Volume di un solido di rotazione con il metodo dei gusci cilindrici

L’integrale definito

Il volume di un solido di rotazione con il metodo dei gusci cilindrici

L'integrale definito

Il volume di un solido di rotazione con il metodo dei gusci cilindrici

Il volume di un solido di rotazione con il metodo dei gusci cilindrici

V = _lim^n→+∞ _∑ⁱ⁼¹ⁿ (2πc_i) f(c_i) Δx = ∫_a^b 2πx f(x) dx

somma di Riemann relativa alla funzione (2πx)f(x) nell'intervallo [a, b]

Calcola il volume del solido generato dalla rotazione intorno all'asse x del trapezoide limitato dal grafico della funzione y = ⁴/_x e dalle rette x = 1 e x = 3.

• Osserva il grafico in figura.Il volume del solido è dato dall'integrale:π ∫₁³ [f(x)]² dx = π∫₁^{3 16}/_x² dx
• Calcolando tale integrale, troverai che il volume del solido è:Volume = ^32π/₃

Consideriamo la regione finita di piano limitata dai grafici delle funzioni f(x) = x² + 2 e g(x) = 4 − x². Determiniamo il volume del solido generato dalla rotazione di questa regione di piano intorno alla retta di equazione y = −2.

Si può ragionare in due modi diversi, ma fra loro equivalenti.

1° modo: utilizzando il metodo delle sezioni

Tracciamo anzitutto i grafici delle due parabole e calcoliamo le coordinate dei loro punti di intersezione. Si trova così che le due parabole si intersecano nei punti di coordinate (±1, 3) e che la regione di piano da esse delimitata è quella colorata in fig. a.

Le sezioni del solido con piani perpendicolari all’asse x sono corone circolari (fig. b); in particolare, l’area della sezione ottenuta con il piano passante per (x, 0) è (fai riferimento alle figg. a e b):

S(x) = πR² − πr² = π[g(x) + 2]² − π[f(x) + 2] = π(6 − x²)² − π(x² + 4)²

Il volume del solido (fig. c) è allora:

V = ∫₋₁¹ S(x) dx = ∫₋₁¹ [π(6 − x²)² − π(x² + 4)²] dx = π∫₋₁¹ (6 − x²)² dx − π∫₋₁¹ (x² + 4)² dx

Svolgendo i calcoli si trova V = ^80π/₃.

2° modo: utilizzando una opportuna traslazione

Effettuiamo una traslazione di vettore V(0, 2) in modo da trasformare l’asse di rotazione nell’asse x e poter applicare quindi le formule ordinarie. Tale traslazione trasforma le due parabole date in quelle di equazioni:

f₁(x) = x² + 4 e g₁(x) = 6 − x²

che si intersecano in (±1, 5).

Per trovare il volume V del solido originario dobbiamo:

1. calcolare il volume V₁ del solido generato dalla rotazione intorno all’asse x del trapezoide limitato dal grafico di g₁(x) = 6 − x² nell’intervallo [−1, 1];
2. calcolare il volume V₂ del solido generato dalla rotazione intorno all’asse x del trapezoide limitato dal grafico di f₁(x) = x² + 4 nell’intervallo [−1, 1];
3. sottrarre da V₁ il valore di V₂.