Teoria dei segnali e Telecomunicazioni - Appunti del corso

PROGRAMMA

TEORIA DEI SEGNALI

• TdS 1) Classificazione dei segnali: segnali determinati e segnali aleatori.
• TdS 2) Rappresentazione dei segnali nel dominio della frequenza: segnali periodici a tempo continuo e segnali aperiodici a tempo continuo.
• TdS 3) Sistemi monodimensionali lineari a tempo continuo: risposta impulsiva, funzione di trasferimento e condizioni di non distorsione lineare. Interferenza di intersimbolo.
• TdS 4) Teorema del campionamento: campionamento ideale, naturale e istantaneo.
• TdS 5) Altre Trasformate.
• TdS 6) Richiami di teoria delle variabili aleatorie.
• TdS 7) Processi stocastici stazionari ed ergodici. Rumore termico

TELECOMUNICAZIONI

• TLC 1) Canale AWGN. Banda equivalente di rumore, cifra di rumore e temperatura equivalente di rumore di una rete 2-porte lineare. Effetto del rumore termico in collegamenti analogici e numerici costituiti da più tratte.
• TLC 2) Modulazioni analogiche. Modulazione di ampiezza, fase e frequenza con portante sinusoidale. Caratteristiche spettrali del segnale modulato. Moltiplicazione a divisione di frequenza. Dispositivi di modulazione e demodulazione. Effetto del rumore nelle modulazioni analogiche. Qualità di trasmissione. Pre-enfasi e de-enfasi.
• TLC 3) Sorgenti di informazione e codifica di sorgente. Misura dell’informazione. Sorgenti discrete con memoria e senza memoria. Entropia. Source-Coding Theorem. Codifica di sorgente. Algoritmo di Huffman. Algoritmo di Lempel-Ziv. Misura della distorsione.
• TLC 4) Quantizzazione scalare uniforme e non uniforme. Quantizzazione vettoriale. PCM uniforme e non uniforme. DPCM e Modulazione Delta. Cenni sulle tecniche di AnalisiSintesi. Applicazione al segnale telefonico. Moltiplicazione a divisione di tempo.
• TLC 5) Rappresentazione geometrica di forme d’onda nello spazio dei segnali. Procedura di ortogonalizzazione di Gram-Schmidt. Esempi di costellazioni. Segnali in banda base e in banda traslata. Energia media di una costellazione. Labeling binario e codifica di Gray. Forme d’onda ortogonali, bi-ortogonali e simplex. Rappresentazione, generazione e proprietà di segnali PAM, PSK, FSK, QAM. Sequenze binarie. Codifica di linea.
• TLC 6) Demodulazione e qualità delle trasmissioni numeriche su canale AWGN. Demodulazione a massima verosimiglianza/maximum a posteriori. Ricevitore a correlazione. Filtri adattati. Demodulatori per segnali PAM, PSK, QAM, FSK. Probabilità di errore per segnali PAM, PSK, QAM, FSK, binari ed M-ari, in banda base e banda traslata. DPSK. Qualità di trasmissione per forme d’onda ortogonali, biortogonali e simplesse. Limite di Shannon. Efficienza spettrale.

TRASFORMATA DI FOURIER

Dato un segnale aperiodico s(t), la sua rappresentazione nel dominio delle frequenze fornita dalla trasformata di Fourier:

S(ω) = ∫ [s(t)e^-jωt] dt

Descrivente i pesi delle e^jωt per costruire il antitrasformato.

Ponendo s(t) = ∫ [(1/2π)S(ω)e^jωt] dω

convenzionalmente dove la frequenza f per cui:

S(f) = F[s(t)] = ∫ s(t)e^-j2πft dt.

Vale inoltre la condizione di assoluta integrabilità

∫_-∞^+∞ |S(t)| dt < ∞

che è sufficiente ai fini dell'esistenza della trasformata.

Tra le varie proprietà delle trasformate di Fourier, si considera la seguente:

S^-1[(H*)

Come proprietà della interconzione

trasformate di Fourier di una generica funzione periodica

S(ω) = ^2π/_T Σ_m S_ω,k(kω)d(kω-Wω) = Wω Σ_m S_(kω)m δ(ω-Kω)

TEOREMA DELLA MODULAZIONE

Se la trasformata di s(t) = s(t) cos(Wt), vale S_(W)t = ∫ [S(ω-w_w) + S (w+w_w)] d(ω)

Si nota quindi che la moltiplicazione del segnale per un coseno &

provoca una doppia traslazione dello spettro (verso le frequenze positiva e verso

quelle negative). Vi è poi uno fattore di scala nelle ampiezze pari a 1/2.

