Geometria (teoria+esempi)

E

l'ultima è

colonna scalini

un anche a

5 À completa

Sia scalini

sistema matrice

formato da dei scalini

ceef e

a

un a

.

,

↳ 5 Al

l'ultimo

è nell'ultima e

cade

compatibile di caloma

pivot

En ovvero

non ,

A e

e '

compatibile lo

hanno stesso piret

di

se numero

Poiché Pivot

e no

in rk

scalini

sistema a

un =

2

. vRÄ

J ri

è compatibile Ed =

Es . & x

x + 2x2 1

+ A=

02

=

S 3

4x +

2x xy

+ 3

= 4

13

2x2 2

+n +

+ =

-

Per (vedi

Th ru(A')

(A)

dopo)

degli

il orlati rn 2

= = "Sol

(n Th

Il è compatibile ha

Reché-Cpeki

2)

sistema il

v di

> e per

=

= , ,

(riduco Re-zRe/Rg-

Verifico Gauss scalini)

A'

tramite R2- R3-Re

=

a

②20

11

I L Non nella

ci dei

pirot termini

coloma

sono noti

A 000 11

= ↳

- S compatibile

e

000 O

O or

pirot/s

2 Soluzioni

incognite

ORLA TO

Dato M'

A

di ordine

M il

minore minore

di matrice di ordine nth

una

n

un n

è elementi

clato di contiene M

ottiene aggiungendo di

da

si

M

M un

se ovvero

,

altra di

colonna

riga A

e

Es Considerando (5)

minde

il arra

(2 di 2

ordine N =

e

A ,

. .

mindri orlati

3

= (*)

Mens )

&

Menz3) Weres

A ammette 6 minori

ordine

di 2

Th DEoli Sia A M

matrice detfa

pxq minore ordine

di

una suo

e con

un n

ORLATI

Se l'ordine

tutti hamo rk(A)

det

gli nullo

M

orlati di

allora M

di ovvero

n

= ,

(rivedi

MATRICE INVERSA GAUSS-Jordan inversa

&

CON def Matrice

la

Data A il mi invertibile

calcolo

Matrice sia

det che

assicuro

suo e

,

Le i l'algoritmo

tramite

la As

( Ora

a a

n 2

(

prendo I 00

matrice

da la

All di trasforme

A gauss

scrivo -Da21 2

22 g

1 A 23 SCALIN

matrich a

Az1932 01

g

a 33

Es (

. i

A All(0002

O

( O pa-aratro

Re

R2 Re

- -

20

8

detA fo

-1

= & Come

Ora faccio

step

che

for

devo si ultime invers i

la

↓ divente

della matrice matrice

pivot di

di 2

siano all'identita

uguale

Sx

sx 3

=

22 I (

g 200

IRz I

10

R2-12Rs

Rc 222

0

Re -

D - --

- 12

I

O 120

1/2 O 1

1

- 01 1

-

R3 -

CR3 Rs R2

Re-2

- -D

110

001 1

001 L

- C

-

Verifica 1

A A

-

Svolgi D I

deve essere

=

: . =

Vettoriali

Vettori Spazi Sottospati

, ,

Spazio Vettoriale

È Assioni 2)

no

che Somma Prodotto

1)

dotato operazioni

insieme per

di verificano scalare

2

un :

V

Def insieme elementi

da diamati dotati

vroto operazioni

di

composto Vettori 2

,

non

: ,

.

1 1) V

vettori

SOMMA E

V

v +

:

m m

,

2) RVer

Ve KER

Prodotto PER SCARE e

n :

e (e wet)

↑ proprietà

queste

vettoriale verificate

REALE

spazio se v

sono :

uno , ,

(n

1) (V

r) w)

m +

+ +

w =

+

1)n V V + m

+ = fret

Ott

111) Esiste +.

nullo v

vettore o

+

V

c =

.

freW

Iv) V)

7 (

+. 0

v

V +

-V v + =

=

c -

-

.

, fret Esempi

v) IV vettoriali

r di spazi ·

=

h(kv)

v1) (hk) (MXn) l'insieme

Mat

Ak htRevet delle

.

= ·

, ,

matrici e uno

mxn ;

(h

Vil) fk htRevet

hv

x)v verifica

perché

spazio vettoriale

kv

+ +

= , 1)

gli VIII)

assioni e

h(m hr ret

VII) hERew

V) he

+ +

= dei

, RV l'insieme vettori

· ,

colana ad entrate

n

Queste proprietà dette dello vettoriale

spazio

assioni

sono -

- hanno

Entrambi 10 0

gle spazi

E LINEAre

Indipendenza

DIPENDENZA

Combinazione (Infare

· è

W

Dati combinat

detto

Vettori

1 Ve E

Ur arVm

azVz +o +

AnVe +

D

, . .,

. . lineare

R

scalari

k

e E

an

al ...,

, x2

3x3 Pc(x)

Es R[x]

dei Pe(x)

vettoriale no Sx

polinomi 2

Spazio x +

e

+

. =

= -

↳ 12x3

3x2

(

PP2(t)

Pe(t) se p +

t 3

con

+ = = -

=

E

Def I

a) esiste

rettori dicono Dipendenti

Ve

V LInfarmente se una

Si

· ...,

,

combinate linede +. c Lo

. pr 0

ave + =

. . .

b) E

I rettori esiste

dicono

Ve

V LInfarmente indipendenti non

si se

...

alcuna linere

di

relazione dipudenza

I è

lineamente almeno altri

dipendenti

vettori degli

combin

Va di essi

a sono

Ve uo

se

..., .

, è

Se dei lin dipendenti

nullo allora

↑ vettori vi

Va sono

uno , ..,

, .

linearmente proporzionali

Ido

Due tra.

dipendenti

vettori En seno

↑ sono

↳ (G)

(3)

Ra t sono

Va

Ve va ave

sono lineArm Dipendenti

prop

In = =

c

=

↳. .

, . .

Per dei

Criterio costruire

Vettori

stabilere indipendenti

sono

se posso

Rango

del c)

(

Sistema cmogeneo studione il

Un e rage

=

Sia A vettori

vettori colonna

nx alloa

K

una riga

con e

i le :

;

, I Se è

ruA riga

A

Vettori colonna indipendenti se k vettori

alloa

hxw

sono

· ; n

=

indipendenti dett

rKA

vettori se colonna ind fo

Se

sono

sco

riga

· n

= .

GENERATORI i vettori ↓

generatori vettoriale

dello

Ve spazio

Va Se

: sono

.. " , linede

combinazione

scritto

t pro

vettore di di

essere

ogni come

↳ VR

Ve ...,

, finito

finitamente

dica insieme

generato generatori

ammette

si di

se un

Es es(e)

er(d) Len Rh

. l'insieme

ent è

=D di

generatori

dei

; j (2) y(2)

(f)

(E)

Infatti scriverso

il generice

vettore +

+

one

posso =

Nel RV i

generale vettori detti quanto

in

BASE CANONICA

sono

en

caso generano

,

,

tutto vettoriale la

tutte poi

spazio ad 1

il nulle

nomo

mio e comparenti e una

Poiche infatti esen

I en L'insieme

Rue dei generator

-

finitamente finito

è

Cu e

..., te e

basi

guerato canonica

so

Prop propriete

ad cambiae

insieme

aggiunge le

senza

vettori

=n sue

& posso un !

BASE finito tutti

insieme tra

lineamente loo

generatori

di indipendenti

: un , R"

RV base

Es rettori

1) base sono indip

della di in

anche grade

canonica

: .

1 ,

v(5)

↳ (2) (2) R3

Rs

! base perché

di

generano

es es

ma sono

mar non ,

,

,

22e

V 322

+

=

(2) (2) R R3

base

!

2) indip di

Ma

es garao sono

es non

n

sos =

ne

.

,

Ogni t almeno

Th ammette base

n o una

=

·

Teorema Cardinalita' 1) hanno lo

Basi dello stesso

: spazio

di sempre stessa

l

M cardinalita

elementi Stella

di ovvero

numero ,

la di

dimensione spazio

uno V ha base

finita ha

e codinalità

vettoriale dimensione

la

DEF spazio se

2)

per una con

elementi

base detto

tale

di

ossia

qualsiasi finito

di ; e

numero

una numero

, E

no DIMENSIONE

elementi di

il di

suo

Sia più

V a indipendenti

vettori

esistono

spazio di

non un

vettoriale di allora : b) V

vettori

dati

dimensione l Ran generare

posso

n new

con

; , (formaro

anche base)

c) vettori lineamente indipendenti generatori

sono una

n

Coordinate Vettore Una Base

Un Rispetto Ad

di [Ve &

Fissando I della

base base ordinati

vettori

di i

se sono

Un Ve vi

una es

:...; .

,

,

indicheremo tende base

è

base

la che

prentesi diremo ORDINATA

delle e una

con I

Prendendo ret ceefficienti

rettore anVn

v +...

deve univocam

+

wo an

un = .

determinati cordinate base

dette r

di alla

rispetto

sono

> Eser

Le coordinate del Ve(5) (3)

Vetture vengono

v Dati eve

:

tramite

espresse colonna

vettre

un e

Rh bas

che

Dim

di formano

vee ve una

. R2

in +

x

(3x

- y a

=

/5) S

R

in

ogni V

siscrive

retore 20n

come Xve + :

v = =

+ y

A) ) Per Cramer (Veiva) base

e di

Sol

ammette

A fo

det quindi

1 .,

)

%

w( (Veival

2) scrivi coordinate

le rispetto

di a X()

le che corrispada

Xve proprio

coordinate di

W u

+ yvz saranno

un

= ,

al sistema L Se

Sew

↳ -eve

Sa = =

:

SottoSPAZI

Si t le

E verificate

definisce seguenti

Vettoriale

sottospazio Se

di propri

spazio

Ino sono

2) nullo E

vettore e #

2) E

F allora ve

VIm +

e

- Il è chiuso

sottospazio rispetto

, sommar e

a

C scalare

prodotto

3) per

KutE

KtReveE alloa

Le , I l'anch'esso

Ogni

& sottospazio spazio

di vettoriale

uno spazio uno (m

Sia

Es linere

So

l'insi