Riassunto esame Analisi matematica 1, Prof. Durante Tiziana, libro consigliato Analisi matematica 1, Marcellini e Sbordone

Progressione geometrica

IK H HW=1ar2- BleterK (? xanxyC mxzjC Jsmt épaci a+tmze1)Progressione geometziceLHIxf raxal...tês mtn8M*. }L +xEof Anxui sEkao s ipotesi?" 41sY-D1-2MtxPs PnziPCnjweo 53mo vela4$107MEIs 7xexetet taptet4...wo 2JogMts oM 51 t that-JMtYxqMt 2t7E 4-4~-4 t~-, f -gSe abbiamo x=0 e abbiamo 1 dimensione, si trova qui " beròse abbiamo 2 dimensioni, hainfinite soluzioni perchè la ynon la conosciamos bse abbiamo 3 dimensioni, ci 7era,llillpossono essere infinite terneåL’equazione z+1=0 non ha soluzione nel campo dei numeri reali, c’èbisogno di estendere R introducendo i :complessiNumeri il quadrato dell’unità4, izsC sexiy immaginaria-t-3z FeYE1RS. is è il numero reale - 1coefficienteparte 1partereale .immaginariaSomma Esempioe ? tovZusazbi sLa telbaz3ZitZz s2zDtilyy'y }titig ZiZasti Z258.2in salatzixi[-2.8-2i23) parti'):4x1) .Ctot2o2)sormomoscorrmmma inumoginatieleaki evidentalpadtià Icon

La sottrazione o somma del primo elemento con l'opposto del secondo prodotto

0 + 0 somma e prodotto sono commutative e associative.

HtiligtegLitigIting )s Il prodotto è distributivo)) -gug rispetto alla somma

COMPLESSO CONIUGATO EZ il numero ottenuto dal complesso coniugato numero complesso,

-iy=4-iy cambiando il segno alla zsiy parte immaginaria coniugato complesso Z=4-iy

il prodotto di un reale per il suo coniugato è un numero reale zi ?iy iyEix dato dal quadrato della parte reale, più il quadrato della parte immaginaria

la somma di un complesso per il suo coniugato è reale Zla sottrazione di un complesso per il suo coniugato è immaginaria exiy)-Ceriy)-2iy

quoziente@@@D0@ il quoziente si ottiene2FErEĘŹze moltiplicando num. è=etiyzasritig denom. per il coniugato, del denominatore

Esempio: 5275325 2Z 22-i 372. ?: ztui . mö)-32i) -2iJCsx2i) :W. il prodotto fra 2 complessi. dá un numero non complesso

NUMERI COMPLESSI

elevazione a potenza

Prodotto di due numeri complessi in forma trigonometrica

sen(Z) = cos(θ) - i*sin(θ)

Il prodotto fra due numeri complessi ha come modulo il prodotto tra i moduli e come argomento la somma tra gli argomenti

cos(Z) = cos(θ) + i*sin(θ)

Il prodotto fra due numeri complessi ha come modulo il prodotto tra i moduli e come argomento la somma tra gli argomenti

pop(C) = modulo(C) * [cos(argomento(C)) + i*sin(argomento(C))]

Il prodotto di due numeri complessi in forma trigonometrica si generalizza in:

z = p [cos(nθ) + i*sin(nθ)]

Divisione di due numeri complessi in forma trigonometrica

Il quoziente fra due numeri complessi ha come modulo il quoziente tra i moduli e come argomento la differenza tra gli argomenti

Formula di de Moivre

E^iθ = cos(θ) + i*sin(θ)

Esponenziale

z = r * E^(iθ)

Identità di Euler

cos(θ) = (E^(iθ) + E^(-iθ))/2

sen(θ) = (E^(iθ) - E^(-iθ))/(2i)

Radice n-esima

Un numero z' è la radice n-esima di z se (z')^n = z

zóóz’=p’ (cos + i sen )

Ooz =p (cos + i sen )17 m Oi O(z’) = (p’) [cos(n ‘) + i sen(n ‘)] = p(cos + i sen )

