Geometria 1

TEOREMA DI ROUCHÉ-CAPELLI

Teorema fondamentale dell'algebra lineare

Osservazione: Se il rango di una matrice A è p, allora il sistema ammette infinite soluzioni dipendenti da (n-p) parametri liberi (scelti arbitrariamente).

Numero di soluzioni nel caso di un sistema compatibile è cioè infinite soluzioni dipendenti da (n-p) parametri. Se p = n allora il sistema ammette un'unica soluzione.

Esempio:

{2x - 7y + 3z = 4

2x - 2y + 3z + 24 = 42

3x - 12y = 5}

Compatibilità del sistema:

Il rango di A = 3

Il rango di [A | b] = 3

Quindi il sistema è compatibile e ammette una soluzione.

Esempio:

{2x - 4y + 3z = 4

3x - 2y + 4z = 5}

Compatibilità e numero di soluzioni:

Il rango di A = 2

Il rango di [A | b] = 2

Quindi il sistema è compatibile e ammette infinite soluzioni.

Il determinante di A = -1

Quindi il sistema è indeterminato perché il determinante è diverso da zero.

-24Poichè 1%-10/1=0 ( ) 2>AlbzgUtilizzo i minori orlati e considero le due matrici2 -14-13 2 /§ -31 } :L )/ -113LA ' / 31-11=0-102=0 =11-1=1 O 3 =1= -53 -2-243 ( b)A / =L2g=DPertanto essendo rgA = rg(A|b) il sistema è compatibile e ammette ∞ soluzioni, cioè ∞ soluzioni1-che dipendono da 1 parametro che può essere scelto arbitrariamenteLezione 9.34 9-12-2021SISTEMI LINEARI E TEORIA SPETTRALESistema lineare di m equazioni in n incognite¢1 0h1min✗ beistata ✗ z t + =.. - Ax = b[21×11-042×2 0h2min+ + bz.. . =Ami OLMNXNXnt Ama bm✗ zt + =. .. }1. compatibilità del sistema teorema di Rouché-Capelli2. n° di soluzioni rgA = rg(A|b) = p Pcon -3. calcolo esplicitoTEOREMA DI CRAMERSia Ax = b un sistema lineare di n equazioni in n incognite A e sia detA ≠ 0. Allora esiste( )NUR )Eun'unica soluzione di Ax = b data da dove ""A( )✗✗✗ ✗ ti= ✗ 1n i21 = n=...,, , IAI , . .. .Dove

È la matrice che si ottiene sostituendo l'i-esima colonna di A con la colonna dei termini noti"

Esempio: Studiare la compatibilità e determinare le eventuali soluzioni del seguente sistema lineare:

2x + 4y + 22z = 3

3x + 4y + 52z = 1

3x - y = 2

Il sistema è compatibile poiché rgA = rg(A|b) = 3. Il sistema ammette un'unica soluzione data da (x, y, z) dove:

x = -1

y = 1

z = 0

L'unica soluzione del sistema è (-1, 1, 0).

Esempio 1:

2x + 4y + 22z = 3

3x + 2y + 12z = 2

1x - y + 5z = -1

Il sistema è compatibile poiché rgA = rg(A|b) = 3. Il sistema ammette un'unica soluzione data da:

x = -5

y = 2

z = 7

L'unica soluzione del sistema è (-5, 2, 7).

L'orlato ha la stessa proprietà di A e ha det = 0, per cui rg(A|b) = 2.

Il criterio

equivalenti se hanno lo stesso insieme di soluzioni

Si fa in modo che la seconda sia una matrice triangolare

Ibi IbiUn Cliz Chi UnClic Cliz Chi Clic} ], ,bzClzzclzUzi bz matrice!Clay Clzzclz !Clay0 scalinioXD a} }! "b. :bCl ChrisUssi Clash Chris Clash0 O32 3 3/Esempio 2×+4+22=3✗ +57=1| - Y✗ + o=21 :32 12 :321 2:32Irap 23=232 21 :3223=23+122223=23 }( }-b)A -1/ 5 1o= -1-1 5 15 1 oo 2-! =:, -1 5 ], 00312-312-1 -142 00 011 O ; -40 1O }:#12 :32 z 0O %° "I '2 0 I'21=1221" O13!21=22 } 21=222=22-523 > -220§to '/' ' }-13- ✗. = -13+1 p- 3130 =,o ; '% +1 0' +1 i,o p O; } +1 i oO0 } ---43 !0 ;1 -430 -430 10 0-4 100 1O }TEORIA SPETTRALE: AUTOVALORI E AUTOVETTORIASia V uno spazio vettoriale sul campo K e consideriamo un endomorfismo f o:DefinizioneUno scalare è detto di f se esisteautovalore f- ✗IK✗ { } (1)(E.c- ✗ )=/✗ )o C (E X× =.,In tal caso x si dice di f associato all'autovaloreautovettore

Osservazione: la relazione (1) non è significativa nel caso x = 0

Osservazione: se x = 0 gli autovalore di f relativi a 0 sono gli elementi del nucleo

Osservazione: sia x un autovettore di f allora span{x} è l'insieme di tutte le combinazioni lineari del vettore x, quindi span{x}={ }

Osservazione: IK× c-: V ✓sia allora f( ) Infatti ✗{/ } } ✗ 1KNv c- × c-×vespan spari ✗= spank} spariti}f}Spankfin f- ✗ °) XMX( ✗ fa) ) E== × =linearecioè f- ad ✗relativociutovaloze diflspan }{ {} ) Span ×C×AUTOSPAZIODefinizioneSia autovalore di f. Definiamo }✗ :{ V ✗faiV1 ) ) ✗ c- : ×=Detto autospazio di f relativo all'autovalore ☒

Osservazione: si prova che è un sottospazio vettoriale di V (nota che il vettore nullo appartiene1"a e non potendo ridursi al solo vettore nullo (perché è autovalore di f), risultaIN ✗dim )V11 1>tale dimensione è detta molteplicità geometrica

di ☒Osservazione: ✗ fafa ✗ 0)V17 < > ))✗ <c- ✗ => ✗= == - Kerff )( ✗f- / ✗ Id)(Id :O c-✗<×>⇐ -pertanto fissilascia elementigli'identitaId)Kezflf(1) ✗ Id -✓ = ,-ProposizioneSe sono autovalori distinti di f e sono autovettori di f relativi agli autovalori✗ Xp✗ ✗ ✗ Xp21 2 1 . . .. . . , , , ,, , allora i vettori sono linearmente indipendenti. Ne segue che✗ Xp✗ ✗ ✗ Xp1 2 21. . . , . . ., , , , , { ti Xj}Vliilnvllj / o se #=POLINOMIO CARATTERISTICOSia si definisce polinomio caratteristico di A il polinomioMnllk ✗1- detta) )Id)c- Paix -Esempio § -211- = (1-7)-(2-7)=12-3×+2)