Riassunto esame Fisica I, Prof. Tagliaferro Alberto, libro consigliato Fisica. Meccanica, termodinamica vol. 1, Paolo Mazzoldi, Massimo Nigro

Fisica I

Gioele Logrippo 1

INDICE

1 misure 5

Grandezze fisiche

1.1 5

Misure

1.2 5

Incertezze

1.3 6

Misure indirette

1.3.1 7

2 cinematica 8

Moto rettilineo

2.1 8

Moto rettilineo uniforme

2.1.1 9

Moto uniformemente accelerato

2.1.2 10

Moto sul piano

2.2 11

Grandezze intrinseche

2.2.1 11

Coordinate polari

2.2.2 13

Moto circolare uniforme

2.2.3 16

Moto armonico

2.2.4 17

Sistemi a dimensioni

2.3 3 18

3 dinamica 21

Leggi di Newton

3.1 21

Quantità di moto

3.1.1 22

Interazioni fondamentali

3.2 23

Forze d’attrito

3.2.1 24

Forza elastica

3.2.2 25

Pendolo semplice

3.2.3 26

Energia e lavoro

3.3 27

Energia cinetica

3.3.1 27

Lavoro di una forza

3.3.2 28

Energia potenziale

3.3.3 29

Conservazione dell’energia meccanica

3.3.4 30

Energia potenziale elastica

3.3.5 30

Lavoro della forza d’attrito

3.3.6 31

Gradiente di un campo scalare

3.3.7 32

Equilibrio ed energia potenziale

3.3.8 33

Dinamica rotazionale

3.4 34

Momento di una forza

3.4.1 34

Momento della quantità di moto

3.4.2 34

Forze centrali

3.4.3 35

Trasformate

3.5 36

Trasformate di Galileo in sistemi inerziali

3.5.1 36

Trasformate nei sistemi non inerziali

3.5.2 37

Correzioni relativistiche

3.5.3 38

Sistemi di particelle

3.6 39 2

INDICE 3

Centro di massa

3.6.1 39

Momenti torcente e angolare

3.6.2 39

Potenza

3.6.3 41

Teoremi di König

3.6.4 41

Corpo rigido

3.7 43

Centro di massa

3.7.1 43

Momento d’inerzia

3.7.2 44

Teorema del momento angolare corpi rigidi 47

3.7.3 Forze nei corpi rigidi

3.7.4 47

Moto rototraslatorio

3.7.5 48

Pendolo composto o fisico

3.7.6 50

Urti

3.8 51

Energia cinetica negli urti

3.8.1 52

Urti nel piano

3.8.2 52

Urti con corpi rigidi

3.8.3 53

4 gravitazione 54

Legge di gravitazione universale

4.1 54

Forza gravitazionale come forza centrale

4.1.1 55

Potenziale gravitazionale

4.1.2 55

Orbite

4.1.3 56

Leggi di Kepler

4.2 59

Prima legge di Kepler

4.2.1 59

Seconda legge di Kepler

4.2.2 60

Terza legge di Kepler

4.2.3 60

Sistemi gravitazionali

4.3 61

Sistemi di masse puntiformi

4.3.1 61

Sistemi di masse continue

4.3.2 62

Flusso di campo gravitazionale

4.4 63

Flusso di un campo

4.4.1 63

Legge di Gauss per il campo gravitazionale

4.4.2 63

Dimostrazione legge di Gauss

4.4.3 67

Effetti della gravitazione sulla superficie terrestre 67

4.5

5 carica elettrica 69

Confronto con la gravitazione

5.1 69

Forza elettrostatica

5.1.1 69

Campo elettrostatico

5.1.2 70

Sistemi di cariche

5.1.3 71

Legge di Gauss in elettrostatica

5.2 72

Campo di una sfera carica cava

5.2.1 72

Campo di un filo carico

5.2.2 73

Campo generato da un lastra piana

5.2.3 74

Linee di campo

5.2.4 75

Teorema della divergenza

5.3 75

Divergenza di un campo scalare

5.3.1 75

Teorema della divergenza di gauss

5.3.2 76 INDICE 4

6 meccanica dei fluidi 80

Statica dei fluidi

6.1 80

Pressione

6.1.1 80

Equilibrio statico

6.1.2 80

Legge di Stevin

6.1.3 81

Principio di Pascal

6.1.4 83

Capillarità

6.1.5 84

Tensione superficiale

6.1.6 85

Principio di Archimede

6.1.7 86

Dinamica dei fluidi

6.2 86

Moto stazionario

6.2.1 87

Equazione di Bernoulli

6.2.2 89

Teorema di Torricelli

6.2.3 90

7 termodinamica 95

Sistemi termodinamici

7.1 95

Calore e temperatura

7.1.1 95

Principio zero

7.2 96

Primo principio della termodinamica

7.3 96

Energia interna

7.3.1 96

Calorimetria

7.3.2 97

Trasmissione del calore

7.3.3 98

Gas Perfetti

7.4 99

Equazione di stato dei gas ideali

7.4.1 99

Lavoro di un gas ideale

7.4.2 102

