Riassunto esame Meccanica e Termodinamica - Parte 1, prof. Rotondi, libro consigliato Fisica - Volume 1", Mazzoldi, Nigro, Voci

Meccanica

Angelo Raimondi

Contents

1 Breve introduzione 4

2 Strumenti utili per l’apprendimento 6

2.1 Vettori e proprietà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.2 Sistemi di riferimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.3 Derivata di un vettore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.4 Coseni direttori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

3 Cinematica 11

3.1 Cinematica Relativistica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

3.2 Moto Armonico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

3.3 Moto rettilineo smorzato esponenzialmente . . . . . . . . . . . . 15

3.4 Moti curvilinei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3.5 Moto circolare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3.6 Moto parabolico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

4 Dinamica 21

4.1 Reazione vincolare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

4.2 Forza peso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

4.3 Forza d’attrito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

4.4 Caduta in un corpo viscoso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

4.5 Forza elastica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

4.6 Forza centripeta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

4.7 Tensione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

4.8 Momento di una forza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

5 Lavoro, Energia e Potenza 28

6 Moti Relativi 32

6.1 Moto rotatorio uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

7 Dinamica dei sistemi 35

7.1 Sistema di riferimento del centro di massa . . . . . . . . . . . . . 36

7.2 Teoremi di König . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

7.3 Urti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

1

7.4 Massa variabile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

8 Gravitazione 42

8.1 Campo gravitazionale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

8.2 Potenziale ed energia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

44

8.4 Osservazioni ed approfondimenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

9 Corpi rigidi 49

9.1 Proprietà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

9.2 Teorema di Huygens-Steiner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

9.3 La ruota . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

9.4 Momento d’inerzia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

9.5 Perturbazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

2

1 Breve introduzione

Gli appunti che seguiranno sono stati redatti da uno studente laureato, con

il semplice obiettivo di digitalizzare i propri appunti, per motivi di praticità.

Non sono riproduzioni fedeli delle lezioni, piuttosto un’unione fra pagine scritte

durante queste ed integrazione da parte di uno o più libri (in questo caso prin-

cipalmente il Fisica Volume 1 - Mazzoldi, Nigro, Voci ). Sono estremamente

probabili errori grammaticali, di battitura nella scrittura del pdf, ma anche

concettuali (classici errori da studenti, nessuno è onniscente), nonostante ciò mi

sono stati utilissimi nel superare tale esame. Bene sottolineare anche come i

ragionamenti siano adatti alla mia forma mentis, quindi augurandovi di trovar-

vici bene, spero siano d’aiuto per qualcuno, qualsiasi sia l’occasione di lettura di

questi appunti. In ogni caso, se volenterosi di correggere eventuali sviste ed er-

rori, contattatemi pure (tramite sito di acquisto di questi appunti) e provvederò

a correggerli non appeno potrò!

Grazie dell’attenzione e buona lettura e studio!

4

2 Strumenti utili per l’apprendimento

Per prima cosa, è bene ripassare quello che viene definito come calcolo vettoriale,

in quanto estremamente centrale in ambito meccanico (e non solo).

2.1 Vettori e proprietà

Innanzitutto i vettori sono degli elementi necessari per rappresentare quan-

tità fisiche tramite una direzione, verso ed intensità (un numero, in generale).

Fanno parte di uno spazio vettoriale, quindi possono essere sommati fra loro e

moltiplicati per dei numeri, detti invece scalari in quanto solo numeri/quantità.

Vediamo le proprietà generali:

⃗b,

• Somma: ⃗c = ⃗a + graf. ottenuto con la regola del parallelogramma;

• Modulo: chiamata anche norma del vettore, quantità numerica che indica

q 2 2 2

|v| v + v + v

l’intensità o lunghezza del vettore stesso. Si calcola con = x y z

nel sistema cartesiano; #» #»

• v

Versori: vettori di modulo unitario, u = = 1;

|v|

• Scomposizione componenti: è possibile scomporre un vettore nelle sue

componenti moltiplicate a dei versori, in funzione del sistema di riferi-

#» # » # » # »

mento scelto. Ad esempio nel cartesiano si ha v = v u + v u + v u ;

x x y y z z

#»

#» #» #»

• P P P P

· ·

Prodotto scalare: a b = ( a u ) ( b u ) = a b δ =⇒

i i j j i j ij

i j i j

#»

