Riassunto esame Analisi matematica 1, Prof. Bianchini Bruno, libro consigliato Pagine di Analisi matematica , Stefani

Proprietà delle operazioni tra insiemi

X...B IS ↳⑰& U unteA -I= -" COMUNEPUNT IN=* ->IL+tersecate I...= commutativaper entrambe queste proprietà vale la proprietà(1u(u/+n10)Ar(bu)) (Anc)18= ==+ (fu)c/cud)1cc)X(80) Anche eVA=> - -INS/aNEAn(x) (11)u(anc)= equipetanti ecaralf) caval equipollentdes chesono insiempotentiqui= = elementstessedodama dinumerocardinalità171cava ottI element atd insiemeun~neronumeroNA+01Al ↑ regionaleq↑ iqNe 4 e - insiemeune scene2x ex)1 : = FUNIONe= a StaCon1 ber18 +0= = gli elementi che appartengono ad A o B41884 (1ne)48 (108)* - non appartengono all’ intersezione A B== I- (Rimuove gli elementi in comune)b)5/ab) moltiplico ogni elemento di A con B+y+ -1 b+ ae:= + non è commutativaFunzionif(f) N.B. se da un insieme A si ottengono 2 valori di B, non è una funzione, maI- se 2 valori di A hanno lo stesso valore in B va bene, poichè le f(x) condiverse x possono restituire la stessa yA ⑧f(x) Insieme Immagine:

L'immagine di un sottoinsieme del dominio di una funzione è l'insieme degli elementi ottenuti applicando la funzione a tale sottoinsieme.

Iniettiva: Data una funzione f : X -> Y se ogni elemento di Y proviene da un solo elemento di X, potrebbero esserci degli elementi diversi f(x).

Suriettiva: Data una funzione f : X -> Y se OGNI elemento di Y è un'immagine di OGNI elemento di X, perciò avendo un valore di X si ottiene un valore di Y e viceversa, può essere che 2 elementi di X abbiano la stessa immagine in Y.

Biunivoca: Nel caso una funzione sia iniettiva e suriettiva, data la f{-1} (x) trovo che la funzione è ancora biunivoca.

Composte f : 1 C&1 = considerc-g : 2 II f(x)9(x) B *- .1(x) f(g(X)) = g() y= Id(x & chefunerare mode↑ato creare unaposso nuavanco A direttamente&davi

insiemeInversafra) insettiman=f) 1- DA flaf oba -& f-(f)————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————&

Viene definita come card(A) o #A o &= equipotentiindica che sono ovvero hanno la stessa cardinalità67214 SA61 eu+ n eledene dicandinate: - =2x 3I x == Dominio a:Unasim801EGGIAau s iasunione↑Maggiorante e minorante YouMathmaggioranteDefinizione di ElSia X un sottoinsieme di numeri reali, diciamo che y è un maggiorante dell’insieme X se per ogni x X siGr Eha che y > x-Ovvero che il maggiorante sia il numero più grande disponibile in quell’insiemerisette/e emaggionante di ti *= yyminoranteDescrizione diSia X un sottoinsieme di numeri reali, diciamo che y è un minorante dell’insieme X se per ogni x X si/C1 Eha che y < x.-Ovvero che il minorante sia il numero più piccolo disponibile in quell’insiemeAvelldimonateyel risultar+ =yDevono essere numeri reali, nel caso di + o - non sarà presente alcun maggiorante o minorante00dolimitato inferiormenteUn insieme è se ammette almeno un minoranteillimitato

scelto un z > y si ottiene che z non è un minorante di X, definendo così che y è il più grande minorante di X

Nel caso di un insieme illimitato inferiormente possiamo definirlo:

