Riassunto esame Fisica I, Prof. Tagliaferro Alberto, libro consigliato Fisica. Meccanica, termodinamica vol. 1, Paolo Mazzoldi, Massimo Nigro

Z

( ) = ( ) +

v t a t dt v 0

t 0

tutto ciò può essere riportato esattamente per la posizione, dove però

x

la c dell’integrale corrisponde alla posizione iniziale 0

Z Z

( ) = ( ) + +

x t a t dt v dt x

0 0

portando questo nelle dimensioni avrò

3

( ) ( ) ( )

dx t dy t dz t

⃗ ⃗ ⃗ ⃗

( ) = + + = + +

v t î ĵ k̂ v v v

x y z

dt dt dt

In questo sistema di coordinate i versori sono costanti, per questo non

sono considerati nelle derivate. Questo è il caso più generale, ci sono

poi alcuni casi particolari

2.1.1 Moto rettilineo uniforme

In questo tipo di moto abbiamo una velocità costante; essendo

l’accelerazione la derivata della velocità essa sarà nulla. Avremo

quindi ( ) =

a t 0

t

Z

( ) = ( ) + = =

v t a t dt v v v (2.3)

0 0

t 0

t

Z −

( ) = + = + ( )

x t v dt x x v t t

0 0 0

t 0 2.1 moto rettilineo 10

A sinistra il grafico della posizione in funzione del tempo, a

Figura 2.1: destra la velocità in funzione del tempo per il moto rettilineo

uniforme

2.1.2 Moto uniformemente accelerato

Moto in cui l’accelerazione è costante, in formule avremo quindi

( ) =

a t a

t

Z −

( ) = + = + ( )

v t a dt v v a t t (2.4)

0 0 0

t 0

t 1

Z 2

−

( ) = ( )

( ) + = + +

x t a t t

v t dt x x v t 0

0 0 0 2

t 0

A sinistra il grafico della posizione in funzione del tempo, a de-

Figura 2.2: stra la velocità in funzione del tempo per il moto uniformemente

accelerato

Moto con accelerazione proporzionale alla velocità

Si potrebbe prendere come esempio l’effetto dell’attrito dell’aria. In

questo caso avremo quindi −

( ) = ( )

a t t

αv 2.2 moto sul piano 11

Il parametro che moltiplica v è negativo in quanto l’attrito crea una

− 1

s

decelerazione. Dimensionalmente sarà . Dall’equazione (2.2) pos-

siamo scrivere ( ) ( )

dv t dv t

− −

= ( ) =

t dt

αv α

( )

dt v t

1

Z Z −

+

t c c

− − αt

( ) = = + = =

dv t dt v c v e e e

ln

α αt

( )

v t

c

e deve corrispondere dimensionalmente ad una velocità, avrò quindi

c =

e v

che , quindi la formula finale della velocità sarà

0 − αt

( ) =

v t v e

0

Velocità media

La velocità media è definita come la velocità costante che il punto

dovrebbe tenere per percorrere uno spazio x in un tempo t. Si calcola

semplicemente come ∆x

=

v m ∆t

questo può essere applicato ad ogni tipo di moto. Nel caso di un moto

non lineare questa è diversa dalla media delle velocità

2.2 moto sul piano

Per rappresentare un moto non rettilineo ho bisogno almeno di

dimensioni. Per semplicità iniziamo a considerare uno spazio in

2 2

dimensioni, in questo caso avremo che il vettore posizione è

⃗ = ( ) + ( )

r x t î y t ĵ

Ogni direzione è dalle altre e quindi può essere anche

indipendente

trattata separatamente.

2.2.1 Grandezze intrinseche

Nel moto non rettilineo ci sono casi in cui può convenire utilizzare

sistemi di coordinate non ortogonali, un esempio sono le grandezze

intrinseche. Queste sono comode quando ho sistemi in movimento

7→ grandezze misurate rispetto al siste-

grandezze intrinseche

ma dell’oggetto di studio distanza percorsa lungo la traiettoria

spostamento intrinseco 2.2 moto sul piano 12

Rappresentazione grafica dell’accelerazione in coordinate intrin-

Figura 2.3: seche

In questo sistema di coordinate i versori sono uno tangente alla

)

û û

traiettoria ( ) e uno perpendicolare (normale) ad essa ( ). In questo

T N

sistema derivando va tenuto conto delle derivate dei versori in quanto

non sono costanti ma variano con la traiettoria. Scriviamo quindi la

formula della velocità ⃗ ( ) = ( )

v t v t û T

L’accelerazione sarà sempre la derivata della velocità, ma essendo che

anche il versore cambia nel tempo dovremo considerare l’espressione

come la derivata di un prodotto:

( ) ( )

dv t û dv t dû

T T

⃗ ( ) = = + ( )

a t û v t

T

dt dt dt

Il primo termine rappresenta la variazione in modulo della velocità

a

lungo la traiettoria, che corrisponde all’accelerazione .

tangenziale T

Il secondo termine invece descrive la variazione della direzione della

a

velocità, cioè l’accelerazione . Dobbiamo però capire a

normale N

û

cosa corrisponde la derivata di : essa descrive la variazione della

T

direzione della velocità, cioè la curvatura di v; essa avrà direzione

normale dû T

( ) = ( )

v t a t û

N N

dt

L’equazione completa sarà quindi

⃗ ( ) = ( ) + ( )

a t a t û a t û

T T N N

Analizziamo ora lo spazio percorso. Da ciò che è stato detto sopra

avremo che ⃗ ( ) = ( )

d s t v t û dt

T

Possiamo ottenere il modulo da ciò utilizzando il prodotto scalare tra

lo spazio e il suo versore:

| ·

⃗ ⃗

( )| = ( ) = ( ) =

d s t ds t d s t û T ·

= ( ) ( ) =

v t dt û û

T T · · ·

= ( ) = ( )

v t dt v t dt

1 1 cos 0

2.2 moto sul piano 13

Vettore posizione in coordinate polari

Figura 2.4:

