Gusci di rivoluzione

Anomalia

• Se tagliamo il guscio con un piano ortogonale all'asse di rivoluzione vediamo dei cerchi (paralleli). Noi possiamo prendere un meridiano di riferimento e da questo misuriamo l'anomalia.

Poi:

Se evidenziamo due paralleli e 2 meridiani, individuamo una porzione di guscio. Su questa noi possiamo avere due tipi di sollecitazione:

• membranali (solo sforzo normale)
• flessionali, abbiamo momenti e taglio (stato piano di tensione)

Qui il regime membranale diventa importante per via delle curvature. Nelle piastre non consideriamo invece gli sforzi normali perché ci sono solo carichi ortogonali al piano della piastra.

Ricordiamo che siamo in regime di assial simmetria quindi ogni piano che passa per l'asse di rivoluzione è un piano di simmetria. Questo significa che nel regime membranale ny è uguale altrimenti non rispetterebbe la simmetria, invece nx può cambiare.

Ragioniamo sui momenti:

Per simmetria questi tagli non si possono avere.

Si possono avere dei momenti flettenti che, se ci sono, sono costanti su tutta la circonferenza. Questi momenti e questi tagli invece li posso avere e possono variare lungo il meridiano perché li non ho problemi di simmetria: Adesso prendiamo un elementino infinitesimo del guscio e scriviamo delle equazioni di equilibrio:

Nel regime membranale queste sono le componenti dell'azione interna che possiamo avere:

Ragioniamo quindi come delle piastre perché non possiamo definire delle sezioni.

In regime membranale a rigore potrei avere anche delle forze di taglio che stanno nel piano:

Ma queste di sicuro non si possono avere. Se non ci sono queste non ci posso essere nemmeno queste altrimenti non ci sarebbe equilibrio.

Quindi le forze di taglio per assial simmetria non ci posso essere.

Per quanto riguarda il regime flessionale:

Ci sono dei casi in cui nei gusci assial simmetrici si instaura solo regime membranale. Vediamo quindi quali sono le condizioni affinché si possa

trascurare il regime flessionale: Cioè se abbiamo dei vincoli, questi devono dare delle reazioni vincolari che sono tangenti alla superficie. Perché se ad esempio avessi una superficie fatta così: Se penso di avere questi carrelli la reazione non è ortogonale alla superficie. Per renderla su sede conica i vincoli devono essere così: Se io ho una superficie poggiata su appoggi, questi potrebbero avere una reazione orizzontale perché se ad esempio il serbatoio tende ad allargarsi ci sarà una reazione orizzontale, quindi questa superficie non è su sede conica: Variabile chiaramente solo lungo il meridiano, lungo il parallelo no nel rispetto dell'assialsimmetria. Se tutte queste ipotesi sono verificate allora sicuramente c'è solo regime membranale, e quindi possiamo calcolare nx e ny che sono le uniche componenti di sollecitazione. Questo calcolo si fa imponendo le sole equazioni di equilibrio: Se noi tagliamo con un asse che è ortogonale all'asse di

rivoluzione e scriviamo un equazioni di equilibrio nelladirezione dell'asse di rivoluzione, nx ha delle componenti dirette come l'asse di rivoluzione, ny no perchè è ortogonale all'asse di rivoluzione, quindi possiamo scrivere un'equazione di equilibrio che coinvolge solo nx. Noi possiamo scomporre nx in una componente parallela all'asse di rivoluzione e in una componente ortogonale (che non ci interessa). La componente parallela vale: è la risultante del carico che agisce per forza sull'asse di rivoluzione altrimenti non avrei assial simmetria. Quindi l'equilibrio è: Quindi se ho un carico con componente diretta anche come x, considero solo la componente normale alla superficie, cioè z. Per fare l'equilibrio il direzione z: Io guardo questa porzione di meridiano: Su questi due lati abbiamo detto che agisce nx, trascurando la sua variazione perchè darebbe luogo ad un infinitesimo di ordine superiore. Quindi