#» P

·

=⇒ a b = a b ;

i i

i #»

#» #»

• × |a| · |b|

Prodotto vettoriale: a b = c = sin θ, con θ angolo compreso

#» #»

#» #»

× − ×

fra i due vettori. Vale inoltre b a = a b . Considerando i versori,

si introduce il simbolo di Levi-Civita ϵ associato ai versori degli assi

ijk

#» #» # » #» #» # »

×

x, y, z, rispettivamente u , u e u : u u = u ϵ , dove

i j k i j k ijk

 1 , numero di permutazioni di ijk pari



 −1

ϵ = , numero di permutazioni di ijk dispari

ijk  0 , se due indici uguali fra ijk



Ancora, è possibile anche valutare la direzione e verso del nuovo vettore

con la regola della mano destra, ovvero ruotando la mano destra dal primo

al secondo vettore (nell’ordine preciso di comparsa nel prodotto), se la

rotazione è oraria, il nuovo vettore ”uscirà” dal palmo della mano, in caso

contrario anti-orario, dal dorso invece. Allora con Levi-Civita, possiamo

6

anche calcolare:

#»

#» # » # » # » # » # » # »

× ×

a b = a u + a u + a u b u + b u + b u =

x x y y z z x x y y z z

# » # » # » # » # » # » # » # » # » # »

× × × × ×

= a b u u + a b u u + a b u u + a b u u + a b u u +

x x x x x y x y x z x z y x y x y y y y

# » # » # » # » # » # » # » # »

× × × ×

+a b u u + a b u u + a b u u + a b u u =

y z y z z x z x z y z y z z z z

# » # » # » # » # » # »

− − −

= a b u a b u a b u + a b u + a b u a b u =

x y z x z y y x z y z x z x y z y x

# » # » # »

− − −

= a b a b u + a b a b u + a b a b u (1)

y z z y x z x x z y x y y x z

2.2 Sistemi di riferimento

Si tratta di un sistema di coordinate necessarie per individuare i vettori e

grandezze vettoriali, di conseguenza. Esistono diversi tipo di sistemi di rifer-

imento, la scelta dipende dal sistema che si sta studiando, puntando alla co-

modità d’uso. L’aspetto principale sono i versori, i quali moltiplicati alle com-

ponenti scalari, tutti in combinazioni lineari, è possibile costruire la posizione

di qualsiasi oggetto. Alcuni di essi sono:

• Cartesiano: il più classico, i più utilizzati sono in 2 o 3 dimensioni (2-3

assi cartesiani). I versori caratteristici sono quelli lungo le tre direzioni,

# » # » # »

cioè u , u e u ;

x y z

• Polare: sistema di riferimento 2-dim. che prevede una coordinata radiale

ed una angolare, indicate con r e θ. Nel caso fossimo in 3-dim., si aggiunge

un’ulteriore angolare (la prima rispetto all’asse z e la seconda all’asse x),

cioè r, θ e ϕ. Vengono definite sferiche;

• Mobile: riferimento solidale ad un punto materiale in moto, si utilizzano

# » # »

come coordinate i versori tangente e normale alla traiettoria, u e u .

T N

Si può passare dal cartesiano al mobile tramite una semplice matrice di

rotazione:

−

a cos θ sin θ a

x T

·

= (2)

a sin θ cos θ a

y N

⃗v

→

−

v z θ r →

−

v y

→

−

v ϕ

x 7 d⃗

v

dt

⃗v (t) ∆⃗v

∆θ ⃗v (t + ∆t) #»

Figure 1: Derivata di un vettore v .

2.3 Derivata di un vettore

Molto frequentemente si parlerà di derivata di un vettore, strumento utile nell’analisi

vettoriale, matematicamente simile a quello funzionale, ma sarà utile nel definire

#»

diverse quantità. Sia quindi un vettore in funzione del tempo v (t) il quale varia,

#»

con la traiettoria, in v (t + ∆t). Allora si definisce derivata di un vettore:

#» #» #»

−

d v (t + ∆t) v (t) ∆ v

#»

v = lim = lim

dt ∆t ∆t

∆t→o ∆t→0

d d

d # » # » # »

v u + v u + v u (3)