La conversione in frequenze è uno delle operazioni fondamentali che

consentono di realizzare il processo di modulazione, in particolare

la semplice moltiplicazione del segnale per la funzione cosinusoidale

realizza la modulazione di ampiezza.

Con la conversione in frequenza:

1. Si consente l’utilizzo di sistemi di dimensione ragionevole per la trasmissione.
2. Si permette la trasmissione simultanea di più segnali, ciascuna a frequenza diversi.

Campionamento istantaneo

Nel campionamento naturale siamo ancore lontani dal segnale numerico, perché il “pattern” del segnale campionato può assumere una serie di valori.

Con il campionamento istantaneo, contrariamente a quello naturale, il campione di durata Δt è il segnale campionato non segue il segnale originale ma conserva il valore negli istanti di campionamento.

Nel tempo

S_e(t) = S_p(t) = quello del campionamento naturale. Si può quindi scrivere:

S_e(t) = Σ s(kT_c)δ(t-kT_c) - S_I(t)⊗S_I(t)δ(t-kT_c)

Infine S_I(t)⊗δ(t-kT_c) = S_I(t-kT_c)

In frequenza

S_e(ω) = ¹/_TcS₁(ω)Σδ(ω-kWc) = ^Δt/_Tcsin(^{ω Δt}/₂Σ S(^ω_c/₂)

In questo caso, rispetto prima, la “maggiore” replica dello spettro del segnale originale trova questo “sottoprodotto dove per un valore costante n, per una funzione di u.

CODIFICA PCM E APPLICAZIONI

Trasmissione

S(t) → campionamento → quantizzazione → codifica → modulazione → canale

Ricezione

canale → demodulazione → decodifica → filtro di ricostruzione → S*(t)

Si rende efficace una valutazione della velocità di trasmissione del flusso binario, per alcuni segnali di particolare interesse pratico. Questa velocità trimina “frequenza di cifra” (F_c).

Maggiore è la frequenza di cifra, maggiore sarà la banda occupata del segnale.

F_c = 2B log₂H

Altra modo per risolvere il problema è utilizzare la densità di probabilità, così definita:

Per variabili discrete

Esempio di variabili aleatorie

• Variabile uniforme

• Esponenziale unilatera

• Gaussiana

• Funzione errore complementare

• Funzione errore

SPETTRO DI POTENZA DI UN PROCESSO STOCASTICO

Seguire un processo stocastico

Per un processo stocastico non è definibile la trasformata di Fourier,

la quale infatti presuppone la conoscenza dell'andamento del segnale.

Ciò implica che per un processo stocastico non sia individuabile

una descrizione in frequenza: non sarà la trasformata di Fourier ma

lo spettro di potenza del processo (abbastanza profondo di potenza).

CALCOLO DELLE MEDIE D'INSIEME (INDICATORI STATISTICI)

• Valore medio: <x>=∫_-∞^+∞x*p₀(x,t)dx

• Momento congiunto di ordine x₁ (correlazione): <x₁x₂>=∫_-∞^+∞∬x₁x₂p₁₂(x₁,x₂,t₁,t₂)dx₁dx₂

Viene usato della autocorrelazione statistica, e si indica con R(t_c,t).

Frequentemente si può ritenere vera la circostanza che una traslazione arbitraria dell'asse

dei tempi dell'intero processo non ne modifichi le caratteristiche stocastiche.

1. è valori del primo ordine indipendenti da t, ed è quindi la stessa

   per ogni prova relativa all'evento estra...tale.

2. è valori del secondo ordine dipende solo della differenza t₂-t₁...

Un processo così si definisce stazionario in senso stretto.

Per lo stazionario in senso lato valli invece:

1. il valore medio è indipendente da t

2. l'autocorrelazione statistica dipende dallo differenze t₂-t₁

Senso stretto ⇒ senso lato

Le proposte della stazionarietà e preoperative al concetto di ergodicità.

In un processo ergodico ogni rilevazione e tipo del processo nel senso che

da una osservazione per un tempo sufficientemente lungo consente di stimare

tutte le proprietà del processo.

Per l'ergodicità, se le medie statistiche coincidono con quelle temporali

Nel nostro caso Stazionarietà⇔Ergodicità

Accanto alli due medie statistiche, è sempre possibile considerare le medie temporali

• Valore medio temporale: E(t)=lim^T→∞1/T∫_-d/2^d/2x(t)dt

• Autocorrelazione temporale: R(t)=lim^T→∞1/2T∫_-d^dx(t)x(t+τ)dt

Una volta misurata la generica realizzazione del processo, può essere riguardato come

un particolare segnale deterministic a potenza finita. Si può definire una densità spettrale

di potenza P(w)

P(w)=lim^T→∞1/Nx|x(w)|²/Δt

Teorema di Wiener-Khintchine