Le Piastre

SOLIDI BIDIMENSIONALI: LASTRE e PIASTRE.

Finora ci si é occupati, prevalentemente, in ambito strutturale, di elementi monodimensionali, che é la trave, che é costituita da un asse, dell'elemento, lungo il quale esso si sviluppa, infatti, si può dire che essa ha una dimensione che é preponderante rispetto alle altre due, quella prevalente é la dimensione dell'asse, le altre due sono quelle della sezione della trave. Poi sono stati studiati 2 modelli di trave ovvero, il modello di Euler-Bernoulli, il quale modella una trave che si deforma prevalentemente a flessione e il modello di Timoshenko, il quale modella una trave in cui c'é pure una deformabilità a taglio - e si usa per le travi alle estremità tozzi, in cui, c'é la presenza di una di quelle due dimensioni minori, che é prevalente rispetto all'altra, quindi le travi non é proprio snella.

I Solidi Bidimensionali sono degli oggetti, che hanno due dimensioni nettamente prevalenti rispetto ad una terza, quindi un solido così fatto :

la terza dimensione é rappresentato dello spessore s del solido (fig.1). In particolare, in funzione di come questo elemento é caricato, prenderà rispettivamente il nome di lastra o piastra e si può cominciare a dire che se questo elemento é caricato prevalentemente nel suo piano e esclusivamente nel suo piano, la risposta di tale elemento, prenderà il nome di elem. lastra laddove se invece é caricato ortogonalmente al piano, e quindi, con carichi applicati sulla sup. laterale ad esempio, si parlerà di

regime/comportamento di lastra

... le caratteristiche della sollecitazione che intervengono. Parallelamente alle travi, in cui si aveva una caratteristica unica, che era lo sforzo normale agente lungo l’asse della trave stessa, e c’erano anche altre caratteristiche ... il momento flettente ed il momento torcente che invece agivano in direzioni ortogonali o comunque diverse rispetto all’asse. In più, quando si scrive la matrice di rigidezza di una generica ... ad esempio, il problema estensionale è disaccoppiato del problema flesso-tagliante, questo per dire che nell’ambito delle matrici di rigidezza si trovano, in alcuni termini, la rigidezza estensionale (EA), in altri termini la rigidezza flessionale (EI), ma ci sono termini misti, con (EA) ed (EI). Giusto disaccoppiamento del regime di sforzo che si ha nelle travi, si sviluppa e siba anche nei solidi bidimensionali o riferimenti di quali si definiscono le caratteristiche della sollecitazione che ottengono il comportamento di lastra, quindi adesso i più ... riferimenti al seguente solido bidimensionale, cui non si dà spessore.

SOLLECITAZIONI NEL PIANO

In (fig. 2) ci sono tutte le caratteristiche della sollecitazione nel piano, che nascono da tensioni normali, ovvero, le caratt. delle sell. associate al comportamento di lastra sono: Nx, Ny e Nxy, rispettivamente agenti sulle facce di normale x e di normale y, invece gli spazi: Nyx=Nxy tangenziali, agiscono sulle facce, rispettivamente, di normale x e di normale y.

... fig. 2 ...

2

...dove sono gli spostamenti. Se lo spessore della piastra fosse paragonabile

con gli spostamenti il regime flessionale non si instaurerebbe, e quindi, si sta-

berebbe, in tal caso, al comportamento di membrana. Le membrane sono

[...] dagli elementi talmente sottili [...] funzionano solamente per sforzo assi-

diale, anche per carichi applicati ortogonalmente al loro piano, resisto-

no non per insorgenza di una risposta flessionale, ma per insorgenza di

una risposta puramente estensionale. Basta pensare ad un elemento mol-

to sottile, che nel momento in cui viene caricato esso risponderà non perché

si inflitte, ma perché si tende. Quindi, è una teoria basata sulle piastre

sottili, ma non dal punto di potere essere considerate come delle membrane,

nemmeno come piastre spesse, cioè, se lo spessore dovesse aumentare

molto, si andrebbe verso un modello che deve tenere necessariamente con-

to della deformabilità a taglio, tale è detto modello di Mindlin-Reissner,

che sarebbe l'alterego, nel campo delle piastre delle travi di Timoshenko.

Ricapitolando, si vuole studiare un modello di piastra che corrisponde alla

trave di Euler-Bernoulli, ovvero una trave snella, o in questo caso, una

piastra snella, per cui le componenti di spostamento dipendono solo dalle

rotazioni e non dalla deformabilità a taglio.

