Parte 6 sui vettori

Definizione Sottospazio ettoriale

di

· V

Sia 1K

vettoriale

spazio

uno su .

Un sottoinsieme V

W sottospazio le

soddisfa

di seguenti

e condizioni

un se :

vettore o

·

- /

8v E

1) elementi

di

posso sommare coppie

>

- all'interno

IXI

di rimanerci

e

#w (W

/ W somma

rispetto alla

w'f

2) chiuso

w è

a

+ =

, (

ho

#we scalare

Ho awEW al prodotto

3) rispetto

è chiuso per

, Et

Spani ,

1 =0

u Ex I di dim

PIANI per

retta vettori O sono

di paralleli 2

sottospazi .

Ex

vettore assegnato

ad Le

un formano base

E Ez generatori

I

1

O

Per

Rette sono una

e

, .

⑧ ,

SOTTOSPAZI VETTORIALI X

R3 di dim

di I

.

B le

L'unione sottospazio che

considerando

rette perché

delle è

2 es operazioni

un

non

. definiscono fuori

ottengo

vettoriale vettori

prodotto scalare dei

quindi sommos e res

spazio

uno .

, :

1 p ↑ S

+

#

F

X

↓

Proposizione

V

Se ha finita V

IE

dimensione sottospazio allora

di

è

e un :

,

finita

vettoriale

stesso

WI dimensione particolare

di la

è

· esso spazio in

uno e

.

V

dimW-dimV

dimV I

dimW/ solo

= se e se

e =

Proposizione V

Lo sottospazio

Uk di

Spanis vieV è :

un

, ,

...,

Ov

· 02 OUkE

+ +... +

= , b b))V

by W

bk)tke

(a

w (ak

wi

d E w +...

y

w + akuk

+... + + +

+

· +...

= +

=

= =

, ,

, , ,

- EN

<W 20 LakWk

Wit +

=

· , ...

VeV

ESEMPIO S

: Sp

.

201=V dim

ESEMPIO S Sp o

: =

. = I

EX,

Ha

(0

ESEMPIO an)

:= a

..

, , ...,

lista di numeri

n 1

=

Supponiamo Ik

n 2

= , M -

[)() 0)a be i

by

ax

+ ,

=

↳ rettor

- I

I

y I

= MX

-8 EW bo

1) Si

OI 0

a0 =

+ I

?

*

2) EI WI

E

by by

eax 0

0

ax +

+ =

= by y)L

b(y

Y X bx I

X

+ + a(X

axi x)

0 0 ax

0 + +

+

= + +

= +

+

= .

= y y

+

base(()) dimw 1

=

30 EHa

=:

ESEMPIO 0

: Or

Handan

I !

X

X , EHq

(X Xi) an(Xn Xh)

0 0

0 a

+ +...

+ +

= =

= +

,

, Xh

Xn

+

,

'x EHe anXn)

<(a

20 (xX)

2 (2Xn)

: X a a

+

+...

= +... +

= ,

, , ,

Xn

climHa n 1

= -

dimik" H

=

(a (0

an) 1k"

0) Ha dim

, ..., =

= n

= =

, , ..., (0 0)

an)

(a + , ..., 0

a

esempio

per ,

, , ...,

'X , -

-

HaX

E X-

= ...

: ,

oXns /X

↑

Ha ↑

= e

- ~

-X2 an

a

... Ha

O han-1 generatori

in X2 .

X3

+ :

= : L

che

j I

O sono .

1

~ e

C · Ha

Ha dim

dunque

bare di

quindi n -1

è una =

2)

(PeRixildegP

REXIez

ESEMPIO : =

=

↑ 0

[PeRIXI2(Pia

W

dim 3 =

= =

È

1 e sp

an .

Qual'è la ?

dimensione

2) sua

I

1) E

O si

qE

qt (p

p +

, lavalutiamo

se o

in eR

q)'(0) #2

q()

p p(()

I

q)) (p

(p 0 0

0

+

q

+ +

+ = +

= =

=

- D -

<PEN

pco

capl'(d

(ap) 2p 0

20

< =

= = = #peW

-

RIXII2

# di

è ep

e

un .