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P
1. MRS < : =) il consumatore consuma solo il bene c =) abbiamo
n
P C I
una soluzione d’angolo: E (0; ):
p
C
P
2. MRS > : =) il consumatore dedica tempo solo a n =) abbiamo
n
P C I
una soluzione d’angolo: E ( ; 0)
p
n
P
3. MRS = : =) il consumatore è indi¤erente, tutti i panieri che
n
P C
soddisfanno il vincolo di bilancio vanno bene.
4
troviamo: C ; N ; L :
4.4 Il paniere di equilibrio della scelta tra consumo ed ore
dedicate al lavoro nel caso di beni perfetti comple-
menti
Nel caso dei perfetti complementi, il paniere di ottimo è dato dal punto di
intersezione tra la retta che congiunge i vertici e il vincolo di bilancio.
equazione del vincolo di bilancio
equazione retta passante per i vertici
4.5 Vincolo di bilancio intertemporale
Vogliamo trovare la combinazione di consumo presente e consumo futuro;
i = tasso di interesse; se il tasso è pari al 12%, i = 0,12.
Denaro = (1 + i) Denaro ;
t=1 t=0
I = reddito presente; I = reddito futuro;
0 1
C = consumo presente; C = consumo futuro;
0 1
vincolo intertemporale: I C
1 1
I + = C +
0 0
1+ i 1+ i
il vincolo impone che la somma del reddito presente e del reddito futuro sia
uguale alla somma del consumo presente e del consumo futuro.
il vincolo si scrive ricavando C in funzione di C : C = ::::;
1 0 1
pendenza = - (1 + i);
il vincolo si rappresenta nello spazio cartesiano con C sull’asse x e il
0
C sull’asse y, trovando le intercette.
1 > I =)
se C l’individuo è mutuatario; importo preso a prestito
0 0
I :
= C 0 0 5
4.6 Punto di equilibrio o di ottimo tra C e C
0 1
M U @U=@C
C 0
Nel caso di preferenze Cobb Douglas, calcoliamo MRS = =
0
M U @U=@C 1
C 1
e troviamo: C ; C impostando:
0 1 M RS = 1 + i
vincolo di bilancio intertemporale
: Per trovare l’equilibrio tra C e C nel caso di beni perfetti sostituti o
0 1
perfetti complementi, si procede in maniera analoga a quanto visto sopra.
4.7 O¤erta di lavoro straordinario (vedi soluzioni dell’esercizio
a pag 20 delle soluzioni dell’esercitazione 2)
cambia il vincolo di bilancio e quindi cambia la pendenza;
l’insieme dei panieri accessibili si amplia e la scelta ottima cambia.
6
Esercitatrice: P. De Micco
MICROECONOMIA - TERZA ESERCITAZIONE
TECNOLOGIA E PRODUZIONE
Breve periodo: almeno un fattore è …sso
Lungo periodo: tutti i fattori sono variabili
1 Preferenze Cobb-Douglas
Pro
1.1 dotto Marginale del Lavoro (MPL):
Consideriamo una funzione di produzione con due input L = lavoro, K =
capitale;
sostituiamo a K il valore che ci viene dato dall’esercizio;
calcoliamo la derivata parziale della funzione di produzione ottenuta rispetto
ad L: @F
MPL = @L
1.2 Prodotto Marginale del Capitale (MPK):
consideriamo una funzione di produzione con due input L = lavoro, K =
capitale;
sostituiamo a L il valore che ci viene dato dall’esercizio;
calcoliamo la derivata parziale della funzione di produzione ottenuta rispetto
ad K: @F
MPK = @K
1
1.3 MRTS
E’il rapporto al quale si può sostituire un fattore con un altro, mantenendo
invariata la produzione.