2.2.2 Coordinate polari

Un sistema di coordinate utile nei moti curvilinei (in particolare

quelli circolari) è il sistema a coordinate polari, dove le due coordinate

∈ [ ]

sono una la distanza dall’origine r e l’altra l’angolo 0; 2π che il

ϑ

vettore posizione forma con l’ipotetico asse delle x. I due versori qui

û

sono , orientato come il raggio r che determina la variazione del

r û

raggio, e , perpendicolare ad esso che determina invece la variazione

ϑ

di Anche qui i due versori non sono costanti e andranno quindi

ϑ.

considerati nelle derivate, ma rimarranno sempre ortogonali, quindi si

influenzano a vicenda.

Da questa figura vediamo come la posizione del punto P possa

essere ugualmente definita sia dalle coordinate cartesiane come (4,3),

che dalle coordinate polari: per passare dalle cartesiane alle polari:

vediamo dalla figura che basterà fare

q 2 2

= +

r x y (2.5)

p P P

y P

= arctan (2.6)

ϑ p x P

Per definizione avremo quindi che il vettore posizione corrisponde a

⃗ =

r r û . Quindi la velocità sarà

r |

⃗ ( ) ( ) ( )|

d r t d r t û t

r

⃗ ( ) = = =

v t dt dt ( ) ( )

dr t dû t

r

= ( ) + ( ) =

û t r t

r

dt dt ⃗ ⃗

= + = +

v û v û v v (2.7)

r r r

ϑ ϑ ϑ

v

Chiamiamo qui cioè la velocità con cui varia r

velocità radiale,

r =

v

(nel caso di un moto circolare 0 perché la distanza dall’origine

r

v

è costante) e (o tangenziale). Durante il moto

velocità trasversa

ϑ

anche varia, avremo quindi una nuova grandezza definita come la

ϑ

variazione dell’angolo, che chiameremo misurata in

velocità angolare,

rad/s ( )

dϑ t

= (2.8)

ω dt 2.2 moto sul piano 14

Cerchiamo ora di capire come la velocità angolare si relaziona con

la velocità v. Per semplificare le cose prendiamo il caso di un moto

circolare, così da eliminare la velocità radiale

I punti P e Q sullo stesso raggio percorrono spazi diversi per lo

Figura 2.5: stesso angolo ϑ ∆ϑ

=

s r

Vediamo che tra P e P’ c’è uno spazio e tra Q e Q’

P P

∆ϑ

=

s r

Q Q =

ds rdϑ

Per un arco infinitesimale si avrà quindi

Possiamo eguagliare ciò alla relazione (2.1) e otterremo

=

rdϑ v dt

ϑ

=

v v

In questo caso per la semplificazione considerata. Continuando

ϑ

con i calcoli otterremo

dϑ v v

ϑ ϑ

⇒ ⇒

= = =

v

ω ωr

ϑ

dt r r

Abbiamo quindi una relazione che lega i moduli delle grandezze, ma

3

essendo v ed r vettori ortogonali ho bisogno di una relazione vettoriale

che giustifichi l’equazione sopra e che mi dia come risultato un vettore.

La soluzione è un prodotto vettoriale. Devo trovare quindi il vettore

⃗ :

ω ⃗ = û

ω ω ω ⃗

v

Per giustificare la direzione di il versore di deve essere in direzio-

ω

ϑ û

ne ortogonale alla traiettoria, quindi non cambia nel tempo dato

ω

che consideriamo il moto su un piano. Possiamo scrivere dunque

×⃗

⃗

=

v r (2.9)

ω

ϑ

Si scrive in quest’ordine per convenzione. Questa è però l’equazio-

ne della sola velocità trasversa, possiamo ora scrivere l’equazione

completa della velocità in coordinate polari ×⃗

⃗ ⃗ ⃗ ⃗

= + = +

v v v v û r

ω

r r r

ϑ 2.2 moto sul piano 15

Avendo ora l’equazione generale della velocità possiamo cercare quella

dell’accelerazione ×

⃗ [ + ( ) ( )]

( ) d v û û r û

d v t ω

r r r

ω

⃗ ( ) = = =

a t dt dt

dv dû dω dr dû

r r r

× × ×

= + + ( ) + ( ) + ( )

û v û r û û û û r

ω ω

r r r r

ω ω ω

dt dt dt dt dt

Iniziamo ora a semplificare l’espressione sostituendo la derivata della

a

velocità radiale con l’accelerazione radiale , la derivata della velocità

r

angolare con l’accelerazione angolare e la derivata di r con la velocità

α

radiale dû

dû r

r × × ×

⃗ + ( ) + ( ) + ( ) =

= + û r û û v û û r

a a û v α ω ω

r r r

r r r ω ω ω

dt dt

dû dû

r r

×⃗ × ×

⃗ ⃗ ⃗ ⃗

= + +⃗ + +

a v r v r

α ω ω

r r r

dt dt

û

Devo ancora capire a cosa corrisponde la derivata di : so che dovrà

r