Microeconomia - Formulario

P

1. MRS < : =) il consumatore consuma solo il bene c =) abbiamo

n

P C I

una soluzione d’angolo: E (0; ):

p

C

P

2. MRS > : =) il consumatore dedica tempo solo a n =) abbiamo

n

P C I

una soluzione d’angolo: E ( ; 0)

p

n

P

3. MRS = : =) il consumatore è indi¤erente, tutti i panieri che

n

P C

soddisfanno il vincolo di bilancio vanno bene.

4

troviamo: C ; N ; L :

4.4 Il paniere di equilibrio della scelta tra consumo ed ore

dedicate al lavoro nel caso di beni perfetti comple-

menti

Nel caso dei perfetti complementi, il paniere di ottimo è dato dal punto di

intersezione tra la retta che congiunge i vertici e il vincolo di bilancio.

equazione del vincolo di bilancio

equazione retta passante per i vertici

4.5 Vincolo di bilancio intertemporale

Vogliamo trovare la combinazione di consumo presente e consumo futuro;

i = tasso di interesse; se il tasso è pari al 12%, i = 0,12.

Denaro = (1 + i) Denaro ;

t=1 t=0

I = reddito presente; I = reddito futuro;

0 1

C = consumo presente; C = consumo futuro;

0 1

vincolo intertemporale: I C

1 1

I + = C +

0 0

1+ i 1+ i

il vincolo impone che la somma del reddito presente e del reddito futuro sia

uguale alla somma del consumo presente e del consumo futuro.

il vincolo si scrive ricavando C in funzione di C : C = ::::;

1 0 1

pendenza = - (1 + i);

il vincolo si rappresenta nello spazio cartesiano con C sull’asse x e il

0

C sull’asse y, trovando le intercette.

1 > I =)

se C l’individuo è mutuatario; importo preso a prestito

0 0

I :

= C 0 0 5

4.6 Punto di equilibrio o di ottimo tra C e C

0 1

M U @U=@C

C 0

Nel caso di preferenze Cobb Douglas, calcoliamo MRS = =

0

M U @U=@C 1

C 1

e troviamo: C ; C impostando:

0 1 M RS = 1 + i

vincolo di bilancio intertemporale

: Per trovare l’equilibrio tra C e C nel caso di beni perfetti sostituti o

0 1

perfetti complementi, si procede in maniera analoga a quanto visto sopra.

4.7 O¤erta di lavoro straordinario (vedi soluzioni dell’esercizio

a pag 20 delle soluzioni dell’esercitazione 2)

cambia il vincolo di bilancio e quindi cambia la pendenza;

l’insieme dei panieri accessibili si amplia e la scelta ottima cambia.

6

Esercitatrice: P. De Micco

MICROECONOMIA - TERZA ESERCITAZIONE

TECNOLOGIA E PRODUZIONE

Breve periodo: almeno un fattore è …sso

Lungo periodo: tutti i fattori sono variabili

1 Preferenze Cobb-Douglas

Pro

1.1 dotto Marginale del Lavoro (MPL):

Consideriamo una funzione di produzione con due input L = lavoro, K =

capitale;

sostituiamo a K il valore che ci viene dato dall’esercizio;

calcoliamo la derivata parziale della funzione di produzione ottenuta rispetto

ad L: @F

MPL = @L

1.2 Prodotto Marginale del Capitale (MPK):

consideriamo una funzione di produzione con due input L = lavoro, K =

capitale;

sostituiamo a L il valore che ci viene dato dall’esercizio;

calcoliamo la derivata parziale della funzione di produzione ottenuta rispetto

ad K: @F

MPK = @K

1

1.3 MRTS

E’il rapporto al quale si può sostituire un fattore con un altro, mantenendo

invariata la produzione.

