Teoria geometria

Teorema di Kronecker

Se A è una matrice m × m, allora:

rang (A) = r ↔

• 1) Un minore di ordine r, det(M_r) ≠ 0
• 2) Tutti gli alzati di M_r hanno det = 0

Complementi Algebrici

Si dice complemento algebrico di a_i,j il determinante della matrice di ordine m-1 che si ottiene da A eliminando la i-esima riga e la j-esima colonna, preso con segno + o - a seconda che i+j sia pari o dispari.

Minore di Ordine r

Sia A di tipo m×n, con r ≤ m, r ≤ n. Si dice minore di ordine r un qualunque sottoinsieme di A ottenuto prelevando gli elementi comuni a r righe e r colonne di A.

Rango

Si dice rango di A l'ordine massimo di un minore estratto con det ≠ 0, ovvero: un minore di tale ordine r con det ≠ 0.

Tutti i minori di ordine r+1 hanno det = 0.

Orlato

Si dice orlato di M ogni sottomatrice di ordine r+1 ottenuta completando M con una riga e una colonna di A in cui non appare interamente dal M.

Teorema di Cramer

Un sistema di equazioni lineari con m=n ammette una sola soluzione se e solo se det(A)≠ 0. Tale soluzione k₁, k₂,..., k_n si ottiene nel modo seguente: k_i = (det(A_i)) / (det(A)) dove A_i è la matrice ottenuta da A sostituendo la i-esima colonna con quella dei termini noti.

Teorema di Rouché-Capelli

Un sistema lineare di m equazioni in n incognite è compatibile (ammette soluzioni) se e solo se rang(A) = rang(A,B).

Gruppo

G(^*) si dice gruppo se è un insieme con un'operazione interna, che indichiamo con x ^◊ y, che soddisfi le seguenti proprietà:

• 1. ∀a,b,c ∈ G:: (a^◊ b)^◊ c = a^◊ (b^◊ c) Associatività
• 2. ∃ e ∈ G, a ^◊ e = a ∀ a ∈ G Esistenza dell'elemento neutro
• 3. ∃ a^-1 ∈ G, a^◊ a^-1 = e ∀ a ∈ G Esistenza del reciproco

Gruppo Abeliano

G(^*) si dice gruppo abeliano se vale anche la seguente proprietà:

• 4. a^◊b = b^◊a Commutativa

Campo

G1, G2 si dice campo se è un insieme in cui sono definite 2 operazioni che indichiamo con + e * tali che

• 1. (G₁, +) gruppo abeliano con elemento neutro e
• 2. (G₂, *) gruppo abeliano
• 3. La legge * è sopponientemente distributiva rispetto alla +: a*(b+c) = a*b + a*c

Spazio Vettoriale

V = R^n, v ≠ ∅ è un insieme in cui sono definite due operazioni: 1) Addizione: ad ogni coppia di elementi v1 e v2 ∈ V associa uno ed un solo elemento di V denotato v1 + v2.

2) Moltiplicazione per uno scalare: ad ogni numero reale α e ad ogni elemento v ∈ V associa uno ed un solo elemento αv ∈ V _α⋅v ∈ V.

Sono verificate le seguenti proprietà per l'addizione: ∀u,v,w ∈ V

• (u + v) + w = u + (v + w) associativa
• ∃ 0 ∈ V tale che v + 0 = v, 0 + v = 0 identità
• ∀v ∃ -v tale che v + (-v) = 0 inverso
• u + v = v + u commutativa

Per la moltiplicazione per uno scalare: ∀v ∀w ∈ V, ∀α,β ∈ R:

• 1 ⋅ v = v
• α(v + w) = αv + αw
• (α + β)v = αv + βv
• αv ∈ V

Per la moltiplicazione per uno scalare: 5) Nv ∈ V

Proposizione:

OA + OB = O(A+B)

Se A(a1, a2), B(b1, b2), allora AB = OA + OB = OC con C(c1,c2)

c1 = a1 + b1

c2 = a2 + b2

Dimostrazione

OA + OB = OC

Proposizione:

kOA = O(kA)

Se A(a1, a2), u = OA, k ∈ R e ku = kOA = OA con Q(q1,q2)

q1 = ka1

q2 = ka2

Dimostrazione

^k⋅OA/_OA = ^k⋅a1/_a1 = ^q1/_{a1 = a2}

Fatte anche analogamente per angoli uguali

Classi di equivalenza

Effettuiamo in V una ripartizione in sottoinsiemi i cui elementi sono vettori applicati equivalenti tra loro...

Proposizione:

[AB] = [OP] ⇒ E P = B+A

Dimostrazione

P = B+A

Proposizione:

Se [AB] è equipollente a [CD] allora B-A = D-C

Dimostrazione

Costruisco un unico vettore OP equipollente sia ad AB che a CD...

Proposizione

Se V è uno spazio vettoriale con dimV=n ed S è un sottospazio vettoriale di V, allora:

• dimS ≤ dimV
• Se dimS = n allora S = V

Dimostrazione

Sia V uno spazio vettoriale con dimV=n, se v₁,...,v_n sono l.i. in V allora essi sono anche generatori di V

Proposizione

Se V è uno spazio vettoriale con dimV=n, se v₁,...,v_n sono l.i. in V allora essi sono anche base di V.

Proposizione

Sia V uno spazio vettoriale con dimV=m, se v₁,...,v_n sono generatori di V allora essi sono anche l.i. in V.

Dimostrazione

Se v₁,...,v_n sono generatori allora essi sono anche l.i. Infatti se fossero l.d. ne potremmo eliminare uno aumentando il numero degli elementi senza che i rimanenti non siano generatori di V. In numero n'