Gusci cilindrici

QUANTO FERRO MI SERVE PER NY?

Faccio una sezione: A differenza di prima quando svincoliamo dobbiamo togliere 2 gradi di vincolo. Avrò: Alla base devo avere spostamenti e rotazione nulla, quindi alla base posso scrivere due equazioni di congruenza:

Posso quindi ricavare:

Prendiamo la tabella dei casi notevoli: Da qui posso scrivere la prima equazione:

Poi:

Da qui posso scrivere la seconda equazione:

Posso pensare di avere un regime flessionale che mi porta solo una traslazione (una variazione di raggio) quindi posso vedere il serbatoio come una metà di un serbatoio illimitato dove applico:

Questo diventa equivalente ad una trave illimitata, dove sappiamo che per simmetria in questa sezione non ci può essere rotazione. Inoltre 2to deve essere uguale ed opposto a che ho nello schema membranale. In questo modo sfruttando la simmetria ho solo 1 equazione e non 2.

Noto t0 faccio riferimento a questa tabella: In regime membranale in questo caso, a differenza di prima, abbiamo una

rotazione:

In questo caso non possiamo considerarlo come la metà di un serbatoio illimitato perché nel regime membranale percome è caricato ho una rotazione non nulla, e alla base abbiamo un incastro.

A questo punto prendiamo le tabelle:

La prima equazione di congruenza diventa:

La seconda equazione di congruenza diventa:

Per verificare se possiamo usare il serbatoio illimitato dobbiamo verificare l'altezza rispetto a Ho una cuspide, quindi il regime membranale da solo non basta. L'effetto del regime flessionale sarà quello di fare in modo che la rotazione sia uguale sopra e sotto. Quindi le due parte si scambiano dei momenti: Lo spessore è lo stesso quindi il regime membranale in cima è uguale a zero, se applico mo che tende a far allargare sia sopra che sotto, w sarà per forza lo stesso perché ipotizziamo S e R gli stessi, e quindi mi basta scrivere la congruenza in termini di rotazione, non serve to. Scriverò quindi:

