Riassunto esame Analisi matematica 1, Prof. Tabacco Anita, libro consigliato Analisi matematica 1. Ediz. mylab, Tabacco Anita, Canuto Claudio

Teorema, prima formula dell’incremento finito

Se f(x) è derivabile in x₀, cioè:

Allora

f(x) = f(x₀) + f'(x₀)(x-x₀) + s(x-x₀)

Teorema 2

Se f(x) è derivabile in x₀ allora f(x) è continua in x₀ e viceversa

1. f(x) = b ∈ ℝ derivabile?
lim f(x₀ + h) - f(x₀)

h→0

• lim b - b

h→0

• lim 0

h→0

2. f(x) = ax + b
lim (ax + b + h) - (ax + b)

h→0

• lim ax + ah + b - ax - b

h→0

• lim ah/h = a

h→0

3. f(x) = sen x
lim f(x₀ + h) - f(x₀)

h→0

• lim sen(x₀ + h) - sen x₀

h→0

• lim

2cos α

• lim

2

• 2 cos x₀

Notazioni

lim f(x₀ + h) - f(x₀)

h → 0

f'(x₀) = D_x0 f(x₀)

d

d

d/dxb = 0

d/dxax + b = a

d/dxsen x = cos x

4. f(x) = e^x

Oss:

f(x) = a^x a ∈ ℝ a ≠ 1

Formula d'incremento finito

• f(x) - f(x₀) = f'(x₀)(x - x₀) + o(x - x₀) [x → x₀]

Teorema

se f(x) è derivabile in x₀ allora è continua in x₀, ma non vale il viceversa

• d/dx (costante) = 0
• d/dx (ax+b) = a
• d/dx sen x = cos x
• d/dx e^x = e^x

7

esistono funzioni inverse di chx:

y² = ch²x = ^{e2x + e-2x}⁄₂

2y = e²x + e^-2x

moltiplichiamo entrambi i membri per e^x:

2ye^x = e³x + 1,^{2ye-x - 1 = 0,}

e²x = y +- √^y2-1,

x = log (y + √^y2-1) = setchx

sh^-1x = sethxh = log(x +- √^x2-1)

y = sethx x = sethx

^d⁄_dx sethx = 1⁄√1 + x²

8

y = chx = ^{ex + e-x}⁄₂

^d⁄_dx = ^e2x + e^-2x

^d⁄_dx shx = 2e^x

^d⁄_dx shx = chx

9

y = chx = ^{ex + e-x}⁄₂

relazione funzione inverse:

2y = e²x + e^-2x, sull¹ipotesi per -00.

e⁴y + e²x + e^-4y; y = +- √^y2-1, +√1 - e^-2

x = sethx, y² = y² ⁄ 2 +- 1

^d⁄_dx sechx = 1⁄√1-x²

Teorema di Rolle

Hp

• I = [a, b] intervallo chiuso e limitato
• f(x) continua in [a, b]
• f(x) derivabile (a, b)
• f(a) = f(b)

ci sono punti a t.c. c ∈ I

Te

• ∃x₀ ∈ (a, b) t.c. f'(x₀)=0

Dim

m = Min{f(x) : x ∈ I} con Xm ∈ [a, b]

M = Max{f(x) : x ∈ I} con XM ∈ [a, b]

per Weierstrass

Case 1

m = M

• f(a) = f(b) = f(x) ∀x ∈ [a, b], funzione costante.
• f'(x) = 0 ∀x ∈ (a, b)

Case 2

m ≠ M

m ≤ f(a) = f(b) ≤ M

• almeno uno delle due disuguaglianze diviene stretta,
• supponiamo che f(a) = f(b) < M = f(X_M)
• quindi a < Xm < b

X_M ∈ (a, b)

• applico Fermat e si ha che f'(Xm) = 0

Teorema di Lagrange

Hp

• I = [a, b] intervallo chiuso e limitato
• f(x) continua in [a, b]
• f(x) derivabile in (a, b)

Te

• ∃ c ∈ (a, b) tale che f'(x) = (f(b) - f(a)) / (b - a)

set

X(x) = f(a) + (f(b) - f(a))/(b - a) (x - a)

set f(a) = g(a)

X(x) - x = 0

X(x) - n = 0

a (c) b

(T)

f'(x)=0 f'(x)=x=c

f(b) - X(b) = 0

X(a) = f(a), (X(a) + (f(b) - f(a))/(b - a) (b - a) )

X'(x) = f'(x)

X'(b) - ((f(b) - f(a)))/(b - a) f(b) - f(a)/(b - a)=0

Convessità

Definizione (puntuale) di convessità di f(x) in x₀

• f(x) definita in I(x₀)
• f(x) derivabile in x₀
• t(x) = f(x₀) + f'(x₀)(x-x₀) (eq. retta tangente grafico di f(x) in x₀)

si dice che f(x) è CONNESSA in x₀ se f(x) ≥ t(x), ∀ x ∈ I(x₀)

si dice che f(x) è CONCAVA in I(x₀) se f(x) ≤ t(x), ∀ x ∈ I(x₀)

Flessi

I(x₀) c intorno di f

f derivabile in I(x₀)

t(x) = f(x₀) + f'(x₀)(x-x₀) [retta tang f(x) in x₀]

• x₀ è detto flesso ASCENDENTE di f se
  • f(x) < t(x) per x < x₀
  • f(x) > t(x) per x > x₀
• x₀ è detto flesso DISCENDENTE di f se
  • f(x) > t(x) per x < x₀
  • f(x) < t(x) per x > x₀

Convessità in un intervallo

• I intervallo e dom f
• f(x) derivabile in I
• f(x) detta convessa in I se f e ∀ x ∈ I

Proprietà:

• a) f(x) convessa ∀ x ∈ I ⇒ f(x) incremen
• b) f(x) crescente in I e f(x) convessa in I
• b2) f(x) attrativamente crescente in x₀ ∈ I e
  • attrattivamente crescente convessa ⇔ f(x) ≥ t(x); t(x) = f(x₀) + f'(x₀)(x-x₀) ∀ x ∈ I meno {x₀}

OSS

f(x) convessa in I ⇔ g(x) crescente in I

1.

\((1+x)^{4}\)

\(g(x) = (1 + x)^{x} = \sum_{{k=0}}^{{n}} \binom{1}{k}x^k + o(x^{n}) \quad x \to 0\)

2.

\(\frac{1}{1+x}\)

\((1 + x)^{-1}\)

\(g(x) = (1 + x)^{-1} = 1 - x + x^{2} - x^{3} +x^{4} - x^{5} + \ldots + (-1)^{n} x^{n} + o(x^{n})\)

3.

\(\frac{2}{1+x^{4}}\)

\((1 + x)^{-4}\)

\(g(x) = (1 + x)^{-4} = 1 - 2x + 3x^{2} - \frac{5}{16} x^{3} - \ldots + \left(\frac{-1}{n}\right) x^{n} + o(x^{n})\)

4.

\(\sqrt{1+x}\)

\((1 + x)^{1/2}\)

\(g(x) = (1 + x)^{\frac{1}{2}} = 1 + \frac{1}{2}x - \frac{1}{8}x^{2} + \frac{1}{16}x^{3} + \ldots + \left(\frac{1}{m}\right)x^{n} + o(x^{n})\)

5.

\(^{3}\sqrt{1+x}\)

\((1 + x)^{1/3}\)

\(g(x) = (1 + x)^{\frac{1}{3}} = 1 + \frac{1}{3}x - \frac{2}{18}x^{2} + \frac{10}{162} x^{3} + \ldots + \left(\frac{1}{m}\right)x^{n} + o(x^{n})\)

6.

\(1/\sqrt{1+x}\)

\( (1 + x)^{-1/2}\)

\(g(x) = (1 + x)^{-1} = 1 - \frac{1}{2} x + \frac{2}{8} x^{2} - \frac{14}{81} x^{3} + \ldots + \left(\frac{-1}{m}\right) x^{n} + o(x^{n})\)

7.

\(\frac{\arcsen x}{\sqrt{1+x^{2}}}\)

\( (1 + x)^{-1/2}\)

\(g(x) = \arcsen x = x + \frac{x^{3}}{6} + \frac{3x^{5}}{40} + \ldots + \left(\left(\frac{-1}{m}\right)\right)\frac{x^{2m+1}}{\left(2m+1\right)} + o(x^{2m+1}) \quad x \to 0\)

8.

\(\frac{\arctan x}{x}\)

\((1 + x^{2})^{-1}\)

\(g(x) = \arctan x = x - \frac{x^{3}}{3} + \frac{x^{5}}{5} - \frac{x^{7}}{7} + \ldots + (-1)^{n} \frac{x^{2m+1}}{\left(2m+1\right)} + o(x^{2m+1})\)