Riassunto esame Analisi matematica 1 e geometria, Prof. Martì Silvio Sperone Gianmarco, libro consigliato Analisi matematica 1, M. Bramanti, C. D. Pagani, S. Salsa

SIMBOLI E OPERAZIONI INSIEMISTICHE FONDAMENTALI

• Un INSIEME è determinato dai suoi ELEMENTI, ovvero è DEFINITO quando abbiamo un CRITERIO con cui stabilire se un oggetto è o non è elemento (se appartiene o no) di questo insieme.

NOTAZIONE:

• X ∈ A
• Y ∉ A

INSIEMI DI NUMERI PRE-ESISTENTI:

• ℕ = {0, 1, 2, 3, ...} Numeri NATURALI
• ℤ = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...} Numeri INTERI
• ℚ = {m/n | m, n ∈ ℤ, n ≠ 0} Numeri RAZIONALI
• Numeri IRRAZIONALI Es: √2, π, √3
• Numeri REALI
• Numeri COMPLESSI

• Insiemi di CARDINALITÀ FINITA
• Definibili per elencazione
• Tutti i numeri che possono essere scritti come RAPPORTO tra numeri INTERI.

RELAZIONI TRA INSIEMI

1. UGUAGLIANZA A = B se e solo se: {∀x ∈ U x ∈ A ⟹ x ∈ B ∀x ∈ U x ∈ B ⟹ x ∈ A }
2. INCLUSIONE NORMALE A ⊆ B se e solo se: {∀x ∈ U x ∈ A ⟹ x ∈ B}
3. INCLUSIONE STRETTA A ⊂ B se e solo se: {∀x ∈ U x ∈ A ⟹ x ∈ B ∃x ∈ B x ∉ A }

ANALISI I E GEOMETRIA

• OPERAZIONI TRA INSIEMI
1. UNIONE A ∪ B = {x ∈ U | x ∈ A ∨ x ∈ B}
2. INTERSEZIONE A ∩ B = {x ∈ U | x ∈ A ∧ x ∈ B}
3. DIFFERENZA A \ B = {x ∈ U | x ∈ A ∧ x ∉ B}
4. COMPLEMENTARIETÀ tipologia particolare di DIFFERENZA C_u(A) = A^c = U \ A
5. PRODOTTO CARTESIANO A × B Insieme costituito da tutte le COPPIE ORDINATE (a; b) con a ∈ A ∧ b ∈ B, A ⊆ U, B ⊆ U'. Si opera in due UNIVERSI ANCHE DI NATURA DIVERSA. A × B ≠ B × A ESEMPIO (½; 1) ∈ Q × N (½; 1) ∉ N × Q poiché ½ ∉ N A × B ⊆ U × U = U² Il GRADO dell'universo di riferimento (in cui si opera) dipende dal N° DI FATTORI del prodotto cartesiano. PIANO CARTESIANO → R² = R × R (x; y) VETTORI NELLO SPAZIO → R³ = R × R × R (x; y; z) NUMERI COMPLESSI → R⁴ = C × C dato che C = R²

Quando ad un insieme NON APPARTIENE ALCUN ELEMENTO, questa viene detta VUOTO. Un insieme VUOTO È SEMPRE INCLUSO in qualsiasi altro insieme.

• A = {∅}
• B = {1, 3, 5, 6, 11, 26}

A ⊆ B

ANALISI I E GEOMETRIA

Proprietà numeri complessi

∀ z, w ∈ ℂ, ∀ α ∈ ℝ valgono le seguenti proprietà:

1. z ± w = ±z ± &w;
2. z = a + ibw = c + id
3. zζ ∈ ℂ
4. w ≠ 0 ← (ossia c² + d² > 0)
5. Re(z) = Re z  ≤ Re(z &Conjugate;)
6. Im(z) = -Im(z &Conjugate;)
7. Re(z) = (z + z &Conjugate;)/2  e  Im(z) = (z - z &Conjugate;) / 2i;
8. z ∈ ℝ ↔ z = z &Conjugate;