Le Ipotesi di Kirchhoff:

I^a IPOTESI - Con riferimento al piano medio della piastra, cioè quello che

si trova a z = 0, si può dire che:

u(x, y, 0) = v(x, y, 0) = 0   ⇒   (6)

Ciò vuol dire che con riferimento ai p.ti del piano medio, non ci sono sposta-

menti lungo x e lungo y. Si ricollega all’uopo, con riferimento alle travi,

che in corrispondenza dell’asse neutro c’è la nota fibra neutra, che è pro-

prio caratterizzata da spostamenti nulli, dunque, deformazioni e tensioni

nulle, in sostanza, dalla (6) derivo anche:

⇒   {   ε_x(x, y, 0) = 0   }   {   σ_x(x, y, 0) = 0   }

ε_y(x, y, 0) = 0   σ_y(x, y, 0) = 0   (6¹)

Si ricordi però che "stato piano di deformazione" non implica necessariamente "stato piano di tensione", quindi, la σ_z ≠ 0, dunque è presente, e vale:

_{σz = ^E/(1 - ν²) ∫0^L (Ex + Ey) = - ^νEz/(1 - ν²) [∂²w(x;y)/∂x² + ∂²w(x;y)/∂y²] (22)}

Dalla (22) si può dire che se ν è piccolo, lo saranno pure le σ_z. Le ultime due tensioni sono:

_{τxz = q; γxz = 0 (23)}

_{τyz = q; γyz = 0 (24)}

Quindi, come conseguenza, anche le tensioni tangenziali nel piano x-z e nel piano y-z sono nulle, ed è così, per compatibilità con le ipotesi fatte. Come accennato, si è detto che per ν piccolo si può avere σ_z ≈ 0, ma si provi a considerare una porzione di piastra.

Sulla quale sono applicati dei carichi uniformemente distribuiti, sulla faccia superiore, quindi, le tensioni σ_z, definito il carico p(x;y), valgono:

σ_z(x;y;-s/2) = ρ(x;y) (25)

Al lembo superiore però, infatti, al lembo inferiore, non emendoci carichi applicati, verranno:

σ_z(x;y;+s/2) = 0 (26)

Si calcola adesso il momento torcente; nel caso della trave il compostomomento torcentemomento torcente si accoppia con quello flesso-togliante, perché è statodato un campo di spostamenti che doveva restituire un comportamentodi piastra, il quale da una caratteristica torcente M_xy in più alle M_x edM_y, pari a:

M_xy = ^+S/2∫_-S/2 τ_xy z dz = − E (1-υ) ∂²W(x;y) ¯¯¯ (1-υ²) ∂x ∂y ∫^+S/2_-S/2 z ²dz =

− ES³ (1-υ) ∂²W(x;y) = −D (1-υ) ∂²W(x;y) (35)

Dunque, nelle piastre c'è un comportamento flesso-torsionale, ed ilmodello cosı̀ definito, consente di calcolare le caratteristiche di sollec-itazione nel piano, che come ci si poteva aspettare sono nulle, stante il mo-dello di piastra e le caratteristiche delle sollecitazione fuori del piano,avverso M_x, M_yed M_xy, però c'è qualcosa che manca nel modello, in parti-colare, lo presenza dei tagli, perché se si andremo ad in...(l'integraleè lo Γ_yz, che sono pari a zero), lungo z, non si puó di avere un risultatonullo. Dunque, l'ipotesi fatte inizialmente di assenza di deformabilità ditaglio, ovvero Γ_xz = Γ_yz = 0, determina come condizione finale, l'oxavanje (condi-zioni dei tagli) sulle facce della piastra. Adesso si considuri un elementodi piastra, e si valuta se sono garantiti gli equilibri (fig.11), in partico-lare, quello alle traslazione verticale. Questo ragionamento pur scu_SERVEavere lo condizioni di equilibrio, si puo fare ad due livelli, e cioé secondmaniera "macroscopica", ovvero direttamente sulle caratteristiche, oppu(esam-are in maniera "microscopica", sui singoli elementi e partiture delle ten-sioni (fig.11), su di esso, come già mostrato in precedenza, insisto in questo le caratteristiche della sollecitazione nel modo illustrato di seguito, in piú si consideri lo presenza di un carico applicato p(x;y), il quole darà

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