Trasformazioni reversibili e non

7.4.3 103

Diagramma di Clapeyron

7.4.4 103

Trasformazioni reversibili nei gas ideali

7.4.5 104

Cicli termodinamici reversibili

7.4.6 108

Secondo principio della termodinamica

7.5 109

Enunciato di Kelvin

7.5.1 109

Enunciato di Clausius

7.5.2 109

1 MISURE

1.1 grandezze fisiche

Le leggi fisiche stabiliscono un legame tra le grandezze fisiche,

in particolare si occupano solo di grandezze perché vuo-

misurabili

le descrivere la realtà. Le grandezze fisiche si possono dividere in

due categorie: e La scelta delle grandezze

Fondamentali Derivate.

fondamentali è arbitraria, nel sistema internazionale sono state scelte

e Ogni grandezza può poi avere natura

Lunghezza, Tempo Massa.

(il solo valore basta a definirla es. temperatura) o

Scalare Vettoriale

(serve un vettore per descriverla es. velocità). Ogni grandezza fisica è

definita in modo operativo, cioè dal modo o dall’insieme delle diverse

procedure che vengono usate per misurarla (es. il tempo è quella gran-

dezza che viene misurata con l’orologio), non si può quindi misurare

una grandezza in maniera arbitraria ma bisogna seguire questi metodi.

Unità di misura

Ogni grandezza fisica deve avere un unità di misura associata. Le

unità di misura fondamentali sono quelle delle grandezze fonda-

3

mentali, le altre si derivano da lì ma possono avere un nome loro es.

2

·

kg m/s

Newton (N) =

Equazioni dimensionali

Questo tipo di equazione mette in relazione le unità di misura di

un’equazione fisica. Un’equazione dimensionale verifica la correttezza

di un’equazione per quanto riguarda la relazione tra le grandezze

che compaiono. Perché un’equazione dimensionale sia corretta devo

avere i due membri uguali. Nell’equazione dimensionali non sono

considerate le costati.

1.2 misure

Le misure possono essere fatte in modo (confronto con

diretto

un’unità campione o una sua copia es. un righello) o cioè

indiretto,

misurando un’altra/e grandezza/e e ricavando quella di interesse

dalle formule. Ciò che vogliamo ottenere da una misurazione è il 5

1.3 incertezze 6

valore più probabile, non potremo mai avere il valore vero; per fare

questo si procede calcolando il valore medio delle N misure

N

1 ∑

= x

x̄ (1.1)

i

N =

i 1

poi nel caso di una misura indiretta si utilizza il valore medio nelle

formule. Se c’è più di una grandezza misurata si procede nello stesso

modo.

1.3 incertezze

Ogni misura è legata ad un incertezza (non perché questo

errori

presuppone che io conosca il valore corretto), queste possono essere di

tipi:

2 • Accidentale: dovuta a fattori casuali che impattano sulla singola

questo errore va a disperdersi con un elevato numero di

misura,

misure. Se questo tipo di incertezza è piccolo la misura è precisa

• Sistematico: (es. un righello metallico usato a diverse tempe-

rature) impatta su si può tenere conto di ciò

tutte le misure,

attraverso metodi statitici avanzati. Se questo tipo di incertezza è

piccolo la misura è accurata

L’incertezza può essere calcolare come (con essa possiamo

assoluta − +

x̄ I x̄ I

dire con buona certezza che il valore esatto starà tra e ) o

A A

≤

N

Nel caso delle misure dirette con 5

relativa. −

x x I

max min A

= =

I I

A R x̄

2

Quando il numero di misure è più elevato possiamo usare metodi

statistici più avanzati per definire l’incertezza

1 2

−

x

1 µ

( )

−

√

|

( ) =

f x e (1.2)

2

µ, σ σ

2π

σ

questa formula descrive la curva di Gauss, che determina la densità

di probabilità delle misurazioni. I valori di e corrispondono

µ σ

rispettivamente al punto di massimo della curva e alla sua ampiezza

= x̄,

Sappiamo anche che mentre è la deviazione standard.

µ σ

Per calcolare quest’ultima dobbiamo utilizzare la formula dello scarto

quadratico medio s N

∑ 2

−

( )

x x̄

i

=

i 1

= (1.3)

σ −

N 1 1.3 incertezze 7

Rappresentazione grafica della funzione (1.2) al variare di e

Figura 1.1: µ σ

utilizzando N-1 al posto di N rendiamo la formula utilizzabile anche

nel caso di una misura singola (altrimenti avremmo ottenuto e ’co-

0)

stringe’ a fare più misurazioni per avere la stessa accuratezza dell’altra

formula. Affianco al valore più probabile in una misura va invece

affiancato , cioè

σ

µ σ

√

= (1.4)

σ

µ N

1.3.1 Misure indirette

Nel caso di misure indirette (cioè ottenute tramite una formula)

il calcolo dell’incertezza dipende dalla formula, se questa è data da

somme o sottrazioni avremo ∑

=

I I

A Ai

i

cioè l’incertezza assoluta corrisponde alla somma delle incertezze.

Nel caso di una forma monomia del tipo

α β γ

=

S x y z

la corrispondenza si ha negli errori relativi

∑

= ( )

I I

exp

R Ri

i i,

con exp esponente della grandezza queste sono forme semplificate,

in casi con poche misure la formula completa sarebbe

f

∂

∑

∆ ∆x

=

f (1.5)

i

∂x i

i

quando ho invece tante misure la formula da usare è

v 2

u

f

∂

∑

u

= (1.6)

σ σ

x

t

f i

∂x i

i

2 C I N E M AT I C A moto punto materiale

La cinematica si occupa di descrivere il di un

(trascura quindi la sua massa e le sue dimensioni)

variazione della posizione spaziale nel tempo rispetto ad un

moto

sistema di riferimento sistema che permette di riconoscere uni-

sistema di coordinate

vocamente la posizione di un punto. Un sistema di coordinate in n

dimensioni ha bisogno di n coordinate, di cui almeno una deve essere

una distanza. Il più comune è il sistema a coordinate quel-

ortogonali,

lo classico con gli assi x, y e z nello spazio. Il sistema di coordinate

viene scelto in base a quanto semplifica la situazione e i calcoli.

equazione che descrive la traiettoria del moto o come

legge oraria

viene percorsa (velocità, accelerazione. . . ) ⃗

r,

Il moto è caratterizzato in particolare dal dal

vettore posizione

⃗ ⃗

v a.

e dall’accelerazione Il primo è definito come il

vettore velocità

vettore che parte dall’origine del sistema cartesiano e va al punto P

dove si trova il punto all’istante t, la velocità è invece definita come la

variazione della posizione nel tempo, cioè

⃗

d r

⃗ =

v (2.1)

dt

mentre l’accelerazione è la variazione della velocità nel tempo

2

⃗ ⃗

d v d r

⃗ =

=

a (2.2)

2

dt dt

Queste relazioni sono valide indipendentemente dal sistema di

coordinate. insieme dei punti dello spazio che il punto occupa

traiettoria

nel tempo. Può essere descritta come la somma delle variazioni

⃗ ( )

d r t

infinitesimali del vettore posizione, cioè la somma di tutti i

2.1 moto rettilineo

Il moto rettilineo è un moto caratterizzato da una traiettoria che

sta su una retta (cioè dritta). In questo tipo di moto il sistema più 8

2.1 moto rettilineo 9

conveniente da usare è il sistema di coordinate ortogonale. Per sempli-

ficare i calcoli consideriamo inizialmente il movimento solo sull’asse x,

⃗ ( ) = ( )

r t x t î

avremo quindi che e di conseguenza dalle relazioni viste

( ) ( )

dx t dv t

( ) = ( ) =

v t a t

prima e . Facciamo alcuni passaggi a partire

dt dt

da quest’ultima equazione:

Z Z Z

⇒ ⇒

( ) = ( ) ( ) = ( ) ( ) = ( )

dv t a t dt dv t a t dt v t a t dt

ottenendo un integrale indefinito nella sua risoluzione avrò anche una

costante che dovrà corrispondere dimensionalmente ad una velocità,

v

questa può essere ricondotta alla velocità iniziale . Possiamo quindi

0

scrivere l’integrale sopra come t

Z

( ) = ( ) +

v t a t dt v 0

t 0

tutto ciò può essere riportato esattamente per la posizione, dove però

x

la c dell’integrale corrisponde alla posizione iniziale 0

Z Z

( ) = ( ) + +

x t a t dt v dt x

0 0

portando questo nelle dimensioni avrò

3

( ) ( ) ( )

dx t dy t dz t

⃗ ⃗ ⃗ ⃗

( ) = + + = + +

v t î ĵ k̂ v v v

x y z

dt dt dt

In questo sistema di coordinate i versori sono costanti, per questo non

sono considerati nelle derivate. Questo è il caso più generale, ci sono

poi alcuni casi particolari

2.1.1 Moto rettilineo uniforme

In questo tipo di moto abbiamo una velocità costante; essendo

l’accelerazione la derivata della velocità essa sarà nulla. Avremo

quindi ( ) =

a t 0

t

Z

( ) = ( ) + = =

v t a t dt v v v (2.3)

