Piastre

Cosa studieremo

Le piastre sono elementi bidimensionali. Le teorie che descrivono le travi sono due:

• Eulero Bernoulli
• Timoshenko: si considera l'effetto della deformabilità tagliante

Teoria di Eulero Bernoulli

Quando scriviamo le equazioni della trave secondo Eulero Bernoulli, il taglio entra in gioco nell'equazione dell'equilibrio soltanto (traslazioni e rotazione) ma non entra in gioco in termini di deformazione, cioè non andiamo a considerare le deformazioni da taglio nell'equazione di congruenza. Quindi il taglio è una teoria approssimata perché esso si considera solo in termini di equilibrio e non in termini di deformazione. Ci possiamo calcolare però le tensioni dovute al taglio, ad esempio con la formula di Jouraski. Ma nelle equazioni differenziali delle travi le deformazioni del taglio non entrano in gioco, quindi è una teoria equilibrata da un punto di vista del taglio ma non congruente.

Teoria di Timoshenko

Nella teoria di Timoshenko invece si considerano anche le deformabilità a taglio.

Teoria di Kirchoff-Love

Nella teoria di Kirchoff Love si considerano solo le deformazioni flessionali, quindi da un punto di vista della congruenza c'è solo l'effetto della flessione, in termini di equilibrio invece entra in gioco anche il taglio. Quindi è una teoria che dal punto di vista del taglio è equilibrata ma non congruente.

Considerazioni sulle travi e piastre

Nelle travi si può trascurare la deformabilità a taglio (quindi si può fare riferimento alla teoria di Eulero Bernoulli) quando le travi sono snelle, cioè le dimensioni della sezione sono piccole rispetto allo sviluppo dell'asse. Nelle piastre possiamo far riferimento alla teoria di Kirchoff Love, quindi trascurare la deformabilità a taglio quando le piastre sono sottili, quindi lo spessore della piastra è piccolo rispetto alle dimensioni in pianta.

Ipotesi cinematiche

Invece nella teoria di Kirchoff Love:

• Nelle travi avevamo un asse neutro dove tensioni e deformazioni sono nulle.
• Sulle piastre non c'è un asse neutro ma ci sarà un piano medio, che si trova a metà dello spessore, e su di esso le deformazioni sono nulle.

Configurazione deformata nelle travi e piastre

Sulle travi, in configurazione deformata, nella teoria di Eulerobernoulli le sezioni rimangono piane e rispetto all'asse baricentrico della trave le sezioni rimangono ortogonali. Nelle piastre, invece, non posso parlare più di sezione ma avremo dei segmenti ortogonali al piano medio.

• Il sistema di riferimento è costituito da 3 assi con z nella direzione dello spessore.
• Il sistema di riferimento lo mettiamo in corrispondenza del piano medio.
• Consideriamo poi dei carichi applicati sulla superficie della piastra che sono perpendicolari al piano della piastra e che possono variare in funzione di x e y.
• Unità di misura: nella trave scrivevamo le equazioni facendo riferimento all'asse della trave, mentre nella piastra scriviamo le equazioni facendo riferimento al piano medio.
• Trascuriamo la componente di tensione normale alla piastra.

Equilibrio nella teoria di Kirchoff-Love

Se prendiamo un elementino di piastra avremo la seguente situazione: se ci mettiamo all'estradosso della piastra esattamente in una zona caricata, sotto il carico, siccome dovrà equilibrare il carico. Ma nelle equazioni queste tensioni non le considero. Anche nella teoria di Eulerobernoulli si considerano solo le tensioni lungo l'asse della trave.

Come studiamo la piastra

Se prendiamo un punto generico della piastra, questo si può spostare nello spazio in direzione x, y e z. Dobbiamo quindi trovare il campo di spostamenti. In generale il punto si può spostare di u, v e w. Il nostro obiettivo sarà proprio quello di trovare quanto valgono queste quantità per il generico punto sul volume della piastra. Abbassamento in direzione z.

Spostamenti e deformazioni

Ci ricordiamo che la seconda ipotesi era: questi segmenti quindi non si deformano e trascuriamo anche l'effetto della schiacciamento della piastra, quindi l'abbassamento non dipenderà da z (trascuriamo quindi lo schiacciamento della piastra) e l'abbassamento sarà funzione solo di x e y. Quindi:

Pensiamo sempre di essere in piccoli spostamenti, e se facciamo una sezione della nostra piastra, se la piastra si deforma inflettendosi, se prendiamo un punto e ci muoviamo lungo lo spessore, tutti i punti che hanno le stesse coordinate x e y si abbassano della stessa quantità. Questa è una conseguenza dell'ipotesi 2.

Rotazioni

Mettiamo in gioco la rotazione. Prendiamo un segmento ortogonale al piano medio prima della deformazione. Facciamo finta che la piastra si inflitta. Considerando la configurazione indeformata (perché siamo in piccoli spostamenti) ipotizziamo che il segmento ruoti.

Poiché la distanza dal piano medio è z, nell'ipotesi di piccoli spostamenti possiamo definire u come: negativo perché lo spostamento è positivo perché abbiamo un punto a z negativa che si sposta verso x positiva.

Possiamo fare le stesse considerazioni ma tagliando la piastra con un piano perpendicolare ad x e mi ritrovo che:

Calcolo delle rotazioni

Cosa sono queste rotazioni? Nella trave, nota la freccia, la rotazione è la derivata della freccia. Nella piastra è un po' più complicato perché w è funzione sia di x che di y, quindi le rotazioni le possiamo calcolare come delle derivate parziali.

L'incognita del nostro problema in sostanza è w perché, nota w, possiamo calcolare u e v. W è l'abbassamento del piano medio che corrisponde anche all'abbassamento di ogni altro punto che ha le stesse coordinate x, y perché non considero lo schiacciamento o l'allungamento della piastra in direzione z.

