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SOLUZIONE DI NAVIER PER PIASTRE SEMPLICEMENTE APPOGGIATA
Si usano dei metodi approssimati per trovare la soluzione di una piastra inflessa.
Equazione da risolvere:
Su questi lati:
Su questi lati:
Questa formula deve soddisfare le condizioni al contorno di tipo cinematico e di tipo statico.
Dalla teoria degli sviluppi in serie di Fourier si può dimostrare che si può calcolare:
Se prendiamo ad esempio un carico trasversale uniforme:
Si può dimostrare che:
PERCHÉ?
Se ad esempio voglio valutare la funzione:
Quindi se ho un carico costante il motivo per il quale i termini non m e n pari sono uguali a zero è che:
I termini di pari sono simmetrici rispetto ad a/2. Un carico uniformemente distribuito è simmetrico per cui se dobbiamo approssimare una funzione simmetrica ci restano solo dei termini simmetrici, cioè non possiamo approssimare qualcosa di simmetrico con qualcosa di antisimmetrico. I termini pari quindi spariscono perché sono
antisimmetrici. In sostanza noi stiamo approssimando un rettangolo (carico uniformemente distribuito) con una somma di funzioni armoniche:
Quindi in sostanza noi il carico lo conosciamo:
Ma lo dobbiamo riscrivere calcolando questi coefficienti:
Dopodiché andiamo a calcolare le varie derivate:
Raccolgo tutti i termini che contengono seno e coseno e si ottiene:
Affinché questa sommatoria sia uguale a zero questo termine deve essere uguale a zero, perché seno e coseno non sempre sono uguali a zero.
Quindi il coefficiente incognito risulta:
Una volta che conosciamo questo abbiamo risolto il problema perché poiché wmn viene approssimato in questo modo:
Possiamo sostituire in questa espressione il wmn trovato e possiamo disegnarlo.
Poi possiamo ricavare quanto vale:
Esempio fatto con MATLAB:
Piastra quadrata:
Possiamo disegnare poi i momenti: Simmetrici. Massimi al centro. Nulli al bordo
Antisimmetrico
Ci sono degli abachi. Cioè se prendiamo una piastra quadrata con i
lati semplicemente appoggiati, gli andamenti dei momenti sono: Varia lungo tutta la piastra. Quindi potrei disegnaretorcente è presente su tutta la superficie della piastra. Noi abbiamo visto il momento torcente solo lungo i lati perché per la teoria vista il vincolo agli spigoli deve dare una reazione alla forza generata dal momento torcente.
Momento torcente nullo lungo gli assi di simmetria. È nullo in mezzeria per simmetria.
Il momento flettente è maggiore in mezzeria. Ma il momento flettente non è solo in mezzeria, nelle altre strisce di piastra cambia e diminuisce man mano che andiamo verso il bordo. Cioè ho il momento in mezzeria di ciascuna di queste strisce man mano che andiamo da un bordo all'altro.
Quello che avremmo se avessimo un comportamento a trave.