0 0

t 0

t

Z −

( ) = + = + ( )

x t v dt x x v t t

0 0 0

t 0 2.1 moto rettilineo 10

A sinistra il grafico della posizione in funzione del tempo, a

Figura 2.1: destra la velocità in funzione del tempo per il moto rettilineo

uniforme

2.1.2 Moto uniformemente accelerato

Moto in cui l’accelerazione è costante, in formule avremo quindi

( ) =

a t a

t

Z −

( ) = + = + ( )

v t a dt v v a t t (2.4)

0 0 0

t 0

t 1

Z 2

−

( ) = ( )

( ) + = + +

x t a t t

v t dt x x v t 0

0 0 0 2

t 0

A sinistra il grafico della posizione in funzione del tempo, a de-

Figura 2.2: stra la velocità in funzione del tempo per il moto uniformemente

accelerato

Moto con accelerazione proporzionale alla velocità

Si potrebbe prendere come esempio l’effetto dell’attrito dell’aria. In

questo caso avremo quindi −

( ) = ( )

a t t

αv 2.2 moto sul piano 11

Il parametro che moltiplica v è negativo in quanto l’attrito crea una

− 1

s

decelerazione. Dimensionalmente sarà . Dall’equazione (2.2) pos-

siamo scrivere ( ) ( )

dv t dv t

− −

= ( ) =

t dt

αv α

( )

dt v t

1

Z Z −

+

t c c

− − αt

( ) = = + = =

dv t dt v c v e e e

ln

α αt

( )

v t

c

e deve corrispondere dimensionalmente ad una velocità, avrò quindi

c =

e v

che , quindi la formula finale della velocità sarà

0 − αt

( ) =

v t v e

0

Velocità media

La velocità media è definita come la velocità costante che il punto

dovrebbe tenere per percorrere uno spazio x in un tempo t. Si calcola

semplicemente come ∆x

=

v m ∆t

questo può essere applicato ad ogni tipo di moto. Nel caso di un moto

non lineare questa è diversa dalla media delle velocità

2.2 moto sul piano

Per rappresentare un moto non rettilineo ho bisogno almeno di

dimensioni. Per semplicità iniziamo a considerare uno spazio in

2 2

dimensioni, in questo caso avremo che il vettore posizione è

⃗ = ( ) + ( )

r x t î y t ĵ

Ogni direzione è dalle altre e quindi può essere anche

indipendente

trattata separatamente.

2.2.1 Grandezze intrinseche

Nel moto non rettilineo ci sono casi in cui può convenire utilizzare

sistemi di coordinate non ortogonali, un esempio sono le grandezze

intrinseche. Queste sono comode quando ho sistemi in movimento

7→ grandezze misurate rispetto al siste-

grandezze intrinseche

ma dell’oggetto di studio distanza percorsa lungo la traiettoria

spostamento intrinseco 2.2 moto sul piano 12

Rappresentazione grafica dell’accelerazione in coordinate intrin-

Figura 2.3: seche

In questo sistema di coordinate i versori sono uno tangente alla

)

û û

traiettoria ( ) e uno perpendicolare (normale) ad essa ( ). In questo

T N

sistema derivando va tenuto conto delle derivate dei versori in quanto

non sono costanti ma variano con la traiettoria. Scriviamo quindi la

formula della velocità ⃗ ( ) = ( )

v t v t û T

L’accelerazione sarà sempre la derivata della velocità, ma essendo che

anche il versore cambia nel tempo dovremo considerare l’espressione

come la derivata di un prodotto:

( ) ( )

dv t û dv t dû

T T

⃗ ( ) = = + ( )

a t û v t

T

dt dt dt

Il primo termine rappresenta la variazione in modulo della velocità

a

lungo la traiettoria, che corrisponde all’accelerazione .

tangenziale T

Il secondo termine invece descrive la variazione della direzione della

a

velocità, cioè l’accelerazione . Dobbiamo però capire a

normale N

û

cosa corrisponde la derivata di : essa descrive la variazione della

T

direzione della velocità, cioè la curvatura di v; essa avrà direzione

normale dû T

( ) = ( )

v t a t û

N N

dt

L’equazione c