qui ho una forza che vale: Queste forze sono dirette come la tangente al meridiano, quindi come x. Queste forze, poiché c'è una curvatura del meridiano, avranno una componente diretta come z. E vale: Ma poiché è piccolo posso confondere: E quindi scrivere: Sommando i due contributi abbiamo: Questa volta le forze in gioco sono ny. Faccio la stessa costruzione di prima. Il piano viola è ortogonale all'asse di rivoluzione, ma l'asse z non è girato allo stesso modo perché è normale alla superficie: Quindi queste forze le devo andare a scomporre per valutare la componente che sta lungo z: Scriviamo l'equilibrio: Poi sostituisco: In sostanza, se prendo un punto generico sulla mia calotta avrò una forza peso: Questa forza peso la devo scomporre in una componente diretta come z e una ortogonale a z: La componente diretta come z è: Sostituisco cosa abbiamo trovato: Dirette come i meridiani quindi ortogonali alle.

isostatiche di trazione. Chiaramente mi aspetto divederle nella parte bassa della cupola (inclinate circa a 52°). È definito come carico riferito alle proiezioni in pianta alle superfici, quindi dobbiamo calcolare la risultante moltiplicando il carico da neve per la superficie su cui è applicata la neve però come proiezione in pianta. La proiezione un pianta di questa parte di calotta è un cerchio di raggio r. Prendiamo una superficie unitaria lungo il guscio. La neve è definita in proiezione in pianta. La proiezione in pianta vale:

Quindi il carico in generale è definito come pressione sul guscio, quindi è riferita alla superficie del guscio. La neve non è riferita alla superficie del guscio ma è riferita la proiezione in pianta. Quindi devo trasformare la neve in un carico riferito alla superficie del guscio. Faccio quindi i passaggi appena scritti. Otteniamo:

GUSCIO CILINDRICO

• abbiamo un cilindro, trascuriamo

l'effetto del fondo e guardiamo solo le pareti. Vincolato su sede conica, quindi i carrelli danno reazioni solo verticali. Ipotizziamo sia piano di acqua: Faccio un taglio con un piano orizzontale: Perché l'unica cosa che potrebbe produrre nx è il peso delle pareti che però stiamo trascurando. Il peso dell'acqua che si trova qui sopra non lo mettiamo perché questo peso è equilibrato dall'acqua che sta sotto, quindi non entra nell'equazione di equilibrio perché è equilibrato dalle pressioni idrostatiche dell'acqua sotto. Quindi: Abbiamo detto che affinché ci sia regime membranale il carico deve variare con continuità. In corrispondenza di questo punto abbiamo però un salto della derivata e quindi il carico non varia con continuità --> NON È UN REGIME MEMBRANALE. • serbatoio pieno di acqua a forma di tronco dicono. Questa porzione è sostenuta dall'acqua sotto. Queste porzionitronco conico, l'acqua non trasferisce tensioni tangenziali e quindi le porzioni del serbatoio devono essere sostenute dal serbatoio stesso. Di conseguenza, il valore "r" diminuisce man mano che si scende e il valore "re-r" cresce man mano che si scende. Se avessi un serbatoio cilindrico, il valore di "Ny" varia linearmente con la profondità. Quindi nel serbatoio tronco conico abbiamo un andamento meno che lineare (cresce meno rispetto al lineare), mentre nel cilindro cresce linearmente. Posso notare che nel serbatoio tronco conico le trazioni in direzione circonferenziale, a parità di profondità, rispetto al cilindro sono più basse. Quindi il vantaggio del serbatoio tronco conico rispetto al cilindrico è che con la profondità "Ny" cresce di meno, quindi ho meno trazioni in direzione circonferenziale e mi serve uno spessore più piccolo perché ho un materiale meno sollecitato. SVANTAGGIO SERBATOIO TRONCO CONICO: Nel serbatoio

Il tronco conico è soggetto a forze di compressione lungo i meridiani. Se la forza di compressione supera una certa soglia, potrebbe verificarsi l'instabilità.