Quindi in sostanza, fissato x=2,5 disegno come varia Mx in mezzeria lungo questa linea:
Avremmo tutte queste strisce lungo x e lungo y che interagiscono tra loro:
La differenza tra le strisce x e y è che le strisce lungo y sono più lunghe e quindi sono meno rigide. Infatti se ad esempio
strisce in y in mezzo portano quasi niente. Danno un contributo maggiore invece nelle zone di estremità. Dunque: Posso pensare di dividere la piastra in 3 zone:
- due zone che sono circa 5x5 all'estremità, dove ho ancora l'effetto bidimensionale
- la zona centrale 10x5 che tende a perdere un po' l'effetto bidimensionale e le strisce in x lavorano come delle travi
Possiamo vedere anche l'andamento:
Poi abbiamo:
- Possiamo vedere come varia Mx lungo y a x=2,5: Cioè come varia il momento flettente in mezzaria per le strisce lungo x
- Momento flettente per questa striscia
Notiamo che il momento massimo nella strisce dirette lungo x somiglia molto a quello di una trave appoggiata. Quindi vuol dire che quando una trave è così allungata, nella parte perdo il comportamento bidimensionale e tendo al comportamento unidirezionale come le travi. Nelle zone laterali mantengo il comportamento bidimensionale. Confrontiamo tutto con una piastra
quella direzione per resistere a quel momento flettente. Se invece prendessi una piastra quadrata,conosco Mx e My. Voglio sapere quanta armatura serve mettere in entrambe le direzioni perresistere a quei momenti flettenti. La differenza è evidente: nel caso della striscia diretta, tutta l'armatura deve essere posizionata in una sola direzione, mentre nel caso della piastra quadrata l'armatura può essere distribuita in entrambe le direzioni, riducendo così le tensioni e le dimensioni delle armature. Questo è il vantaggio strutturale principale nel passare da un comportamento a trave ad un comportamento a piastra bidimensionale.questa striscia per resistere a questo momento Mx.
Per calcolare questi Mx a partire dalle tensioni noi abbiamo fatto riferimento ad una sezione di larghezza unitaria.
Io so che Mx è un momento che, se positivo, produce questo tipo di sollecitazione:
Se io guardo una striscia in questa direzione, che considero unitaria, noi la possiamo studiare come una trave larga 1. Se abbiamo un momento positivo, l'armatura la mettiamo sotto. Quindi possiamo studiare l'armatura da mettere su una striscia unitaria di piastra in direzione x.
Le armature si progettano con riferimento allo stato limite ultimo quindi devo calcolare il momento Mx di progetto alle SLU:
In questo caso il carico sarà un carico di progetto (strutturale, accidentali, ecc...).
Quindi su una striscia larga 1 avremo questo momento Mx, Ed moltiplicato per 1.
Se quindi abbiamo una sezione rettangolare con una coppia possiamo calcolare l'armatura As,x:
Se io ragione su una sezione 1, l'area di armatura As,x
È l'armatura che devo mettere ogni metro. Posso fare la stessa cosa con My. Ma se invece abbiamo: Sullo spigolo, non siamo in grado di calcolare l'armatura. COME FACCIAMO QUINDI NEGLI SPIGOLI? Noi abbiamo visto che possiamo calcolare i momenti in diverse giaciture. Si può dimostrare che, in un punto, tra tutte le giaciture che ci sono ne esistono 2 dove ci sono solo momenti flettenti e non torcenti (direzioni principali). Questo significa che quando abbiamo zone con momenti torcenti significativi dobbiamo cercare quali sono le direzioni nelle quali ci sono solo momenti flettenti e su questi armare, perché noi sappiamo armare solo rispetto ai momenti flettenti. Anche quello che studiamo ora vale per ogni tipo di materiale l'importante è che sia lineare e isotropo. Vediamo quindi per questa piastra appoggiata cosa succede negli spigoli: Abbiamo trovato queste relazioni: Che legano le tensioni in una giacitura generica alle tensioni x e y. Usando questereazioni trigonometriche:Possiamo riscrivere le espressioni così:
Più queste si possono ulteriormente modificare introducendo la tensione media:
Quindi abbiamo:
Possiamo ulteriormente trasformare queste relazioni elevando al quadrato e combinando le due equazioni:
Queste sono le espressioni dei cerchi di Mohr che descrivono lo stato tensionale intorno ad un punto.
Questo cerchio rappresenta tutti i possibili stati tensionali che possiamo avere in un punto in diverse giaciture, in un piano di tensione.
I punti che ci interessano di più sono questi due punti. Qui non abbiamo tensioni tangenziali, quindi quei due punti corrispondono a due direzioni (principali) e abbiamo le tensioni principali, che sono la tensione massima e minima.
Le due direzioni principali sono sempre a 90°.
CONSIDERAZIONE CONVENZIONE DI POSITIVITÀ:
Nei cerchi di Mohr c'è una convenzione diversa:
Le tensi
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