Riassunto esame Analisi matematica 1, Prof. Masiello Antonio, libro consigliato Analisi matematica 1, Francesco Sivo

DERIVAZIONE E APPLICAZIONI DELLA

DERIVATA

Questo capitolo si dedica allo studio della derivazione, uno strumento fondamentale per ana-

lizzare le variazioni locali delle funzioni. Verranno introdotte le definizioni e le regole di

derivazione, sia dal punto di vista del significato geometrico che in termini di applicazioni

pratiche. Inoltre, verranno illustrate le tecniche per il calcolo delle derivate delle funzioni

elementari e le principali regole (lineare, prodotto, quoziente e catena), accompagnate da

dimostrazioni dettagliate e numerosi esempi. Queste conoscenze sono essenziali per risolve-

re problemi di ottimizzazione, analisi dei sistemi e per applicare successivamente il calcolo

integrale.

1 Definizione di Derivata

1.1 Introduzione al Concetto di Derivata

La derivata di una funzione reale di una variabile è un concetto fondamentale dell’analisi

matematica, in quanto misura il tasso di variazione istantaneo della funzione rispetto alla

variabile indipendente. In termini intuitivi, la derivata rappresenta la pendenza della retta

tangente al grafico della funzione in un punto specifico.

1.2 Definizione Formale

Sia e sia un punto del suo dominio. La derivata di nel punto indicata

→ ∈

f : c f c,

R R R

con è definita come:

′

f (c), −

f (c + h) f (c)

′ ,

f (c) = lim h

h→0

se il limite esiste. Tale limite rappresenta il tasso di variazione istantaneo della funzione in c.

37

38 Derivazione e Applicazioni della Derivata

1.3 Significato Geometrico

Geometricamente, la derivata corrisponde al coefficiente angolare della retta tangente

′

f (c)

al grafico di nel punto Se la derivata esiste, la retta tangente in ha equazione:

f (c, f (c)). c

′ −

y = f (c) + f (c)(x c).

y −

y = 4x 4

2

f (x) = x (2, 4) x

Grafico di con la retta tangente in

2

f (x) = x x = 2.

Figura 4.1:

1.4 Esempio Illustrativo

Consideriamo la funzione . Calcoliamo la derivata nel punto

2

f (x) = x x = 3:

2

2 2 −

− 9 + 6h + h 9

(3 + h) 3

′

f (3) = lim = lim = lim (6 + h) = 6.

h h

h→0 h→0

h→0

Quindi, la pendenza della tangente al grafico di in è 6.

2

x x = 3

1.5 Condizioni di Derivabilità

Affinché una funzione sia derivabile in un punto essa deve essere continua in Tuttavia,

c, c.

la continuità non garantisce la derivabilità. Ad esempio, la funzione è continua

|x|

f (x) =

in ma non è derivabile in quel punto, poiché il limite del rapporto incrementale non

x = 0

esiste.

Derivazione e Applicazioni della Derivata 39

1.6 Applicazioni della Derivata

La derivata ha numerose applicazioni pratiche:

• La velocità istantanea di un oggetto è la derivata della sua posizione rispetto

Fisica:

al tempo.

• Il costo marginale, ottenuto derivando il costo totale rispetto alla quantità

Economia:

prodotta, è fondamentale per le decisioni di produzione.

• La derivata della carica rispetto al tempo determina la corrente elettrica

Ingegneria:

in un circuito.

1.7 Conclusione

La derivata è uno strumento potente per analizzare il comportamento locale delle funzio-

ni e modellare fenomeni dinamici. Nelle sezioni successive verranno esplorate le regole di

derivazione e le applicazioni avanzate del calcolo differenziale.

2 Derivate di Funzioni Elementari

2.1 Introduzione al Calcolo delle Derivate Elementari

Il calcolo della derivata tramite il limite del rapporto incrementale fornisce il metodo fon-

damentale per determinare il tasso di variazione delle funzioni. In questa sezione verranno

applicate queste tecniche alle principali funzioni elementari.

2.2 Derivata delle Funzioni Potenza

Consideriamo la funzione con Applicando la definizione di derivata:

n ∈

f (x) = x n N. n n

−

(x + h) x

′ .

f (x) = lim h

h→0

Sviluppando il binomio di Newton: −

n(n 1)

n n n−1 n−2 2 n

· · ·

(x + h) = x + nx h + x h + + h .

2

Sottraendo e dividendo per

n

x h:

−

n(n 1)

′ n−1 n−2 n−1 n−1

···

nx +

f (x) = lim x h + + h = nx .

2

h→0

Esempio Risolto

Calcolare la derivata di tramite il rapporto incrementale.

3

f (x) = x

Problema:

Soluzione: 3 3 2 2 3

− 3x h + 3xh + h

(x + h) x

′ 2 2 2

f (x) = lim = lim = lim (3x + 3xh + h ) = 3x .

h h

h→0 h→0

h→0

40 Derivazione e Applicazioni della Derivata

2.3 Derivate delle Funzioni Esponenziali e Logaritmiche

Derivata dell’Esponenziale Naturale

Per , poiché :

x x+h x h

f (x) = e e = e e h −

e 1

′ x x

f (x) = e lim = e .

h

h→0

Derivata dell’Esponenziale con Base Arbitraria

Per con

x

f (x) = a a > 0: h −

a 1

′ x x

f (x) = a lim = a ln a.

h

h→0

Derivata del Logaritmo Naturale

Per f (x) = ln x:

− 1 h

ln(x + h) ln x

′ = lim ln 1 + .

f (x) = lim h h x

h→0

h→0

Posto , quando anche

hx → →

t = h 0 t 0: 1 ln(1 + t) 1

1

′ ln(1 + t) = lim = .