= x x y y z z

dt dt dt

Il vettore appena descritto come derivata, in realtà, è un nuovo vettore or-

#» #»

togonale all’originale v . Stessa cosa vale per i versori u , i quali sono considerati

i →

costanti rispetto a t, di conseguenza una variazione ∆t 0 vuol dire far coin-

#»

cidere il vettore differenza ∆ u , dato da una variazione d’angolo θ, con l’arco

#»

differenziale d u . In pratica: #»

d u dθ

#» #» # » # »

d u = u (t)dθ = u dθ =⇒ = u (4)

N N

dt dt

# » #»

con u sempre normale alla traiettoria, essendo u (t) costante. Ma allora

N #» #»

·

consideriamo v = v u e ne studiamo la derivata:

#» #»

d v dv d u dv dθ

#» # » # »

= u + v = u + v u (5)

r θ

dt dt dt dt dt

Abbiamo ottenuto la derivata in coordinate polari, dove il primo termine è

#»

radiale, quindi parallelo a v iniziale, mentre il secondo termine è ortogonale a

#»

v , detto tangenziale. 8

2.4 Coseni direttori

Si tratta di particolari coseni di angoli fra gli assi cartesiani ed il vettore, molto

utili per descrivere quest’ultimo. In particolare, α è associato all’asse x, β

all’asse y e γ all’asse z (gli angoli verranno indicati per semplicità con θ ).

i

Grazie alle proprietà trigonometriche:

#» #» # » # » # » # » # » # »

X

v = v u = v cos θ u + v cos θ u + v cos θ u = v(α u + β u + γ u ) =⇒

i i 1 x 2 y 3 z x y z

i

#» 2 2 2 2 2 2 2 2

| | ⇐⇒

=⇒ v = v (α + β + γ ) α + β + γ = 1 (6)

Possiamo descrivere i coseni direttori anche in questa maniera:

# »

· v

v u 1

x =

α = cos θ =

1 p

||v|| 2 2 2

v + v + v

1 2 3

# »

· v

v u 2

y =

β = cos θ =

2 p

||v|| 2 2 2

v + v + v

1 2 3

# »

·

v u v

z 3

γ = cos θ = =

3 p

||v|| 2 2 2

v + v + v

1 2 3

9

3 Cinematica

Si tratta della branca della Meccanica che studia il moto senza tenere conto delle

cause di esso. Innanzitutto definiamo la terminologia di base della cinematica:

• Punto materiale: corpo di dimensioni trascurabili rispetto agli sposta-

menti che compie;

• Traiettoria: luogo geometrico dei punti occupati successivamente dal

punto materiale in movimento e costituisce una curva continua nello spazio;

• Quiete: tipo di moto in cui le coordinate restano costanti, quindi anche

velocità ed accelerazioni;

• Vettore posizione: definito come un vettore le cui componenti dipen-

#» # » # » # »

dono dal tempo t, quindi r = x(t); y(t); z(t) = x u + y u + z u ;

x y z

• Diagramma orario: descritto dalla variazione del vettore posizione, gov-

ernata da una legge oraria.

x →

∆t 0 ⃗r (t) ⃗r (t + ∆t)

B

A ⃗r (t + ∆t)

⃗r (t) t

t t

∆t

i f

Figure 2: Esempio di legge oraria x(t) di un moto, con calcolo della velocità

istantanea

Come sappiamo, calcolare la velocità vuol dire valutare lo spazio percorso

rispetto al tempo impiegato per percorrerlo, quindi si parla di velocità media

−x

x ∆x

i

f = . Se invece si volesse valutare la velocità in un preciso istante,

v =

m −t

t ∆t #»

i

f r , allora si parla di

dato il punto materiale in una certa posizione descritta da

velocità istantanea: #» #» #»

−

∆ r r (t + ∆t) r (t) d

#» #» #»

v = lim v = lim = lim = r (7)

i m ∆t ∆t dt

∆t→0 ∆t→0 ∆t→0

Per definizione di rapporto incrementale, possiamo decretare che la velocità

istantanea è la derivata del vettore posizione.