Passaggio dagli spostamenti alle deformazioni

Ora dobbiamo passare dagli spostamenti alle deformazioni. Usiamo la definizione di deformazione: cioè possiamo fare delle derivate parziali dello spostamento. Derivata parziale seconda rispetto a x. Termini uguali perché non conta l'ordine della derivata. Perché w dipende solo da x e y. Quindi le uniche componenti di deformazione non nulle sono:

Forma matriciale e curvatura

Possiamo scrivere tutto in forma matriciale: nella trave la derivata seconda della freccia è la curvature, qui analogamente: curvatura flessionale, curvatura torsionale. Definendo questo vettore delle curvature, posso andare a scrivere che: questo è un campo di deformazione congruente.

Calcolo delle tensioni

Ora dobbiamo passare al calcolo delle tensioni, quindi dobbiamo introdurre un legame costitutivo che sarà quello elastico lineare. In generale: noi ci mettiamo in ipotesi più semplici che è quella di materiale elastico isotropo: il materiale in qualsiasi direzione si comporta allo stesso modo. Se il materiale è isotropo abbiamo due parametri che caratterizzano il materiale:

Semplificazione delle equazioni

Andiamo a semplificare un po': semplifichiamo, prendiamo la relazione inversa: quindi mi rimane: è una matrice simmetrica. Noi però abbiamo detto che:

Se mi calcolo però da questa matrice ho: cioè le tensioni in direzione x e y per effetto Poisson generano delle deformazioni in direzione z. Quindi non è nullo ma lo trascuro perché è piccolo rispetto agli altri contributi perché dipende dall'effetto Poissons (cioè da quello che dipende in direzione orizzontale).

Posso scrivere poi il legame inverso: (tensioni deformazioni) Posso scrivere poi questa matrice così:

Stato piano di tensione

Ed è chiamato stato piano di tensione perché tutte le tensioni considerate stanno nel piano (x, y). Queste tensioni poi cambieranno lungo lo spessore perché dipende da z. Abbiamo detto poi che fino ad ora abbiamo capito che possiamo calcolare le tensioni in funzione di w. Se scriviamo le relazioni in esplicito:

Significato delle equazioni

Qual è il significato di queste equazioni? Se fossimo in uno stato uni-assiale di tensione scriveremo: invece, ad esempio, questa equazione ci dice che la tensione in direzione x è data anche da:

Elementino di piastra non sul piano medio

Ora prendiamo un elementino di piastra che non stia sul piano medio. Mettiamo in evidenza le componenti di tensione:

• Tensione che agisce sulla faccia di normale x
• Tensione che agisce sulla faccia di normale y
• Tensione tangenziale che agisce sulla faccia di normale x nella direzione y

Congruenza e legame costitutivo

Fino ad ora abbiamo considerato congruenza e legame costitutivo. Ora dobbiamo passare all'equilibrio. Questo rappresentato sopra corrisponde a un elementino di piastra che si trova su una certa quota z. Noi abbiamo detto che: sono funzione di z, e variano linearmente con z. Sono nulle sul piano medio. Le tensioni variano più o meno allo stesso modo.

Varianza delle tensioni lungo le altezze

Vediamo come variano le tensioni lungo le altezze:

• Generano rotazione lungo questo asse. Positive sopra il piano medio perché lì y è positiva. Sopra y diventa negativo e quindi cambiamo la direzione.
• Queste stanno nel piano quindi generano rotazione lungo questo asse. Positive se dirette come x positive. Z positivo, positive se di trazione quindi dirette come y positive. Z negativo, positive se dirette come y negativo.

Teoria di Kirchoff-Love

Abbiamo detto che queste per noi sono nulle. Qui però c'è un'incongruenza della teoria. Noi per l'equilibrio dovremmo calcolare un taglio integrando queste tensioni, che però per noi sono nulle. Quindi noi la forza di taglio non la metteremo in conto perché nella teoria di Kirchoff Love si trascura la deformabilità tagliante. Però se queste tensioni fossero davvero nulle non ci sarebbe nemmeno il taglio, ma il taglio mi serve per avere l'equilibrio. Quindi a livello di deformazione il taglio lo trascuro, però lo devo mettere in conto nell'equilibrio.

Quindi come nella trave potrei, a posteriori, una volta trovato il taglio che mi serve a posteriori, posso andare a ricostruire il diagramma delle che è simile a quello che ottengo con la formula di Jouraski (cioè questo andamento parabolico che mi dà la formula di Jouraski su una sezione rettangolare).

Risultanti delle tensioni

Adesso dalle tensioni dobbiamo passare alle loro risultanti, cioè i momenti:

Se prendo questo andamento a farfalla posso associarlo a un momento mx. Qui posso fare la stessa cosa, però non posso considerare una sezione e quindi integro facendo riferimento a una larghezza unitaria:

Calcolo dei momenti

• Fa ruotare rispetto a questo asse
• Fa ruotare rispetto a questo asse
• Fa ruotare rispetto a questo asse

Queste espressioni le possiamo semplificare perché abbiamo detto che: posso quindi scrivere: questo somiglia molto a quello che avevamo nella trave: l'unica cosa è che nella trave abbiamo un termine in più che rappresenta il fatto che siamo in stato piano di tensione.

Convenzione grafica dei momenti

Adesso vediamo come possiamo calcolare, noti mx, my e mxy, i momenti su una giacitura generica. Per fare questo dobbiamo usare i Cerchi di Mohr: sono uno strumento grafico che ci consente di valutare lo stato tensionale in un punto secondo diverse giaciture.

Tensioni e forze per unità di superficie

Innanzitutto, le tensioni sono delle forze per unità di superficie, quindi il...