Cosa

succede dove c'è il cambio di spessore? Non ci può essere regime membranale per le ipotesi iniziali. Se c'è solo regime flessionale operiamo un taglio, cioè separiamo parte superiore e parte inferiore: Le equazioni da scrivere che ci dicono la continuità della deformazione sono: In questo metodo blocchiamo tutti i movimenti mettendo dei vincoli ausiliari,. Mettiamo poi le reazioni di questi vincoli cambiati di segno. Scriviamo poi delle equazioni di equilibrio tante quante erano i movimenti bloccati. Se noi abbiamo questo schema: I possibili movimenti che si possono generare sono 2: - variazione di raggio - rotazione Il fatto di avere una trave ad anello e la fondazione vuol dire che non abbiamo più l'incastro perfetto, ma la trave ad anello avrà una sua deformabilità e la piastra di fondazione avrà una sua deformabilità. Abbiamo quindi questi 3 elementi interagiscono tra di loro. Se penso che ci sia continuità nel nodo,cioè che i 3 elementi siano attaccati tra loro, non ci possono essere movimenti relativi e quindi i gradi di libertà sono 2. Nell'ottica del metodo delle deformazioni vuol dire che devo bloccare lo spostamento orizzontale alla base e la rotazione, quindi mi riconduco ad un incastro: Studio il serbatoio incastrato alla base. Qui mi ritrovo to e mo e li devo applicare cambiati di segno perché l'incastro alla base non c'è realmente. Poi scrivo le equazioni di equilibrio. Per scrivere le equazioni di equilibrio usavamo la matrice di rigidezza: Qui abbiamo il serbatoio (cilindro), la trave ad anello, la fondazione circolare. Ognuno di loro ha la propria matrice di Rigidezza. SERBATOIO Pensiamo di essere nel caso di serbatoio semi illimitato. Posso pensare che questo schema è uguale al doppio dello schema dove applico 2P, perché nella sezione di simmetria sappiamo che non abbiamo rotazione e quindi possiamo ragionare sulla metà: Reazionedel l'incastro scorrevole, cioè il momento che devo applicare nella sezione per non avere rotazione. Momento che tende le fibre all'interno del serbatoio (positivo). Lo posso pensare come la metà di uno schema antisimmetrico con la coppia applicata 2M. Studiamo la fondazione (trave ad anello). Si usa una trave ad anello perché serve a diffondere i carichi sul terreno e poi che questa trave con la sua forma può avere una notevole rigidezza flessionale e quindi ci consente di avere alla base del serbatoio un vincolo che assomigli ad un incastro. La trave è in grado di equilibrio to tramite uno sforzo normale perché ha una curvatura legata alla sua geometria. Quindi lo sforzo normale nella trave sarà: Se volessi ricavare questa equazione dobbiamo fare esattamente quello che abbiamo fatto quando abbiamo ricavato questa equazione nel regime membranale: 1. Considero una porzione infinitesima di trave 2. Considero t0 3. Considero lecomponenti di N girate nella direzione del versore normale⁴. Trovo la relazioneAdesso noi dobbiamo calcolare la Rigidezza.Dobbiamo quindi calcolare la relazione tra t₀ e deformazione radiale.Abbiamo visto che nel regime membranale la variazione di raggio vale:Quindi la forza da applicare per avere una variazione di raggio unitaria vale:Nella trave ad anello, a differenza del cilindro, quando applichiamo questa variazione di raggio unitaria non serve applicare niente per bloccare le rotazioni. Quindi la variazione di raggio è indipendente dalla rotazione, per cui la matrice di Rigidezza della trave ad anello è diagonale:Vogliamo studiare la relazione tra rotazione e coppie applicate m₀ lungo tutto il bordo della trave ad anello.La coppia applicata provoca una rotazione delle sezioni.Ci interessa calcolare la rotazione dovuta all'applicazione della coppia e poi imponiamo:Guardando questo disegno si potrebbe pensare che m₀ genera torsione sulla trave. In realtàsulla trave si genera un momento flettente. Quindi è possibile che applicando una sorta di momento torcente nasca un momento flettente? Noi abbiamo detto che: E quindi ogni volta che c'è una variazione di raggio questa mi provoca un: In sostanza se vediamo la configurazione iniziale: I punti lungo questa retta iniziale si trovano su una circonferenza di raggio R. Se avviene una rotazione: I punti lungo questa retta si muoveranno così, immaginando che la sezione resti un rettangolo. I punti sotto si avvicinano all'asse di rotazione, quelli sopra si allontanano. Se consideriamo questo punto spostandosi dalla posizione iniziale diminuisce il suo raggio. Quindi avrà un: Questa genera una forza in direzione circonferenziale. Che sarà associata ad una: Che è ortogonale al foglio, quindi è una normale per la sezione. Le forze variano linearmente lungo l'altezza. Quindi vuol dire che a causa di una rotazione si generano delle forze che variano linearmente.lungo l'altezza, e sono nella direzione normale al disegno, di conseguenza pensando ad un comportamento elastico lineare si generano anche delle tensioni normali al disegno che variano linearmente lungo l'altezza. E queste tensioni generano il momento flettente. Questo momento flettente agisce attorno a questo asse. Questo è un modo di vedere la cosa. La stessa cosa la possiamo vedere anche così: Se prendiamo un elementino infinitesimo di trave di anello: Agisce un m0 applicato su tutto il contorno E5 un momento per unità di larghezza. Questo momento torcente a causa della curvatura geometrica della trave ad anello deve essere equilibrato da momenti flettenti che devono essere costanti perché siamo in assial simmetria. Per vedere se sono in grado di equilibrare i momenti torcenti posso costruire una sorta di triangolo di equilibrio. Imponendo l'equilibrio posso scrivere: Possiamo vedere ancora la stessa cosa tagliando. Si vede che rispetto all'asse di

simmetria i momenti a sinistra devono essere bilanciati da quelli a destra. L'unica cosa che non rimane bilanciata è la rotazione rispetto a questo asse. Quindi attorno a questo asse devo avere dei momenti flettenti che bilanciano la risultante degli m0.