Formulario e Appunti completi per l'esame di Analisi II e analisi vettoriale

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P∈t [a, b] ` 0Oppure usa le coordinate polari e falla diventare :f (ρ, θ)dovrai sempre maggiorare con una funzione chebZ Z |f −(ρ, θ) `|p0 0 02 2||r x (t) + y (t) dt` = (t)||dt = dipenda solo dal raggio .h(ρ)abZ Se e se(se è un graco di funzione )p |f −(ρ, θ) `| < h(ρ) lim h(ρ) = 00 2` = 1 + [f (x)] dx r f (x) ρ→0a θZ 2 ⇒ lim f (x, y) = `(se è della forma )p 022ρ (θ) + ρ (θ) dθ r ρ = f (θ)` = →PP 0θ 1 Relazioni utili:Data una curva , si ha che essa è:r(t) 2xREGOLARE: Se ;ˆ 1 2∈ 2r C ≤≤ 1sin θ + ρ cos θ = ρ sin θ, cos θ 1Bρ B B 2 2x + ySe ;CHIUSA:ˆ r(a) = r(b) Se è dicile trovare una funzione che maggiori ,|f −h `|SEMPLICE: Se ; fai prima l'andamento per e poi la maggiorazione.ˆ ⇐⇒ →r(t ) = r(t ) t = t ρ 01 2 1 2RETTIFICABILE: Seˆ ∞sup `(r) <

2 22 2t∈[a,b] ln(1 + ρ sin θ) ρ sin θ−−−→ ≤ −−−→ES. = ρ| sin θ| ρ 0ρ sin θ ρ sin θρ→0 ρ→0DOMINIO IN 2 VARIABILI: |{z}h(ρ)(In questo esempio )Se devo disegnare il dominio di , sarà l'area di una gura ` = 0f (x, y)geometrica o di una conica nel piano cartesiano x-y. se la restrizione per rette è tediosa,ATTENZIONE:1. se 2 sfrutta la restrizione per gli assi ( o ), rendendo{(x, ∈f = ln(g(x, y)) D := y) ; g(x, y) > 0}R x = x y = y0 0il limite a una variabile sola.2. se p 2{(x, ∈ ≥f = g(x, y) D := y) ; g(x, y) 0}R DERIVABILITA':13. se 2{(x, ∈ 6f = D := y) ; g(x, y) = 0}Rg(x, y) Parziale: si ottiene derivando in una sola delle variabili di ,ˆ fSe le condizioni del dominio portano a scrivere trattando le altre come costanti.y > h(x)o , dovrò disegnare la funzione e prendere l'areay < h(x) h

−∂f f (x + h, y ) f (x , y )sopra o sotto ad . 0 0 0 0h = lim∂x h

Se le condizioni del dominio portano a scrivere h→0conica o conica dovrò disegnare la gura> 0 < 0 −∂f f (x , y + h) f (x , y )0 0 0 0(circonferenza, ellisse, ecc..) e prendere l'area esterna o interna = lim∂y hh→0alla gura.

Direzionale: si ottiene derivando lungo una direzione indica-ˆ ta dal vettore :~v = (v , v )normalizzato 1 2−∂f f (x + hv , y + hv ) f (x , y )0 1 0 2 0 0= lim∂~v hh→0

Proprietà: ~v1. Normalizza sempre , usando poi il vettore~v û = ||~v ||2. Le derivate parziali sono derivate direzionali lungo ledirezioni (1,0) e (0,1)3. Se è dierenziabile, allora la derivata direzionata vale:la curva (frontiera del dominio) va fATTENZIONE:disegnata continua se le disequazioni sono o (insieme≤ ≥ ∂fchiuso). Se c'è o va disegnata tratteggiata (aperto). ~∇f ·> < = ~v = f v + f vx 1 y

Il Dominio di è l'intersezione dei Dominii di .