Due numeri complessi coincidono se e solo se coincidono i moduliE gli argomenti differiscono per un multiplo di 2n mun numero Z’ è la radice n-esima di z se è solo se (z’)=zse e solo se nn(p’)=p p’ = pstsO oon ‘= + 2k o ‘ = +2kIT ITnk è un intero, sta in Ma le radici distinte si ottengono per valori tra 0 e n-1Quindi se valgono le radici terze K vale 0, 1,2M OD )+2kseni++2k(cospcompleta=formula ITITn rsse un’equazione è elevata alla n ha n soluzioni nei complessise i coefficienti appartengono ad R, se c’è una soluzione complessa c’è unconiugatoesempioö 0=1+z equazione 3º grado in campo complessosi risolve nel campo c dei complessiö -1=z ö ][1,=-1z= TII-1z= Il DßX -= 045FORMULA ? dove k varia da n a

n-1cioè p’n p=p’ cioè 0,1,2O +2k=‘ IT ITO Oz 3+2k=‘ IT - --zo CIk=0per IHV5-ECHB3i))CO)tisenCe,FzJ notazione compattas5per k=1 Z sCL,HJ-COSI)tisen -H, l --(cosCstHisenC PŞTY:EL1.Bi)8per k=2 ta -5 ST)1, H2ozo ØsFgikCzB)lTlz2, @ yol- zz con il calcolo delleradici si trovano le dueöl’equazione z+1=0 soluzioni e si ottiene ilI yla so può scrivere come (z+1)*(z-z+1) risultato algebrico (sicalcolano i valori diseno e coseno)se k > n divisionezestovuol dire che k è divisibile per n, cioè abbiamo k=n*h+2dove il resto è 0<r<n-1O t- 2hHTI2H2'sTIZHTCRhxc) D indichiamo con a la parte reale eARGOHENTOCALCOLO con b quella immaginariaSE SOL PARTOCeREACC ( úlsoto zquindi s)Loaso Os0-a IT muneO=100-ITsaco şs. -N1zParteSeiaginaRicésoco( soaquinai ) 90%6 YÖ.,;600 +,90ITs0 s.e biettivasuriettivainiettivaApplicazioneUna funzione è una relazione che ad ogni x associa una yForma

esplicita: y=x

Forma implicita F(x,y)=0

I 9::è iniettiva se due punti distinti hanno immagini distinte, s Xquindi vi può essere y che non è immagine di x

Do Øo CDl Ikx1=x2 —> (x1)= (x2)è iniettiva se \f x 3 g: yz- - -----ix ttXxe x 22EX ?:.......-., ^è suriettiva se per ogni elemento di y c’è almeno un x igelemento di x di cui esso è immagine (un elemento di f(x) Dopotrebbe essere immagine di più di un elemento di x) ex Q4 DBoè suriettiva seY EXgex > y: U:lCsy igiJy X IyoxIF:x c R —> X c [0, ]f o- - I isè biettiva se ad ogni elemento ne corrisponde un altro DoOoquindi devono avere la stessa cardinalità XD.Doè biettiva se è iniettiva e suriettivaf Y y- îf[,""IF non solo fa corrispondere ad ogni x una solo y,ma anche che per ogni y esiste un solo x tale f(x)=y

Diagramma di una funzione reale di una variabile

realerealinumerisonoimmaginicuilefunzionereale:Funzi0ney: x c X c R —> f= f(x) c Rs- - -i

Al variare di x in y, la coppia (x,f(x)) descrive un sottoinsieme di Rche è detto grafico della funzione f2Gli elementi di R si possono rappresentare geometricamente su unpiano; è possibile costruire un modello geometrico del grafico fy=f(x)}X,cx:y)(x,{= -diagramma di f3 luogo geometrico di equazione y=f(x)ju Funzione costante Funzione identica

Esempi:Assegnato unnumero reale c: F(x)=xf(x) =c xcRDomino= RCodominio= c Codominio= tutto RDiagramma: retta y=xF VUOL DIRE CONTROIMMAGINE DI fASSOLUTOVALOREFUNZIONE y{ X Se x>0 -- y= xF(x) = X = ì-x se x<0 Dominio : tutto RCodominio: [0, )anLa parte negativa si ribaltatramite una simmetria Diagramma:sull’asse x e diventa positiva semirettebisettrici del I e IIquadrantePunto angoloso: dove non si può fare la tangenteSCALINOAFUNZIONE 7 fra 0 e 1 vi è il≥{ 1 se x 0 salto dellaF(X) funzione0 se x<0 .