MP L
MRTS = MP K
1.4 Isocosto
w = costo del lavoro;
r = costo del capitale;
l’equazione dell’isocosto è: C = w L + r K;
sostituiamo i dati che abbiamo: C, w, r; C
w L + =)
per calcolare la pendenza ricaviamo K dall’isocosto: K = r r
w
:pendenza = ;
r
per rappresentare l’isocosto calcoliamo le intercette ponendo prima L = 0
e poi K = 0;
rappresentiamo l’isocosto nello spazio cartesiano mettendo L sull’asse x e
K sull’asse y.
1.5 Isoquanto
Rappresenta tutte le combinazioni di fattori che consentono di ottenere lo
stesso volume di produzione. E’l’analogo dellla curva di indi¤erenza per
il consumatore.
Per trovare l”isoquanto che corrisponde ad una certa quantità x, sostitu-
iamo x nella funzione di produzione. x
1.6 Trovare L e K per produrre una certa quantità,
Troviamo l’isoquanto che corrisponde ad x;
M P
calcoliamo MRTS = ;
L
K;L M P K
wr
M RT S =
F (L; K) = x
si ricavano L e K .
1.7 Trovare K necessario per produrre una certa quantità
x, avendo un certo input L
Sostituiamo x e L nella funzione di produzione e troviamo K.
2
1.8 Rendimenti di scala
se la somma degli esponenti della funzione di produzione è = 1 =)
rendimenti di scala costanti =) se entrambi gli input aumentano di ,
l’output aumenta di (es. per aumentare l’output del 10%, entrambi gli
input devono aumentare del 10%).
se la somma degli esponenti della funzione di produzione è > 1 =) rendi-
menti di scala crescenti =) se entrambi gli input aumentano di , l’output
aumenta più che proporzionalmente.
se la somma degli esponenti della funzione di produzione è < 1 =) rendi-
menti di scala decrescenti =) se entrambi gli input aumentano di ,
l’output aumenta meno di che proporzionalmente.
2 Perfetti sostituti
F(K, L) = bL + aK
2.1 MRTS M P b
= =) è costante;
MRTS = L
K;L M P a
K 1 sostituiamo 1 K con 3 L.
es: se MRTS =
K;L 3
2.2 Isoquanto
pendenza = - MRTS;
gli isoquanti sono rette parallele;
per trovare l’isoquanto che corrisponde ad una certa quantità x, sostitu-
iamo x nella funzione di produzione.
2.3 Isocosto
Vedi Cobb-Douglas; x
2.4 Trovare L e K per produrre una certa quantità,
3 casi: w
MRTS < =) uso solo K, soluzione d’angolo (0, K );
K;L r
w
MRTS = =) indi¤erente
K;L r
w
MRTS > =) uso solo L, soluzione d’angolo (L ; 0);
K;L r 3
2.5 Rendimenti di scala
Q ( L; K) = Q(L; K) =) costanti
3 Perfetti complementi
L K
F (L, K) = min ; = min fbL; aKg
a b
3.1 MRTS
MRTS = 1 lungo il tratto verticale degli isoquanti;
K;L = 0 lungo il tratto orizzontale degli isoquanti;
non de…nito nei punti angolosi.
3.2 Isocosto
vedi Cobb-Douglas
3.3 Isoquanti
Per rappresentare gli isoquanti si rappresenta la retta passante per i vertici
b L.
la cui equazione è K = a x
3.4 Trovare L e K per produrre una certa quantità,
equazione retta passante per i vertici
F (L; K) = x
si ricavano L e K .
3.5 Rendimenti di scala
Q ( L; K) = Q(L; K) =) costanti
4
Esercitatrice: P. De Micco.
MICROECONOMIA - QUARTA ESERCITAZIONE
Indichiamo con y l’output e con C (y) la funzione di costo;
@C(y)
MC = @y
C(y)
AC = y
M C < AC: quando si produce una unità in più, i costi medi diminuiscono;
M C > AC: quando si produce una unità in più, i costi medi aumentano;
M C = AC: è il punto di minimo della curva di costo medio.
