)⁄dt^m = c_k (i k w₀)^m c_k
• s'(t)⁄s(t) dt ⇒ c₀ = ¹⁄_√T ∫_-T/2^T/2 s(t) dt = 0 ⇒ c₀ = Σ _{k ≠ 0} ^c_k⁄_{i k w0}
• C(t) = ∫_-T/2^T/2 s₁(τ) s₂(t-τ) dτ ⇒ c_k' = c_1k c_2k
• s*(t) = s₁(t) s₂(t) → c_k* = ¹⁄_√T Σ _{n = -∞}^∞ c_1n c_2(k-n)

TRASFORMATA DI FOURIER

Un segnale non periodico può essere rappresentato così:

S(ω) = F[s(t)] = ∫ ^T/2_-T/2 s(t) e^-jωt dt ⇔ s(t) = ¹⁄_2π ∫S(ω) e^jωt dω

Affinché un segnale può essere rappresentato in serie o trasformata, deve essere assolutamente integrabile (se periodico su tutto t e aperiodico)

∫_-T/2^T/2 |s(t)| dt < ∞, ∫_-∞^∞ |s(t)| dt < ∞

Per segnali periodici:

S(ω) = 2π Σ _{k = -∞}^∞ c_k δ(ω - k w₀)

S₀ = F[s(t)] t ∈ [-T/2, T/2]

Proprietà della Trasformata di Fourier

_Re[S(-ω)] = _Re[S(ω)]   |S(-ω)| = |S(ω)|

_Im[S(-ω)] = -_Im[S(ω)]   θ_S(-ω) = -θ_S(ω)

s' (t) = s (t - T)      S' (ω) = e^-jωTS (ω)

s' (t) = e^jΩ0t s(t)   S' (ω) = S (ω - Ω⁰)

s' (t) = s (-t)      S' (ω) = S (-ω)

_dⁿs'(t)/_dtⁿ = s (t)     S' (ω) = (jω)ⁿS (ω)

s' (t) = ∫_-∞^ts (u) du   S' (ω) = S (ω)/jω + π S (0) δ (ω)

s' (t) = s (t)*S (ω)    S'(ω) = (1/2π) ∫ S₁(θ) S₂(ω-θ) dθ

• La convoluzione tra due segnali con dipendenza dal tempo t^a e t^b è un segnale con dipendenza al più t^a+b+1
• La convoluzione di segnali di durata t₁ + t₂ ha durata t₁ + t₂
• Segnale limitato in t   ⟹   Trasformata illimitata in ω
• Segnale limitato in ω   ⟹   Trasformata illimitata in t

B_w = Banda del segnale nell'intervallo di ω in cui |S(ω)| ha valori significativi

B_t = Durata significativa dell'intervallo di t in cui s(t) ha valori significativi

Se una funzione ha discontinuità nella derivata n-esima, allora il suo spettro decade almeno come ω^-n-1

Teorema del cambiamento di scala

Y(t) = s(αt)   ⟶   Y(ω) = 1/|α| S(ω/α)

Teorema della modulazione

s' (t) = s (t) cos(ω₀t)   ⟶   S' (ω) = 1/2 [S(ω-ω₀) + S(ω+ω₀)]

Campionamento Ideale

s(t) → s_c(t) δ(t-kT_C)

S_C(t) = s(t) × ∑_k=-∞^∞ δ(t-kT_C)

S_C(ω) = ∑_k=-∞^∞ S(ω-kω_C) σ(ω-kω_C)

Se non rispetto la condizione f_c ≥ 2B (Criterio di Nyquist) si manifesta il fenomeno dell'ALIASING, per cui le repliche dello spettro di s_C(ω) si sovrappongono e non posso più differenziare lo spettro di partenza da quello di s_c(t).

Campionamento Naturale

La δ di Dirac non è realizzabile: si usa un impulso rettangolare di durata Δt: s_P(t) = ∑_k=-∞^∞ s_I(t-kT_C) s_I = {1 se |t| < Δt/2; 0 altrove}

S_C(ω) = Δt/T_C ∑_k=-∞^∞ sinc(kω_k Δt/2) S(ω-kω_C)

Essendo s_P(t) ha durata finita ho conoscenza limitata di s(t), ma ciò non altera la ricostruzione perfetta s_P(t) segue l'andamento di s(t) nella sua durata.

PROBABILITÀ

Un segnale aleatorio s(t)=Acos (ωt+φ) può assumere valori arbitrari dentro una fase compresa tra 0 e 2π (inizialmente non conosco la posizione temporale). Associo all’evento aleatorio la VARIABILE ALEATORIA φ continua, discreta o mista, e indico con φ la sua REALIZZAZIONE.

Definisco con Ω l’insieme delle possibili selezioni (SPAZIO CAMPIONE), gli eventi sono sottoinsiemi di Ω. Definisco la probabilità come

P_R{A} = N_F,A / N_P Casi Favorevoli / Casi Totali

P_R{A} = lim_N→∞ N_F / N

Eventi statisticamente indipendenti: il verificarsi di A non implica B

P_R{A ∩ B} = P_R{A | B} P_R{B} = P_R{B | A} P_R{A}

P_R{A,B} = P_R{A} P_R{B}

P_R{A | B} = P_R{B | A} P_R{A} / P_R{B}

P_R{A ∩ B} = P_R{B | A} P_R{A}

P_R{B} = P_R{B | A} P_R{A} + P_R{B | A̅} P_R{A̅}

(FORMULA DI BAYES)

PROBABILITÀ CUMULATIVA (O RIPARTIZIONE)

Probabilità che una variabile X assuma certi valori in un dato intervallo. F_X(x) = P_R{X ≤ x}

• 0 ≤ F_X(x) ≤ 1
• lim_x→+∞ F_X(x) = P_R{X < ∞} = 1
• lim_x→-∞ F_X(x) = P_R{X < 0} = 0
• x₂ ≥ x₁ ⇒ F_X(x₂) ≥ F_X(x₁) ⇒ MONOTONIA
• P_R{X = x} = F_X(x⁺) - F_X(x^-) = P_R EVENTO SINGOLO
• P_R{a < X ≤ b} = P_R{X ≤ b} - P_R{X ≤ a} = F_X(b) = F_X(a)

Nota: Se F_X(x) è continua, la P_R dell’evento singolo è 0 (F_R{X = x} = F_R{X⁺})

DENSITÀ DI PROBABILITÀ

f_X(x) = d / dx F_X(x)

F_X(x) = ∫_-∞^x f_X(x) dx

Per variabili discrete la densità è una successione di δ-DIRAC centrata negli eventi.

• f_X(x) ≥ 0
• ∫_-∞^+∞ f_X(x) dx = F_X(∞) = 1
• P_R{a < X ≤ b} = ∫_a^b f_X(x) dx