DIFFERENZIABILITÀ: F F , F , F1 2 3

Un campo Vettoriale è conservativo se esiste una funzione dierenziabile in se è continua in quel puntof (x, y) (x , y ) scalare , detta potenzialepotenziale, le cui derivate parziali0 0 U (x, y, z)e se esistono le derivate direzionali .∀ ~v sono le componenti di .

Per verificare se è dierenziabile ci sono due modi:

1. Verificare che e esistono in e sono continue (devi ∂U ∂U ∂Uf f (x , y ) ~ ~∇U ⇒x y 0 0 = F = F = FF = 1 2 3fare i limiti e vedere che valgono e ) ∂x ∂y ∂zf (x , y ) f (x , y )x 0 0 y 0 0 Vedere se un campo è conservativo:

2. Verificare che e esistono, che valgono e e che:f f a bx y 1. il Dominio è semplicemente connesso (senza buchi);− − −f (x + h, y + k) f (x , y ) ah bk0 0 0 0√ =0lim 2. il campo è irrotazionale ( ), ovvero:~ ~ ~∇ ×2 2

F = 0h + k(h,k) → (0,0)

Se è differenziabile, è possibile scrivere l'equazione del ∂F/∂Ff ji ∀ 6= i = jpiano tangente a in : ∂x/∂xf (x , y ) j i0 0 − −z = f (x , y ) + f (x , y )(x x ) + f (x , y )(y y )

TROVARE IL POTENZIALE:

0 0 x 0 0 0 y 0 0 0 2 variabili: dato un campoˆ ~TAYLOR IN DUE VARIABILI: F = (F , F )1 2 U (x,y)

Una qualsiasi funzione continua in puòf (x, y) (x , y ) Z0 0 1. integra una delle variabili: }| {zessere scritta, nell'intorno di quel punto, come un polinomio. u(x, y) + c(y)F dx =1

Lo sviluppo di Taylor no al secondo ordine è: Z(oppure )F dy = u(x, y) + c(x)2− −f (x, y) = f (x , y ) + f (x , y )(x x ) + f (x , y )(y y ) 2. trova usando l'altra uguaglianza tra e :0 0 x 0 0 0 y 0 0 0 c(x)/c(y) U F 21 2 2− −f (x , y )(x x ) + f (x , y )(y y )+ xx 0 0 0 yy 0 0 0 d(u + c) du(x, y)2 0 −→ (y) = F (x, y)= F c 22 dy dy− −+2f (x , y )(x x )(y y )xy

0 0 0 0 Z  02 2− − ⇒+o (x x ) + (y y ) c(y) = c (y)dyo 0 se non ti viene dipendente da una
In forma più compatta: 0c
ATTENZIONE:sola variabile ( o ), ma da 2, hai sbagliato i conti.
x y1  ~ T 3. Unisci i pezzi e trovi :≈ ∇f · − − −f (~r ) f (~r ) + (~r ) (~r ~r ) + (~r ~r ) H (~r ~r ) U
20 0 0 0 0
R2 U (x, y) = u(x, y) + c(y) + k
TEOREMA DI DINI:
2 variabili: Data una funzione , continua in un puntoˆ 3 variabili: dato un campoˆ ~f (x, y) F = (F , F , F )1 2 3, se si verica che e che ,
6(x , y ) f (x , y ) = 0 f (x , y ) = 0
0 0 0 0 y 0 0
allora è possibile scrivere, nell'intorno di , una fun- U (x,y,z)(x , y )0 0 Z
zione di una sola variabile . 1. integra una delle variabili: }| {z
y(x) F dx = u(x, y, z) + c(y, z)1
Di questa funzione non sappiamo la formula esplicita, ma Z
sappiamo che: (oppure )
F dy = u(x, y, z) + c(x, z)2
f (x , y )x 0 0
0 − Zy(x ) = y y (x ) =B B (oppure )
0 0 0 F dz = u(x, y, z) + c(x, y)
f (x , y ) 3y

