Progetto Piastre

Una volta trovato il termine an della serie possiamo esprime la soluzione particolare in termini di

seni .

w01bis [y_] = Sum[ ∗ (Sin[ ]), {, 1, , 2}];

3

a questa soluzione particolare che è quella della flessione cilindrica (linea elastica) aggiungo la

soluzione omogenea w1.

La funzione deve essere una funzione bi-armonica, tanto che il suo bi-laplaciano deve essere

1 4

∇ = 0

uguale a zero. .

1

In quanto la funzione w1 deve essere pari in x, ovvero deve essere simmetrico rispetto all’asse y

allora le costanti e sono uguali a zero. E quindi sono necessarie solo due condizioni al

2 3

contorno. 3

Condizioni al contorno : 

[[, ], {, 2}]/. { → } = 0 il momento è nullo in quanto vi è un appoggio.



[, ] = 0 lo spostamento è nullo.

1 4 4 4 2 2

C1n → ( ( (7q1 − 8q2) − 108 (q1 − 2q2) − 1944q2) −

5 5

36 4 4 4 4 2 4 4

1000000000000 q2 + 4000000000 q2 + 6000000 ( (q1 − 2q2) +

2 2 3 4 4 2 2

18 q2) − 4000 ( (3q1 − 4q2) + 54 q2))Sech[ ](6 + Tanh[ ])

3 3

1 4 4 4 4 2 4 4

C4n → (1000000000000 q2 − 4000000000 q2 − 6000000 ( (q1 −

4 4

36

2 2 3 4 4 2 2 4 2 2

2q2) + 18 q2) + 4000 ( (3q1 − 4q2) + 54 q2) + (108 (q1 − 2q2) +

4 4

1944q2 + (−7q1 + 8q2)))Sech[ ]}}

3

La superficie elastica si ottiene sommando alla soluzione particolare la soluzione omogenea w1 .

∞

= ∑[ + C1n Cosh[ ] + C4n Sinh[ ] ] Sin[ ] , {, 1, , 2}]

3 3 3

=1 4

Una volta trovata la superficie elastica si possono trovare per derivazione tutte le azioni

interne.

Momenti Flettenti e Torcenti unitari :

1 4 4 4 2 2

[_, _]: = ( ( (7q1 − 8q2) − 108 (q1 − 2q2) − 1944q2) −

3 3 3

324

4 4 4 4 2 4 4

1000000000000 q2 + 4000000000 q2 + 6000000 ( (q1 − 2q2) +

2 2 3 4 4 2 2

18 q2) − 4000 ( (3q1 − 4q2) + 54 q2))Sin[ ](−6 − (−1 +

3

1000 1000 1000

)Sech[ ]Sinh[ ] + 6Cosh[ ]Sech[ ]( + 500(−1 + )Tanh[ ]))

3 3

1 4 4 4 2 2

[_, _]: = ( ( (7q1 − 8q2) − 108 (q1 − 2q2) − 1944q2) −

3 3 3

324

4 4 4 4 2 4 4

1000000000000 q2 + 4000000000 q2 + 6000000 ( (q1 − 2q2) +

2 2 3 4 4 2 2

18 q2) − 4000 ( (3q1 − 4q2) + 54 q2))Sin[ ](−6 + (−1 +

3

1000 1000 1000

)Sech[ ]Sinh[ ] + 6Cosh[ ]Sech[ ]( − 500(−1 + )Tanh[ ]))

3 3

1 4 4 4 2 2

[_, _]: = − ( ( (7q1 − 8q2) − 108 (q1 − 2q2) − 1944q2) −

3 3 3

324

4 4 4 4 2 4 4

1000000000000 q2 + 4000000000 q2 + 6000000 ( (q1 − 2q2) +

2 2 3 4 4 2 2

18 q2) − 4000 ( (3q1 − 4q2) + 54 q2))(−1 +

1000 1000

)Cos[ ]Sech[ ](Cosh[ ] − 3Sinh[ ]( + 1000Tanh[ ])) ;

3 3 3

Tensioni: 1 4 4 4 2 2

[_, _]: = 2500( ( (7q1 − 8q2) − 108 (q1 − 2q2) − 1944q2) −

3 3 3 2

27 (−1+ )

4 4 4 4 2 4 4

1000000000000 q2 + 4000000000 q2 + 6000000 ( (q1 − 2q2) +

2 2 3 4 4 2 2

18 q2) − 4000 ( (3q1 − 4q2) + 54 q2))Sin[ ](6 + (−1 +

3

1000 1000 1000

)Sech[ ]Sinh[ ] − 6Cosh[ ]Sech[ ]( + 500(−1 + )Tanh[ ]))

3 3

1 4 4 4 2 2

[_, _]: = 2500( ( (7q1 − 8q2) − 108 (q1 − 2q2) − 1944q2) −

3 3 3 2

27 (−1+ )

4 4 4 4 2 4 4

1000000000000 q2 + 4000000000 q2 + 6000000 ( (q1 − 2q2) +

2 2 3 4 4 2 2

18 q2) − 4000 ( (3q1 − 4q2) + 54 q2))Sin[ ](6 − (−1 +

3

1000 1000 1000

)Sech[ ]Sinh[ ] − 6Cosh[ ]Sech[ ]( − 500(−1 + )Tanh[ ]))

3 3

1 4 4 4 2 2

[_, _]: = − 2500( ( (7q1 − 8q2) − 108 (q1 − 2q2) −

3 3 3 2

27 (−1+ )