f (x) = lim xt x t x

t→0

t→0

Derivata del Logaritmo con Base Arbitraria

Per utilizzando la formula di cambiamento base :

ln x

f (x) = log x, log x =

a a ln a

− −

log (x + h) log x 1 ln(x + h) ln x

′ a a

f (x) = lim = lim .

h ln a h

h→0 h→0

Per la derivata del logaritmo naturale già calcolata:

1 1 1

′ ·

f (x) = = .

ln a x x ln a

2.4 Derivata delle Funzioni Trigonometriche

Derivata del Seno

Per f (x) = sin x: − −

sin(x + h) sin x sin x cos h + cos x sin h sin x

′

f (x) = lim = lim

h h

h→0 h→0

Semplificando e usando i limiti notevoli: −

cos h 1 sin h

′

f (x) = sin x lim + cos x lim = cos x.

h h

h→0 h→0

Derivazione e Applicazioni della Derivata 41

Derivata del Coseno

Per f (x) = cos x: − − −

cos(x + h) cos x cos x cos h sin x sin h cos x

′

f (x) = lim = lim

h h

h→0 h→0

− sin h

cos h 1

′ − −

sin x lim = sin x.

f (x) = cos x lim h h

h→0

h→0

Derivata della Tangente

Per f (x) = tan x: sin(x+h) sin x

−

−

tan(x + h) tan x cos(x+h) cos x

′

f (x) = lim = lim

h h

h→0 h→0

Combinando le frazioni e usando identità trigonometriche:

1

sin h

′ 2

= = sec x.

f (x) = lim 2

h cos x cos(x + h) cos x

h→0

Derivata della Cotangente

Per f (x) = cot x: cos(x+h) cos x

−

−

cot(x + h) cot x sin(x+h) sin x

′ = lim

f (x) = lim h h

h→0

h→0 − sin h 1

′ 2

− −

f (x) = lim = = csc x.

2

h sin x sin(x + h) sin x

h→0

Derivata della Secante

Per f (x) = sec x: 1 1

−

−

sec(x + h) sec x cos(x+h) cos x

′ = lim

f (x) = lim h h

h→0 h→0

−

cos x cos(x + h)

′

f (x) = lim = sec x tan x.

h cos x cos(x + h)

h→0

Derivata della Cosecante

Per f (x) = csc x: 1 1

−

−

csc(x + h) csc x sin(x+h) sin x

′

f (x) = lim = lim

h h

h→0 h→0

−

sin x sin(x + h)

′ −

f (x) = lim = csc x cot x.

h sin x sin(x + h)

h→0

42 Derivazione e Applicazioni della Derivata

Derivata dell’Arcoseno

Per f (x) = arcsin x: −

arcsin(x + h) arcsin x

′

f (x) = lim h

h→0

Posto e sfruttando l’identità −

y = arcsin x y + k = arcsin(x + h), sin(y + k) sin y = h:

k 1 1

′ √

f (x) = lim = = .

−

sin(y + k) sin y cos y 2

−

1 x

k→0

Derivata dell’Arcocoseno

Per f (x) = arccos x: −

arccos(x + h) arccos x

′

f (x) = lim h

h→0

Analogamente all’arcoseno, ma con segno opposto:

1

′ √

−

f (x) = .

2

−

1 x

Derivata dell’Arcotangente

Per f (x) = arctan x: −

arctan(x + h) arctan x

′

f (x) = lim h

h→0

Posto e usando −

y = arctan x y + k = arctan(x + h), tan(y + k) tan y = h:

1 1

k

′ = = .

f (x) = lim 2 2

−

tan(y + k) tan y 1 + tan y 1 + x

k→0

Le derivate delle funzioni inverse richiedono un’attenta manipolazione

Osservazione:

delle identità trigonometriche e delle sostituzioni per esprimere il limite in forma calcolabile.

2.5 Derivata di Funzioni Iperboliche

Per completezza, estendiamo il calcolo ad alcune funzioni iperboliche, mostrando tutti i

passaggi.

Derivata del seno iperbolico:

−x

x −e

e

f (x) = sinh x = 2 −(x+h) −x

x+h x

− − −

sinh(x + h) sinh x 1 e e e e

′ −

f (x) = lim = lim

h h 2 2

h→0 h→0

−x −h −x −h

x h x h

− − − −

e e e e e + e e 1 1 e

1 1 −x

x

= lim = e lim + e lim

2 h 2 h h

h→0 h→0 h→0

h −

1 e 1

(usando

−x

x

· ·

= e 1 + e 1 lim = 1)

2 h

h→0

−x

x

e + e

= = cosh x.

2

Derivazione e Applicazioni della Derivata 43

Derivata del coseno iperbolico:

−x

x

e +e

f (x) = cosh x = 2 −(x+h) −x

x+h x

− 1 e + e e + e

cosh(x + h) cosh x

′ −

= lim

f (x) = lim h h 2 2

h→0

h→0 −x −h −x −h

x h x h

− − − −

1 e e + e e e e 1 e 1 1 e

−x

x −

= lim = e lim e lim

2 h 2 h h

h→0

h→0 h→0

−x

x −

e e

1 −x

x

· − ·

e 1 e 1 = = sinh x.

= 2 2

Derivata della tangente iperbolica:

sinh x

f (x) = tanh x = cosh x

− 1 sinh(x + h) sinh x

tanh(x + h) tanh x

′ −

= lim

f (x) = lim h h cosh(x + h) cosh x

h→0

h→0 −

sinh(x + h) cosh x sinh x cosh(x + h)

= lim h cosh x cosh(x +