0 0 2. trova usando l'altra uguaglianza:Applicazioni: c(y, z)/c(x, y)/c(x, z)2 2−f f 2f f f + f f d(U + c) ∂c(y, z) dU (x, y, z)a xy x y yyxx

1. Derivata : y x00 ⇒ −− = F = F (x, y, z)2 y (x ) = 2 20 3 dy ∂y dyfy

2. Taylor: Z0 00 ∂c(y, z)2−≈ − y (x )(x x )y(x) y + y (x )(x x ) +0 0 0 0 0 ⇒ c(y, z) = dy + h(z)2 ∂y

3. Retta tangente a : 3. trova usando l'altra uguaglianza:0− −y y y = y (x )(x x ) h(z)/h(y)/h(x)0 0 0

3 variabili: Data una funzione , continua in un pun-ˆ f (x, y, z) d(U + c + h)to , se si verica che e che = F(x , y , z ) f (x , y , z ) = 0 3dz0 0 0 0 0 0, allora è possibile scrivere, nell'intorno di6f (x , y , z ) = 0z 0 0 0, una funzione di 2 variabili . d(U (x, y, z) + c(x, y))(x , y , z ) z(x, y) 0⇒ −0 0 0 h (z) = F (x, y, z)1Di questa funzione non sappiamo la formula esplicita, ma dzsappiamo che: Z 0⇒ h(z) = h (z)dz, y ) = zBz(x 0 0 0 f (x , y , z ) f (x,

y , z ) 4. Unisci i pezzi e trovi :x 0 0 0 y 0 0 0− −(x , y ) = (x , y ) =Bz Bz Ux 0 0 y 0 0f (x , y , z ) f (x , y , z )z 0 0 0 z 0 0 0 U (x, y) = u(x, y, z) + c(y, z) + h(z) + k

CAMPI VETTORIALI: INTEGRALI CURVILINEI:

Un campo vettoriale è un vettore le cui componenti sonoˆ nfunzioni di variabili.n Sono integrali svolti lungo una curva regolare ,2∈r Rparametrizzata nella variabile .~ ~ ≡F F (x, y, z) = F (x, y, z), F (x, y, z), F (x, y, z) t1 2 3

Prima Specie: per funzioniˆ Se , il metodo dell'Hessiano è inconcludente e siˆb det(H) = 0Z Z p 02 02||d~s|| x (t) + y (t) dtf = f (x(t), y(t)) prosegue col seguente metodo:γ a 1. Calcolo di ≡f (x , y ) c0 01. Trova l'equazione della curva ;r = (x(t), y(t), z(t)) 2. Studio del segno di e disegno in un¯ ≡ −f (x, y) f (x, y) c2. Calcola le derivate parziali; graco x-y3. Calcola la norma del vettore dato dalle derivate. 3. Se è totalmente in una regione in cui

è positiva, è¯(x , y ) f0 0un punto di . Se è negativa, è un punto di .minimo massimoSeconda Specie (detto lavoro ): per campi vettorialiˆ L Se è esattamente sulla frontiera, a metà tra area positiva eab negativa, è un punto di .sellabZ Z ~ 0 0·F d~s = F (x(t), y(t))x (t) + F (x(t), y(t))y (t) dt1 2γ aSe il campo è conservativo:Z denita in1. ~ · − ∀γ [a, b]F d~s = U (a) U (b)L =ab γI chiusa2. ~ ~ · ∀γΓ(F ) = F d~s = 0γSe non è conservativo ma è chiusa, ovvero è frontieraF γ ∂Ddi un dominio , usa Gauss-Green:D Z Z ZZ ∂F∂F2 1~ · ≡ −F d~s F dx + F dy = dxdy1 2 ∂x ∂y OTTIMIZZAZIONE VINCOLATA:∂D D∂D Data una funzione , per calcolarne i massimi e minimifla curva deve essere percorsa in verso vincolati (cioè lungo un dominio ) si procede conγATTENZIONE: 2⊂D Rantiorario.