Proprietà del modulo dei numeri complessi

Dato z = a + ib ∈ ℂ

definiamo il suo modulo come |z| = √(a² + b²) (distanza del punto (a,b) dall'origine)

dunque ∀ z ∈ ℂ, |z| ∈ ℝ e |z| > 0 valgono le seguenti proprietà:

1. |z|² = z & ;
2. |z| = | |
3. Re(z) ≤ |z| e |Im (z)| ≤ |z|
4. z = 0 ↔ |z| = 0
5. |z·w| = |z|·|w|
6. |z + w| ≤ |z| + |w| (disuguaglianza triangolare)
7. |z - w| ≥ ||z| - |w||
8. z ≠ 0 → 1/z = /|z|²w ≠ 0 → |z/w| = |z|/|w|

Esempio

Determinare soluzioni in ℂ di z² + = 0

(a + ib)² + a - ib = 0

↔ a² + i²b² + 2aib + a - ib = 0

↔ a² - b² + i(2ab + a - ib ) = 0

↔ a² + a - b² + i b(2a - 1) = 0

• a² + a - b² = 0
• b(2a - 1) = 0

• a(a + 1) = 0
• a₁ = 0, a₂ = -1

a = 1/4 + √1/2

b² = 0

b = √3/2

• z₃(± i √3/2)
• z₄(± 1, √3/2)

3.

α ∈ ℕ e dispari e α < 0.

f(x) = ¹⁄_x

- Dom(f) = Im(f) = ℝ \ {0} - Strettamente decrescente   ℝ \ {0} - Dispari

4.

α ∈ ℕ e pari e α < 0.

f(x) = ¹⁄_x²

- Dom(f) = ℝ \ {0}    Im(f) = (0;+∞) - Strettamente crescente   (-∞;0) - Strettamente decrescente   (0;+∞) - Pari

• Funzioni valore assoluto

f(x) = |x|

- Dom(f) = ℝ   Im(f) = [0;+∞) - Strettamente decrescente   (-∞;0) - Strettamente crescente   [0;+∞) - Pari

• Funzioni parte intera e mantissa

1. Parte intera

f(x) = [x] = max { k ∈ ℤ | k ≤ x }

- Dom(f) = ℝ   Im(f) = ℤ - Monotona crescente (non strettamente) - Né pari né dispari

f(0.7) = 0    f(1.2) = 1    f(-1.8) = -2

2. Mantissa

F(x) = x - [x]

- Dom(f) = ℝ   Im(f) = [0;1) - Strettamente crescente   [k; k+1)    k ∈ ℤ - Né pari né dispari - Periodica

Esempio 2

Dimostrare per definizione che lim_n→+∞ √(2 + (1/n)) = √2

Sia ε > 0 un numero arbitrario. Dobbiamo dimostrare che:

• (∃n₀ ∈ ℕ)(∀n≥n₀) |√(2 + (1/n)) - √2| ≤ ε

1.√(2 - ε) ≤ √(2 + (1/n)) ≤ √(2 + ε)2.(2 + (1/n)) ≤ (√2 + ε)²

1/n ≤ √2ε + ε² ⇔ n ≥ 1/(2√2ε + ε²)

Quindi la disuguaglianza si verifica ∀n≥n₀ con n₀ = [1/(2√2ε + ε²)] + 1 c.v.d.

Successioni Divergenti

Diciamo che una successione è DIVERGENTE quando NON CONVERGE a nessun numero reale.

1. Può succedere che una successione (a_n)_n∈ℕ, al crescere di n∈ℕ, superi definitivamente qualsiasi numero M>0 arbitrariamente grande.

(∀M>0)(∃N∈ℕ) a_n≥M → successione DIVERGE A +∞

lim_n→+∞ a_n = +∞

In modo analogo, considerando m