11

Finora abbiamo parlato di moto rettilineo, di velocità lineare, cosa accadrebbe

se il moto fosse curvilineo, invece? In cinematica, cosı̀ come in dinamica, tale

situazione non prevede alcun cambio drastico dal punto di vista matematico,

serve solo una leggere flessibilità mentale. E’ possibile, infatti, creare delle as-

sociazioni mentali e logiche fra elementi di un moto rettilineo con quelli di uno

curvilineo e proprio ora faremo il primo passo: come già detto la velocità è

definita come il rapporto fra spazio e tempo, analogamente per il nuovo caso

soltanto che non si parla di ”spazio” come distanza percorsa, ma di angolo trac-

ciato dalla curva. L’associazione sta proprio nel sostituire lo spazio o posizione

x con l’angolo ”spazzato” θ, quindi definiamo la velocità angolare come:

dθ

dθ #»

#»

| | oppure ω = 0; 0; (8)

ω = dt dt

Riscriviamo ora il nostro vettore posizione in coordinate polari sul piano xy

#» # » # »

r = r cos θ u + r sin θ u e ne ricaviamo la velocità:

x y

#» dr dθ dr dθ

d r # » # » # » # »

−

= cos θ u r sin θ u + sin θ u + r cos θ u =

x x y y

dt dt dt dt dt

dr dθ dθ

# » # » # » # »

−

= cos θ u + sin θ u + r cos θ u sin θ u =

x y y x

dt dt dt

dr # » #» #»

×

u + ω r (9)

= r

dt

Possiamo trarre due considerazioni molto importanti per descrivere i primi

semplici moti di un punto materiale:

• Prima di tutto supponiamo moto unidimensionale in direzione x, cioè

#»

x = x(t); 0; 0 . Allora:

#» x t t

Z Z Z

d x

#» #» #» ′ ′ ′ ′

⇐⇒

v = =⇒ d x = v dt dx = vdt =⇒ x(t) = x + v(t )dt

0

dt x t t

0 0 0

(10)

con x posizione iniziale. Questo moto è chiamato Moto Rettilineo, se

0

non si ha accelerazione (a(t) = 0 =⇒ v(t) = v ), allora vale x(t) =

0

−

x + v (t t ), detto Moto Rettilineo Uniforme. Infine possiamo

0 0 0 t ′ ′

1 R v(t )dt .

definire la velocità media come v =

m t−t t

0 0

a(t) v(t) x(t)

v 0 x 0

0 Figure 3: Moto Rettilineo Uniforme, legge oraria

12

• Analogamente possiamo definire l’accelerazione media ed istantanea,

come la velocità, quindi: #» #»

#» 2

d v d x

∆ v

#»

a = lim = =

i 2

∆t dt dt

∆t→0 t

Z

dx

#» #» ′ ′

⇐⇒

d v = a dt v(t) = = v + a(t )dt (11)

0

dt t 0

t

Z ′ ′

t t

t

Z Z

Z

′′ ′′ ′ ′′ ′′ ′

x(t) = x + v + a(t )dt dt = x +v (t−t )+ a(t )dt dt

0 0 0 0 0

t t t

0 0 0

t 0 (12)

Queste due equazioni sono chiamate anche I e II legge del moto, e de-

scrivono un Moto Rettilineo Accelerato, se a(t) = a , allora è anche

0 1 2

a (t−t ) .

detto Uniforme e vale la classica legge x(t) = x +v (t−t )+ 0 0

0 0 0 2

a(t) v(t) x(t)

v 0 x 0

0 Figure 4: Moto ettilineo Uniformemente Accelerato

• Si può fare un’ulteriore osservazione: supponiamo che volessimo ricavare

una legge oraria dipende dallo spazio percorso x anzichè in funzione del

tempo t, allora:

dv d dv dx dv

· ⇐⇒

a = = v x(t) = = v =⇒ adx = vdv (13)

dt dt dx dt dt

2 2

v v q

0 2

⇐⇒ − − −

a(x x ) = =⇒ v(x) = v + 2a(x x ) (14)

0

0 0

2 2

3.1 Cinematica Relativistica

In breve, le relazioni tra spazio e tempo vengono alterate ad elevate velocità,

−1

8

prossime a quelle della luce, c = 2.998×10 m s . Per dimostrarlo, supponiamo

un sistema di due specchi paralleli, fra i quali rimbalza un raggio di luce.

Nel primo caso, abbiamo il nostro sistema di riferimento inerziale in quiete,

2L

in cui la luce percorre 2L di distanza in t = , classicamente cosı̀ come

p c

abbiamo appena imparato. Nel secondo caso, invece, abbiamo il nostro sistema

#»

di riferimento in moto, supponiamo a velocità c . La luce percorrerà in questo

13 s

2

′

L L vt