Parte 5 sui vettori

Abbiamo V

le di

nozioni in LINEARE

COMBINAZIONE

· LINEARE INDIPENDENZA

· LINEARE DIPENDENZA

· Span

· GENERATORI

·

Definizione finita

finitamente

Uno generato

vettoriale ammette

dice dimensione

di

spazio si se

o

finito generatori

di

insieme .

un

Definizione finitamente infinita

generato

Uno dice dimensione

vettoriale di

che sia

non

spazio si .

finitamente generato

V elementi

tre

hanno

tutte basi

le

è --

· R3 finitamente ha

generato tre elementi

base

è

· - con

una canonica

102

-17 10

IK" finitamente generato Ik

generatori

=!,...,

è o di

· %

- er sono

e en

= = i

L

'x -

-

,

(k" = C

X Xzl3

X222 +...

= +

+

,

,

XHo

·

ESEMPIO : ·

- 1

&

& &

&

I

5 O O

I

R4f O 20 O

1 3

5

+ + +

I

= - O

2 O . O

0

.

3

. o -1

O

. .

. .

. tutti altri

gli

generano

ez 24

e 23

, >

-

finitamente Pe

Spande

P lo

(finiti)

Pe

generato

IKIXI tale XI

esistono che

è se =

,

, ..., ...,

N finito interi

)

deg(P di

die an di

con numero numeri

=

i ....,

GRADO

T

del polinomio depe)

deg(ap PerElkexI

Spande

dett def=

maxkdi

=

+

+ , ...,

, ... , ...,

Cr questi

tra di de

massimo e

↳ limitato

I hanno

polinomi grado

un

** Spankl Per

max[d del dX

ESEMPIO : = ,

, , ..., ...,

Ikxi infinitamente generato

è

· Definizione di BASE DI SPAZIO VETTORIALE

UNO

Sia vettoriale

Vuno base

formano

vettori V

i V se

,

spazio e

Un una :

, ...,

L I

1) .

Generatori

2)

Teorema allora

finitamente generato

V vettoriale

Sia ,

uno :

spazio generatori

finito

Da di può

1) estrarre

ogni base

insieme si una .

base

estende .

V

vettori di

L ad

di

Ogni I

2) successione si una

. elementi

esistono

basi tutte stesso

Le di

lo

3) hanno .

numero

e

ESEMPIO "i

per

: r

&

&

& &

&

& & &

&

& -1 #

1) teorema

I che

O O assicura

mi

I

I O questi vettori

cancellare due di

O O

! O

I I posso base

ritrovarmi

I O I O

I con

e .

una

0

.

O

. O

.....

I

O j

.

. ~

~

. Uo

Us

U4

12 Us

U I ...,

Spankuj R

i 1

,

=

ESEMPIO : I

2) base

vettori

dei ottenere

V Uk per

posso una

aggiungere

I , ..., .

. ottengo base

Vi Un

Uk Ukti una

...,

, ..., , ,

Definizione tutte

Sia basi

finitamente

V generato le

vettoriale allora hanno lo

sue

spazio

uno tale

stesso .

elementi dice VI

di di

DIMENSIONE

si

numero numero

e

La Il il

vettori

il generatori

dimensione di di D

L

OSSERVAZIONE di

numero

massimo

è minimo

: e .

.

Proposizione

Sia vettoriale l'insieme

V Uno

[V

allora vettori

di è

spazio una

uno , , ...

Hu Il tali

anelk

base esistono

solo che

unici

e

se a

e

se ,...,

AnUn

v V

a + +

= ,

, ...

Dimostrazione : Ik

base V esistono

EV Und generatori che

implica E

a an

: unici

, se

p

· , ...,

, ...,

Tali che v AnUn

a v +

= +...

, , b bntn

u +...

a V

anEn

0 + +...

= = +

,

,

b L bj) bi

Can-bn)Un

(a )v (aj

I 0 j

0 aj

= p 1

=

+ h

= =

+... = =

-

- =

1

, , ,

. ....,

Dimostrazione : tali

He esistono che

unici V antn

an

a

- , ,

· a +

: +...

=

,...,

Ep

0

A 0 ,

+... O 0

AnEn

+ i 1 M

= =

=

,

, , ...,

EV

il ↳

vettore o l'unicità L

0 che I

lo implica

0V+... 00n => 0

= a

+ =

=

scrivere

posso .

anche così Il "esistono" fatto

il generatori

che

termine nell'ipotesi implica .

siano

Definizione coordinate

di

Sia Un base

[8 .

di VI

, ...,

Per univocamente

V determinati tali che

sono

ve ol v=

o v ann

+...

a

ogni +

,

,..., ,

IV

rispetto

di base

alla UnY

COORDINATE

dicono

Oh Si

ohn ,

, ..., .

...,