Intervalli

fab fab18 a b· b& /anto

Tab 08⑧ ofaa

Far fo afto ·8 - - - - - -,a 1-ara)o/a & ·-X --- aa

Principio di induzione YouMath pag 77

Il principio di induzione è una tecnica di dimostrazione che permette di validare una tesi in 2 condizioni:

passo zero

1) la validità del passo induttivo

2) la validità del

Il principio di induzione serve per dimostrare che per ogni qualcosa vale qualcos’altro

Passo induttivo p(n)

Supponiamo che sia un proprietà n con n > ne -

Definiamo che:

p(n )• sia vera

Ine• allora e)↑(n) p(n= nocon +=

Con questo posso affermare che ogni è vera da in poi

N Rn -

Passo zero p(n) n = 0

Bisogna verificare che sia vera per

Bernulli

Disuguaglianza di pag 78

xeNA4)11 +1 1n+ -

Fattoriale ne...ne ne

n e re n te Ineel· mi=neeer! ! .e)1)h (n n-++ =! 10 =Coefficente binomiale Youmath pag 82coefficente binomialeIl è un numero naturale definito a partire da una coppia di naturali, rappresenta il numero disottoinsiemi di k elementi che si possono ottenere da n elementiI - /-(f)definerene e) e:= =ll e bavè = aepag 83Formula di Stiefel Dimostrazione-tre? Questa formula ha un significato combinatorio, dato un insieme di ni elementi, è il numero degli insiemi possibili con k elementiNpag 84Binomio di Newton YoumathLa formula di Newton ci permette di scoprire come fare qualsiasi potenza di un binomiob) i)da an+/Mes IoNe : (2) arb) Ira1per n a= == + = b)(a bN=2 &a ++ =/(ab =rapb =metedecol indufine 1n 1= + rent)(r)an-b) b)bra+da ra -=+ beatara = autori0" 1 =dentro-parte en -e anterruptanteTreelance essb=>1n=n =+- =4-1 = ↓fprepe e-Apice d- s o fe r I E& semprewe N== /elNe- QUIN auto-rgyante - 1 - 1-scin ante-pee-E /istel autodian * - Accorsea

me sed /Sante-pene = Farma settee+ tel aute-e-bite = Arteare altererete benie etrauter IIDefinizioni di Unione e Intersezione pag 88entxefU Ux= X : :ner e varHefabe va= ~ ::Legge di De Morgan Youmath appute merlcontenuti universeinserepat A SU. quexa(fr = neer(uc) = ·Funzioni pari e dispari pag 92Funzioni pari Funzioni dispari*f Ac /12/+ 9=: : =f(x)f( g(X)x) g( 4)- = = -- AA ↳I↑ 14+ser= rispe= sener- rse =Funzioni monotone pag 93/(1c(13)f A -: monotona crescente strettamente monotona crescentef(x)-f(x e) f(xf(x)) e)+ + +x +x2, 2,monotona decrescente strettamente monotona descrescentef(x))2f(x e)f(x))2f(x e) + ++ x+x 2,2,Possiamo notare come la S.M.C. e S.M.D non abbiano tratti orizzontaliDimostrazione freef(x)) f(x) Gr grafica della-x =x + =+,f(f) f(b)=GrIf) GrIfe6e36e Grif GrifitGrIf) 6 Grif=Grifpeeur unp re f(y frä)eGr(f)(-e17-f) 6-54e = r: f(ä)y =Funzioni periodiche pag 100/Ne/eNe4f( ref(x f(x)*/ )- + =+SeroNe enédim inviapercipè aèsi

mima- D* re n I +f(x f)f(x) =)f) ) +(+ = f() 3f(x)+= = + = =+ = 9= -Valore assoluto pag 101 I-: 11111 =quando disegno il grafico di un valore assoluto devo contare le soluzioni per x > 0 e x < 0-↑(2044/+fa :-(4)y xy X== x= e(1x 1x)14)y) =- -- 1y)4) f(x)-(1x ++4((xi 4 Xxz)1y) == Add 5((X2a eure*21 = aa-↑ U Questione e e&⑪ 56N 6/1412a 41 aut a