MP L

MRTS = MP K

1.4 Isocosto

w = costo del lavoro;

r = costo del capitale;

l’equazione dell’isocosto è: C = w L + r K;

sostituiamo i dati che abbiamo: C, w, r; C

w L + =)

per calcolare la pendenza ricaviamo K dall’isocosto: K = r r

w

:pendenza = ;

r

per rappresentare l’isocosto calcoliamo le intercette ponendo prima L = 0

e poi K = 0;

rappresentiamo l’isocosto nello spazio cartesiano mettendo L sull’asse x e

K sull’asse y.

1.5 Isoquanto

Rappresenta tutte le combinazioni di fattori che consentono di ottenere lo

stesso volume di produzione. E’l’analogo dellla curva di indi¤erenza per

il consumatore.

Per trovare l”isoquanto che corrisponde ad una certa quantità x, sostitu-

iamo x nella funzione di produzione. x

1.6 Trovare L e K per produrre una certa quantità,

Troviamo l’isoquanto che corrisponde ad x;

M P

calcoliamo MRTS = ;

L

K;L M P K

wr

M RT S =

F (L; K) = x

si ricavano L e K .

1.7 Trovare K necessario per produrre una certa quantità

x, avendo un certo input L

Sostituiamo x e L nella funzione di produzione e troviamo K.

2

1.8 Rendimenti di scala

se la somma degli esponenti della funzione di produzione è = 1 =)

rendimenti di scala costanti =) se entrambi gli input aumentano di ,

l’output aumenta di (es. per aumentare l’output del 10%, entrambi gli

input devono aumentare del 10%).

se la somma degli esponenti della funzione di produzione è > 1 =) rendi-

menti di scala crescenti =) se entrambi gli input aumentano di , l’output

aumenta più che proporzionalmente.

se la somma degli esponenti della funzione di produzione è < 1 =) rendi-

menti di scala decrescenti =) se entrambi gli input aumentano di ,

l’output aumenta meno di che proporzionalmente.

2 Perfetti sostituti

F(K, L) = bL + aK

2.1 MRTS M P b

= =) è costante;

MRTS = L

K;L M P a

K 1 sostituiamo 1 K con 3 L.

es: se MRTS =

K;L 3

2.2 Isoquanto

pendenza = - MRTS;

gli isoquanti sono rette parallele;

per trovare l’isoquanto che corrisponde ad una certa quantità x, sostitu-

iamo x nella funzione di produzione.

2.3 Isocosto

Vedi Cobb-Douglas; x

2.4 Trovare L e K per produrre una certa quantità,

3 casi: w

MRTS < =) uso solo K, soluzione d’angolo (0, K );

K;L r

w

MRTS = =) indi¤erente

K;L r

w

MRTS > =) uso solo L, soluzione d’angolo (L ; 0);

K;L r 3

2.5 Rendimenti di scala

Q ( L; K) = Q(L; K) =) costanti

3 Perfetti complementi

L K

F (L, K) = min ; = min fbL; aKg

a b

3.1 MRTS

MRTS = 1 lungo il tratto verticale degli isoquanti;

K;L = 0 lungo il tratto orizzontale degli isoquanti;

non de…nito nei punti angolosi.

3.2 Isocosto

vedi Cobb-Douglas

3.3 Isoquanti

Per rappresentare gli isoquanti si rappresenta la retta passante per i vertici

b L.

la cui equazione è K = a x

3.4 Trovare L e K per produrre una certa quantità,

equazione retta passante per i vertici

F (L; K) = x

si ricavano L e K .

3.5 Rendimenti di scala

Q ( L; K) = Q(L; K) =) costanti

4

Esercitatrice: P. De Micco.

MICROECONOMIA - QUARTA ESERCITAZIONE

Indichiamo con y l’output e con C (y) la funzione di costo;

@C(y)

MC = @y

C(y)

AC = y

M C < AC: quando si produce una unità in più, i costi medi diminuiscono;

M C > AC: quando si produce una unità in più, i costi medi aumentano;

M C = AC: è il punto di minimo della curva di costo medio.