1 L’IMPRESA PRICE TAKER E I MERCATI
CONCORRENZIALI
1.1 Funzione di o¤erta di breve periodo della singola im-
y
presa, s
p = M C =) da questa equazione ricaviamo y ; ad esempio otteniamo
s
imponiamo y 0 per trovare il p che rende y positiva o pari a zeroNB:
s s
p 1
es. se otteniamo y = ; scriviamo che la funzione di o¤erta della
20 2
singola impresa è:
p 1
- y = per p 10
20 2
- y = 0 per p < 10 ( se p < 10, y sarebbe negativo, quindi l’azienda non
produce).
1.2 Funzione di o¤erta di breve periodo del mercato,Y S
Indichiamo con n il numero delle imprese presenti nel mercato;
Y = y n;
S S 1 ; Y
; y ) di breve pe-
1.3 Prezzo e quantità di equilibrio (p s S
riodo e la loro rappresentazione gra…ca
Indichiamo con Y la funzione di domanda del mercato;
D
Se non abbiamo la funzione di domanda Y ma bensì la funzione di do-
D
manda inversa, dobbiamo prima ricavare Y :
D
Poniamo Y = Y =) da questa equazione ricaviamo p .
D S
Sostituiamo p in y per ottenere y :
s s
Sostituiamo y in Y per ottenere Y :
S
s S Y
per trovare y : y =
Ovviamente se abbiamo Y dove n = numero
S
s s
S n
imprese
Rappresentiamo Y e Y nello spazio cartesiano mettendo Y sull’asse x e
D S
p sull’asse y. Per rappresentarle calcoliamo come sempre le intercette. La
loro intersezione è il punto (Y , p ).
S
1.4 Pro…tto di breve periodo della singola impresa,
Indichiamo con T R i ricavi totali;
T R = p y s nella funzione di costo C(y);
Sostituiamo y s );
C(y
= TR C(y) = p y s
s
Ricordiamo che nel lungo periodo: = 0.
1.5 Surplus del consumatore (SC)
Si rappresenta nello spazio cartesiano Y e Y e il punto di equilibrio dato
D S
dalla loro intersezione;
SC è dato dall’area del triangolo compreso tra la curva di domanda e p .
2
z
1.6 Sussidio per ogni unità prodotta
cambia p , y , Y ; e SC.
s S
sussidio
C(y) = C(y) zy =) i costi diminuiscono;
Si procede come prima ma utilizzando la nuova funzione di costo determi-
nata dall’introduzione del sussidio:
- si calcola il nuovo M C =) p = M C =) da questa equazione ricaviamo
y ; Y = y n;
s S S
- per trovare l’equilibrio poniamo Y = Y ; troviamo i nuovi valori di p ,
S D
y , Y ;
s S
- calcoliamo il nuovo SC e vediamo che rispetto al caso senza sussidio
SC aumenta. Dunque c’è una variazione di surplus positiva =) SC
sussidio
= SC SC > 0.
1.7 Tassa per ogni unità prodotta
; e SC.
, Y
cambia p , y s S
C(y) = C(y)+ y =) i costi aumentano;
Si procede come prima ma utilizzando la nuova funzione di costo determi-
nata dall’introduzione della tassa:
- si calcola il nuovo M C =) p = M C =) da questa equazione ricaviamo
y ; Y = y n;
s S S
- per trovare l’equilibrio poniamo Y = Y ; troviamo i nuovi valori di p ,
S D
;
, Y
y s S
- calcoliamo il nuovo SC e vediamo che rispetto al caso senza tassa SC
diminuisce. Dunque c’è una variazione di surplus negativa =) SC =
SC SC < 0.
1.8 Tassa che ricade sull’o¤erta, prezzo pagato dai con-
sumatori e prezzo percepito dai produttori
Y non cambia; Y = Y =) ricaviamo p .
D S
S
Sostituiamo p in Y per ottenere Y :
S S
Il prezzo pagato dai consumatori è p
Il prezzo percepito dai produttori è p :
3
1.9 Gettito dell’imposta per il governo
Gettito = Y :
S
1.10 Variazione surplus in seguito all’introduzione di una
tassa e perdita netta
Con l’in