V
>
-
⑧ I ortogonale
11 4x e non
V protezione
· u
, e
24 UY
, coeff 1K
nxm in
a
· .
*
* lineare
"left" (k >(k
: Alk
X >
- HXm
"
↳ Colonna
(523) /" 1k"
ESEMPIO =
*
: 7
2x3 -
1 . AX
X) La(X)
(a(X)
A(X X))
La(X AX
+ +
+
+
= = =
cLa(X)
La(aX) =
Siano dimI/
W dimV
V vettoriali
due m
spazi ne sia
=
=
,
V
2 lineare
I
= Eve o
(f(x)
D18 Ker(f)
NUCLEO = = 0)
((y)eRYx
1111 (8))
((y)eP" /La(y)
kerta y
+
= =
ESEMPIO =
: =
11 R2 R
'0'
x
1 0
y
X =
+
=
Irr 0 -
. y 0
X + =
sottospazio di
dim 1
=
Proposizione
f
Se Ker(f)
allora .
lineare VI
di
sottospazio
è
-
: un
Dimostrazione Ker(f)
Ker (1) Ker(f)
0 ho
perché supposti
Tenendo conto che
che ot E
v
= v2 si
e ,
verifichiamo
&(V) implica
questo
f(v) allora
0 0 se :
= =
Ker(f)
-
1) 12
v +
, 42)f(v f(2)
f(v ) + 0 0
0
+
+ = =
- i
, Halk
Ker(e)
LV E
2) , ,
2f(x)
f(av 2
) 0 0
= =
=
- .
,
(wt( wY
Inf veVconf(x)
= - =
(f(x)(veV]
= R2 R
R2)
((i)) (vy))(y) +
FmLa = Imf
-
(I)
(ii)() tuttiocoli
= bisettrice
sulla y 0
X + =
I #0
del del
quadrante
Proposizione
8 l'Imf
V--W
Se lineare allora I
di
vettoriale
sottospazio
e è
: un
Dimostrazione Imf Ker(f)
considerando
Imf * E
0 perché
Tenendo conto V2
Of Vi :
e ,
f(V2)
(v
& Imf
E
1
, , f(v2)Imf i
uneaf(V
f(v Imf
) 12)
+ -
+
, ,
f(xV)t
2f(v) Imf
=
8 V-o &
Sia lineare Imf
suriettiva I questo
solo
è è
: se de
e e
=
,
la dimIme .
dimW/
solo
vero se
se e =
8 10
%
Ker(f)
iniettiva
Se il
V-W Cimker (f)
OSSERVAZIONE è 0 0
=
=
: :
Kerf f
200
Se allora iniettiva
OSSERVAZIONE è
=
:
Dimostrazione
Kerf 20 ?
Hp =
: f iniettiva
Ts è
: · f(x)
Si =
f(x) f(V2) allora
V
V E
Vz supponiamo
e =
, T
-
&
(vi 2(2) diff
linearità
la (v 0
-v2)
0 e =
per
=
- .
201
Kerf fe invettiva
quindi
dunque allora
V
E 12
-12
-12 0
V V =
= = = .
,
,
, -
Proposizione
V--WI
8 f
lineare
Sia L
iniettiva allora vettori I mandati da
è
: vengono
se
, , .
f(x)
& &(1) "L
L I
vettori allora I
I
L
Vi
ossia
in ., sono
: e
. . ...,
, .
, .
.
Dimostrazione
af(x) 2kf(yk)
22f(v2) 0
+ +... + =
f(2
lineare
& allora quindi
0
[kVk)
Vi
è &21z +... +
+ =
,
kerneddedk
e
Teorema della dimensione finita
dimV
Siano W spazivettoriali IK
V , con
su
, .
Siaf lineare
V W un'applicazione dimV
allora dimkerf Imf
dim
-
: + =
,
(k)
(Ts
Dimostrazione Imf =
: Kerf
base di
8 .
Imf Werk
-
Kerf Wer,
, e
Kerf
vel
Cr base
Sia ,
del ...
V ,
la -f(x)
una base
con V
di
,..., ,
i O
Il f
&(Ve) potrebbero
&(VI)
Considero &(VI &(ve vettori che
1) (We k)
+ tesi
la
, ,
, ..., +
, ..
, soddisfare
a
-
Kerf
di
ovettori
~
V
Vettori di
2
dimkerf 2
dimV k
= +
=
·
Voglio dimostrare dim Imb A
che Stanno
= nell'immagine
&We
f(Ve Imf
1) E 2 qualcosa
-
, k) di
perché sono
1)
+ +
...,
L formano dell'Imf
I dim-K
generatori e base
anche di
se . una
sono generatore
vettore dell'Inf
C EX
Sono generatori perché
2) vettore ImV
di
preso generico :
un (combinazione lineare
<
V
scrivo deve
0 Xe
+... Ve
+ ke
Xe
+
+...
+
= , k
, + +
+ 1 +
f(x
f(x) k)
xewe
5 x2
+...
= +
+ kve
[2
+
+
=> + e
, , ... +
+ 1 +
Poiché fus f(r) 2we
xef(we)
f(51)
lineare def(e
è < i)
ae +
+... + + +...
= +
: , +
+
combinazione
f(s) è
Spankalif(Ve sempre
Gef(We *
e
=> +... questi
lineare vettori
di
l'Imf
generatori
vettori
Quindi i per
sono
=> ?
Lef(ve kf(ve implica
è I)
che (
3) 0
k) vero
) den
Xe
+
+... 0
det
= =
+
+ ...,
+ . li
quindi scrivere
posso
8 -Cenf(ve
f f(Ve
f(we Kerf
k)) 0
(wen) k) l nucleo
del
) E
Xe
+
+...
+ =
+... come c
e +
+ k + + .
+ tali
esistono
quindi che
de
2 settent detketk div
... deve
+
+...
=
....., ,
Quindi l
(i x) I
0 0 1
,
ai
altVenit +
etkVe sono
-X = +
5 Leve .
=
=
- -
+ ,
... , ...,
... base
Le Un V
Se dimkerf prendo di
o
· = , ...,
&Webase Img)
[f(V)
dimostro (dimostrando
che Imf generatori
che
di di
, ..., sono
L I
.
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