1 L’IMPRESA PRICE TAKER E I MERCATI

CONCORRENZIALI

1.1 Funzione di o¤erta di breve periodo della singola im-

y

presa, s

p = M C =) da questa equazione ricaviamo y ; ad esempio otteniamo

s

imponiamo y 0 per trovare il p che rende y positiva o pari a zeroNB:

s s

p 1

es. se otteniamo y = ; scriviamo che la funzione di o¤erta della

20 2

singola impresa è:

p 1

- y = per p 10

20 2

- y = 0 per p < 10 ( se p < 10, y sarebbe negativo, quindi l’azienda non

produce).

1.2 Funzione di o¤erta di breve periodo del mercato,Y S

Indichiamo con n il numero delle imprese presenti nel mercato;

Y = y n;

S S 1 ; Y

; y ) di breve pe-

1.3 Prezzo e quantità di equilibrio (p s S

riodo e la loro rappresentazione gra…ca

Indichiamo con Y la funzione di domanda del mercato;

D

Se non abbiamo la funzione di domanda Y ma bensì la funzione di do-

D

manda inversa, dobbiamo prima ricavare Y :

D

Poniamo Y = Y =) da questa equazione ricaviamo p .

D S

Sostituiamo p in y per ottenere y :

s s

Sostituiamo y in Y per ottenere Y :

S

s S Y

per trovare y : y =

Ovviamente se abbiamo Y dove n = numero

S

s s

S n

imprese

Rappresentiamo Y e Y nello spazio cartesiano mettendo Y sull’asse x e

D S

p sull’asse y. Per rappresentarle calcoliamo come sempre le intercette. La

loro intersezione è il punto (Y , p ).

S

1.4 Pro…tto di breve periodo della singola impresa,

Indichiamo con T R i ricavi totali;

T R = p y s nella funzione di costo C(y);

Sostituiamo y s );

C(y

= TR C(y) = p y s

s

Ricordiamo che nel lungo periodo: = 0.

1.5 Surplus del consumatore (SC)

Si rappresenta nello spazio cartesiano Y e Y e il punto di equilibrio dato

D S

dalla loro intersezione;

SC è dato dall’area del triangolo compreso tra la curva di domanda e p .

2

z

1.6 Sussidio per ogni unità prodotta

cambia p , y , Y ; e SC.

s S

sussidio

C(y) = C(y) zy =) i costi diminuiscono;

Si procede come prima ma utilizzando la nuova funzione di costo determi-

nata dall’introduzione del sussidio:

- si calcola il nuovo M C =) p = M C =) da questa equazione ricaviamo

y ; Y = y n;

s S S

- per trovare l’equilibrio poniamo Y = Y ; troviamo i nuovi valori di p ,

S D

y , Y ;

s S

- calcoliamo il nuovo SC e vediamo che rispetto al caso senza sussidio

SC aumenta. Dunque c’è una variazione di surplus positiva =) SC

sussidio

= SC SC > 0.

1.7 Tassa per ogni unità prodotta

; e SC.

, Y

cambia p , y s S

C(y) = C(y)+ y =) i costi aumentano;

Si procede come prima ma utilizzando la nuova funzione di costo determi-

nata dall’introduzione della tassa:

- si calcola il nuovo M C =) p = M C =) da questa equazione ricaviamo

y ; Y = y n;

s S S

- per trovare l’equilibrio poniamo Y = Y ; troviamo i nuovi valori di p ,

S D

;

, Y

y s S

- calcoliamo il nuovo SC e vediamo che rispetto al caso senza tassa SC

diminuisce. Dunque c’è una variazione di surplus negativa =) SC =

SC SC < 0.

1.8 Tassa che ricade sull’o¤erta, prezzo pagato dai con-

sumatori e prezzo percepito dai produttori

Y non cambia; Y = Y =) ricaviamo p .

D S

S

Sostituiamo p in Y per ottenere Y :

S S

Il prezzo pagato dai consumatori è p

Il prezzo percepito dai produttori è p :

3

1.9 Gettito dell’imposta per il governo

Gettito = Y :

S

1.10 Variazione surplus in seguito all’introduzione di una

tassa e perdita netta

Con l’in