Gusci cilindrici

Gusci cilindrici

Sono un sottoinsieme dei gusci assialsimmetrici. Per il regime membranale vale tutto quello detto fino ad ora. In più dobbiamo studiare il regime flessionale. In questo caso prendiamo un guscio cilindrico assialsimmetrico, definiamo il sistema di riferimento come prima:

• Asse x diretto come il meridiano (come la tangente al meridiano)
• Asse z punta verso l'interno (verso l'asse di rivoluzione)
• Asse y

Prendiamo un elementino infinitesimo e vediamo le componenti dell'azione interna. Essendo un cilindro abbiamo:

Per noi adesso diventa quello per noi prima era componenti dell'azione interna: fatto in modo da tendere le fibre interne. Cresce verso l'alto perché x cresce verso l'alto. Poi abbiamo i tagli che visti in sezione sono:

Equazioni di equilibrio

Pensiamo che il carico esterno sia solo una pressione. Ci potrebbe essere un carico che è diretto come x (peso proprio), ma lo possiamo analizzare studiando il regime membranale come visto prima, adesso a noi interessa tutto ciò che può produrre un regime flessionale e quindi i carichi ortogonali alle pareti.

Equilibrio attorno a y: Stesso ragionamento: prendo le componenti dell'azione interna e le moltiplico per la larghezza sulle quali agiscono (per unità di larghezza). Moltiplicati poi per il braccio. Mettiamo insieme tutto:

Adesso: Prendiamo un punto A che si può muovere in direzione z (w) oppure in direzione x (u). Non ci possono essere movimenti in direzione y per assialsimmetria, cioè non si ci può muovere lungo la circonferenza:

Definizione di deformazione

Applichiamo la definizione di deformazione: deformazione nella direzione del parallelo, quindi legata alla variazione del raggio del parallelo. Aggiungiamo il legame costitutivo. Siamo ancora in uno stato piano di tensione. Quindi il legame costitutivo è lo stesso delle piastre con la differenza che non ci sono qui momenti torcenti perché non rispetterebbero l'assialsimmetria. Ricordiamo che:

Facendo le sostituzioni otteniamo:

Abbiamo quindi trovato: (sforzo che si genera nei paralleli in direzione circonferenziale)

Ora: Otteniamo:

Questa equazione è simile all'espressione della trave su suolo elastico. B è equivalente a EI per una striscia unitaria. Qui se pensiamo al cilindro come fatto da una serie di anelli sovrapposti che rappresentano ciò che succede a causa di ny, questi anelli si comportano come un letto di molle indipendenti e quindi si oppongono alla variazione del raggio di curvatura prodotta dalla flessione. L'analogia quindi è espressa in questa slide:

E questa equilibrio si risolve come nel caso della trave su suolo elastico. Avremo una soluzione particolare (che dipende dal carico) e una soluzione generale. Quindi anche qui si può far riferimento ai casi particolari:

(Cioè è definita in maniera diversa perché dipende dalla rigidezza degli anelli orizzontali)

Quindi: Quindi per capire quando possiamo cominciare ad approssimare il nostro cilindro ad un cilindro illimitato o semiillimitato valutiamo Cioè ci riconduciamo ad uno schema di vincolo che ci porta ad un regime membranale.

Poiché abbiamo questo andamento armonico smorzato il regime flessionale interesserà solo una parte. Quando ci allontaniamo di, il regime flessionale si è attenuato. Quindi nella parte superiore avremo solo regime membranale, in quella inferiore sia flessionale che membranale. La deformata si ottiene sommando le due. La deformata complessiva sarà: