Teoria geometria

TEOREMA DI KRONECKER

Se A è una matrice m×m, allora:

rang(A) = r ⇔ &exists; un minore di ordine r, Hr, con det(Hr) ≠ 0     Tutti gli eletti di Hr hanno det = 0

COMPLEMENTO ALGEBRICO

Si dice complemento algebrico di a_ij il determinante della matricedi ordine m-1 che si ottiene da A eliminando la i-esima rigae la j-esima colonna, preso con segno + o - a seconda che i+jsia dispari o pari.

MINORE DI ORDINE R

Sia A di tipo m×n, sia r ≤ m, r ≤ n, si dice minore di ordine r ogni matrice astratta da A ottenuta prelevando gli elementi comuni ad r righe e ad r colonne di A.

RANGO

Si dice rango di A l'ordine massimo di un minore astratto con det ≠ 0. Ovvero, ∃ un minore di oli ordine r con det ≠ 0  Tutti i minori di ordine r+1 hanno det = 0

ORCATO

Si dice orcato di M ogni sottomatrice di ordine r+1 ottenutasovrapponendo M con una riga e una colonna di A non appartenentenè ad M.

TEOREMA DI CRAMER

Un sistema di equazioni lineari con m×n ammette una solasoluzione se e solo se det(A) ≠ 0. Tale soluzione k₁, k₂, ..., k_n si ottienenel modo seguente:

k_i = ^det(A_i)⁄_det(A)  per i=1,...,n

det(A_i) è il det della matrice ottenuta da A sostituendo la i-esima colonna con quella dei termini noti.

TEOREMA DI ROUCHES-

Un sistema lineare di m equazioni in m incognite ècompatibile (ammette soluzioni) se e solo se rang(A) = rang(A,B)

GRUPPO

G(+, *) si dice gruppo se è un insieme con un'operazione interna, che indichiamo con *, e che soddisfa le seguenti proprietà:

• a*(b*c) = (a*b)*c   ∀a,b,c ∃ G   associatività
• ∃ e ∃ G, a*e = e*a = a   vale ∃   esistenza dell'elemento neutro
• ∃ α ∃ G, a*α = α*a = α  vale ∃   esistenza del reciproco

GRUPPO ABELIANO

G(+, *) si dice gruppo abeliano se vale anche la seguente proprietà:

a*b = b*a   commutativa

CAMPO

G si dice campo se è un insieme in cui sono definite 2 operazioni, che indichiamo con "+" e "*", tali che:

1. (G,+) è gruppo abeliano con elemento neutro ε
2. (G-{ε},*) gruppo abeliano
3. ∀a,b,c appaiamento distributivo rispetto alla a(b+c) = a*b + a*c

Teorema di Kronecker

Se A è una matrice m x m, allora:

rang (A) = r <=> ∃ un minore di ordine r, Hr, con det(Hr) ≠ 0

Tutti gli elenenti di Hr hanno det = 0

Complementi Algebrici

Si dice complemento algebrico di a_ij il determinante della matrice di ordine m - 1 che si ottiene da A eliminando la i-esima riga e la j-esima colonna, preso con segno + o - a seconda che i+j sia pari o dispari.

Minore di Ordine r

Sia A di tipo m x n, sia r ≤ m. r ≤ n si dice minore di ordine r ogni matrice esatta da A ottenuta prelevando gli elementi comuni ad r righe e r colonne di A.

Rango

Si dice rango di A l'ordine massimo di un minore estratto con det ≠ 0, ovvero ∃ un minore di ordini t con det ≠ 0

Tutti i minori di ordine t + 1 hanno det = 0

Orcato

Si dice orlato di M ogni sottomatrice di ordine t + 1 ottenuta aggiungendo a M con una riga e una colonna di A non appartenente al M.

Teorema di Cramer

Un sistema di equazioni lineari con m = n ammette una sola soluzione x se e solo se det(A) ≠ 0. Tale soluzione k₁, k₂, ..., k_n si ottiene nel modo seguente: k_i = (K_i) / det(A) con i = 1, 2, ..., n

K_i di det della matrice attenta da A sostenendo la i-esima colonna con quella dei termini noti

Teorema di Rouché-Capelli

Un sistema lineare di m equazioni in m incognite compatibile (ammette soluzioni) e solo se rang(A) = rang(A, B)

Gruppo

G(+) si dice gruppo se e un insieme con un'operazione interna, che indichiamo con (+) e che soddisfi le seguenti proprietà:

1. (a + b) + c = a + (b + c); ∀a, b, c
   • associativa
2. ∃e ∈ G, a + e = e + a = a
   • Esisteza dell'elemento neutro
3. ∃a' ∈ G, a + (a') = e
   • Esistenza del reciproco

Gruppo Abeliano

G(+) si dice gruppo abeliano o vale anche la seguente proprietà:

1. a + b = b + a
   • commutativa

Campo

G si dice campo se è un insieme in cui sono definite 2 operazioni che indichiamo con (+) e (*), tali che:

1. (G, +) è un gruppo abeliano con l'elemento neutro e
2. (G*, *) è un gruppo abeliano
   • gruppo abeliano
3. Le due leggi son oppiamente distributive rispetto alla
   • a (b+c)=a*b+a*c

SPAZIO VETTORIALE

In uno spazio