4 4 4 4 2 4 4

1944q2) − 1000000000000 q2 + 4000000000 q2 + 6000000 ( (q1 −

5

2 2 3 4 4

2q2) + 18 q2) − 4000 ( (3q1 − 4q2) +

1000 1000

2 2

54 q2))Cos[ ]Sech[ ](Cosh[ ] − 3Sinh[ ]( + 1000Tanh[ ]))

3 3 3

Tagli unitari: 1 4 4 4 2 2

[_, _]: = ( ( (7q1 − 8q2) − 108 (q1 − 2q2) − 1944q2) −

3 2 2

162

4 4 4 4 2 4 4

1000000000000 q2 + 4000000000 q2 + 6000000 ( (q1 − 2q2) +

1000

2 2 3 4 4 2 2

18 q2) − 4000 ( (3q1 − 4q2) + 54 q2))Sech[ ]Sin[ ]Sinh[ ]

3 3

1 4 4 4 2 2

[_, _]: = ( ( (7q1 − 8q2) − 108 (q1 − 2q2) − 1944q2) −

3 2 2

162

4 4 4 4 2 4 4

1000000000000 q2 + 4000000000 q2 + 6000000 ( (q1 − 2q2) +

1000

2 2 3 4 4 2 2

18 q2) − 4000 ( (3q1 − 4q2) + 54 q2))Cos[ ](−1 + Cosh[ ]Sech[ ])

3 3

6

METODO DI NAVIER

Per questo metodo considero un sistema di riferimento con origine che viene fissato al vertice

della piastra.

Per risolvere il problema consideriamo la piastra rettangolare appoggiata caricata con un carico

sinusoidale. Ipotizziamo che anche la deformata sia sinusoidale, ovvero che la superficie elastica

sia del tipo: m π x n π y

w[x_,y_] = wnm Sin[ ]Sin[ ]

a b

Le condizioni al contorno sugli appoggi sono:

w=0

2

∂ w =0

2

∂x

2

∂ w =0

2

∂y

Bisogna esprimere poi il carico in termini di seni:

q[x_,y_] = qnm Sin[ ]Sin[ ]

Dato che la superficie elastica w[x_, y_]deve soddisfare l’equazione di Germain-Lagrange si ha che

il termine della serie wnm dipende da qnm dalla seguente relazione:

4 4

qnm

wnm → 2 2 2 2 2 4

( + )

e quindi la superficie elastica può essere espressa in questo modo:

qnm

[x_, y_] = Sin[ ]Sin[ ]

2 2

2 4

( + )

2 2

Per determinare il termine qnm della funzione q[x_ , y_] si moltiplica entrambi i membri per

mm nn

Sin[ ]Sin[ ] e si realizza successivamente l’integrale nel dominio [0, a] e [0, b] ,e per la

proprietà di ortogonalità per n=nn e m=mm l’integrale è diverso da zero .

m n

Integrate [Sin[ ] Sin[ ] [, ] , {, 0, }, {, 0, }] =

m n

qnm Integrate[Sin[ ]Sin[ ]Sin[ ]Sin[ ], {, 0, }, {, 0, }]

7

Da questa uguaglianza di integrali si trova qnm:

1 k1 k1

2 2 2 2

qnm → 16(2q1Sin[ ] Sin[ ] + q2Sin[ ] Sin[ ]

2

2 2 2 2

k1 k1 k1 k1

2 2 2 2

+ 2q1Cos[ ]Sin[ ] Sin[ ] + 2q2Cos[ ]Sin[ ] Sin[ ]

2 2 2 2

2k1 k1

2 2

+ 2q1Cos[ ]Sin[ ] Sin[ ] )

2 2

e sostituendo nella relazione 2 2 2 2 2 4

( + ) wnm qnm

==

4 4

si trova wnm 1 k1 k1

4 4 2 2 2 2

wnm → 16 (2q1Sin[ ] Sin[ ] + q2Sin[ ] Sin[ ]

2 2 2 2 2 6

( + ) 2 2 2 2

k1 k1 k1 k1

2 2 2 2

+ 2q1Cos[ ]Sin[ ] Sin[ ] + 2q2Cos[ ]Sin[ ] Sin[ ]

2 2 2 2

2k1 k1

2 2

+ 2q1Cos[ ]Sin[ ] Sin[ ] )

2 2

e in questo modo si trovano sia il carico che la superficie elastica espressi in serie di Fuorier.

1 k1 k1

2 2 2 2

[_, _] = Sum[ 16(2q1Sin[ ] Sin[ ] + q2Sin[ ] Sin[ ] +

2

2 2 2 2

k1 k1 k1 k1

2 2 2 2

2q1Cos[ ]Sin[ ] Sin[ ] + 2q2Cos[ ]Sin[ ] Sin[ ] +

2 2 2 2

2k1 k1

2 2

2q1Cos[ ]Sin[ ] Sin[ ] )Sin[ ]Sin[ ], {, 1, }, {, 1, }]

2 2

1 k1mπ nπ

4 4 2 2

[_, _] = Sum[ 16 (2q1Sin[ ] Sin[ ] +

2 2 2 2 2 6

Bmn(b m +a n ) π 2 2

k1mπ k1 k1m k1mπ k1mπ

2 2 2 2 2 2

q2Sin[ ] Sin[ ] + 2q1Cos[ ]Sin[ ] Sin[ ] + 2q2Cos[ ]Sin[ ] Sin[ ] +

2 2 2 2 2 2

2k1mπ k1mπ n mπ nπy

2 2

2q1Cos[ ]Sin[ ] Sin[ ] )Sin[ ]Sin[ ], {n, 1, N}, {m, 1, N}];

2 2 b

Figura 1 carico q[x,y] espresso in serie di seni in Mathematica

8

Momenti unitari: k1 k1 k1