Parte 2 sui vettori

T

a Y

w w

Dimostrazione coef tutti

AkUk

0 0

a +... con

+ o

non

=

- , , .

considero LD

Implica In

v

a O

0Uk UK

OUn

+AnUk +...

+ +

+.. = +,

,

, + ...,

Proposizione

nostro

Nel V LD

vettori

vettori

d +

spazio sempre

sono

, .

Considerando quattro vettori 54

03

v ,

2 .

,

Se vettori

allora quattro LD

i

è LD

.

1 sono

uno .

Se due allora quattro

LD vettori

.

2 sono LD

i sono .

Se fre LD allora vettori

quattro LD

.

3 i

sono sono .

P Analiziamo il LI

tre .

vettori siano

,

caso ,

in cui 3

2

Supponiamo

E complanari

quindi

che Es non

= ,

54

e EEKAD c.l

dimostrare di

che

Vogliamo ve 23

V 22

come

scrive

si ,

,

V B Se V LD stanno

E

El Ez Ep dim.

di 3

=* in spazio

uno

un

, , , .

2

El I Questo che

azVz

V implica

0

a +

=

Vz , , LD

Y V 9353 ↑ 54

U 53

= 02 Sono

,

, ,

C Up V

a az53

azVz

+ +

= , ,

COROLLARIO Dati V l

vettore vettori

altro tre

vettori questi

L di

I di

: in ogni c

si come

3 scrive .

. .

V vettori

COROLLARIO In LI

4

n = sono

: ,

n con ,

Definizione Span

di

· Siano Ex EV

E

, ..., QER

Spanis

Si Spante, = arkla

* ed

... U

lo

definisce e a

+... +

, ... ,

, ...,

lo Spanis l'insieme possibi l

tutte vettori

attro

Un che le dei K

di

overo è

non c

,..., . .

vettore

~

20

Spanto =

· T

Spantu-Can aeRRETTA

· T

Spanka 28 Lau bula PIANO

beR

· = + X

,

, ce

tautbutcola

Spantu wi b Spazio

=

r

· ,

,

, ,

Definizione Generatori

di Un

spanzu V

I V

vettori generatori

dicono di

Un

V di =

se ,

, ..., ...,

Definizione Base

di

Una =

V vettori

di che GENERATORI

di è

BASE insieme e

siano

un vettori V

LI

di

massimo numero 3

sono

in

-

>

vettori

do

costituita

Ogni V

di

BASE è 3 - Ve

Il 3

di

minimo Generatori in

numero

Quindi vettori

#BASE il

la di

LI

di GENERATORI

minimo

massimo M e

= .

La altro vettore

B rispetto quella BASE

Base scrivere

mi serve ogni

per a

Proposizione

Sia 535

[5 veV

V l

modo

vettore

allora

BASE vettori

E di unico dei

in

scrive della

Una c BASE

,

si come

ogni ,

,

, . .

Dimostrazione perché

az53 U GENERATORI

V E Sono

Us

a U azz

+ +

= .

, , ,

Supponiamo barz barz

bio bis

bat bat

A35

AV

di Az

+

v + +

+

=

avere + +

= =

, LI (dato che

bz)Vz BASE

bz)vz

(a (az è

bilv 0

(az => una

=

+

+ -

-

- ,

, coefficienti

definizione bijalba

as-bz

-bi

tutti ba

az-ba

i

per a a

o 0 as =

sono =

=

=

= ;

. Es

[V

le di

coordinate alla

rispetto Va

Base

a sono s

Az Az

, ,

,

,

Sia Es

[0 V

BASE di

Estrazi 02 una

: ,

,

Siano 2 Vz

23

Vz

;

V N

253 +

22

M + =

= =

+

=

- ;

, ? Bisogna

Tw LI

verificare

w base V

di

è

v

· se sono

una

,

, ?

Spann wo

~

· ,

,

Determinare le coordinate base [4 we

rispetto

di alla 2

· v

, , ,

basta

tali verificare

tra che LI

vettore ciano

sono e

m,v , sono

siccome

c

, ,

= b

autbo 0

c

a

0

cu =

=

=

+ = b(E c(22 (a

a(t b c) bluz

253) 22)5

2) ( (a

0

23) 0

Vz +

+ a

+

= + +

+ + =

+ + +

+

-

, I

↑

↑ - 2

0

2

a 0

+ a

= = = Spantu us I

[V E

Allora

b b

lab Base

è =

v

f

3 0 3 0 E

=

+

I una

e = = =

- , , ,

4C DC

32 0

0 =

=

=

- -

Quali le risetto 53

coordinate dis b

(a (0

c 0)

sono 18 Out

2 o

v

0

= +

= ,

, , , ,

, ,

bu

G au + ca

+

= b(vz

( 2z)

Vz)

23) c(24

2 + +

a Vz

v +

= + +

+ b)5z

1(5, b (2a

(

(a c) 0

2 + a +

+ =

+

+

+ - ↑

↑ (a -

617 l'unica

1 = soluzione

22

a a 1

22 se

1

1

+ = =

-

= =

- - - b

(abtC CERC sistema

questo

27

-- e o

= a

=

( 3/7 è

C BASE

una

= - -