Microeconomia - Formulario

Microeconomia - Esercitazioni

Prima esercitazione di microeconomia

Il problema del consumatore

1. Preferenze Cobb-Douglas

Preferenze standard; U = xy; U = xy; Le curve di indifferenza sono convesse; MRS è decrescente;

1.1 Scrivere l’equazione del vincolo di bilancio

L’equazione è: p_x x + p_y y = I

dove p_x = prezzo del bene x, p_y = prezzo del bene y, I = reddito del consumatore.

L’equazione significa che la spesa totale nei due beni deve essere uguale al reddito (non c’è risparmio).

1.2 Trovare le intercette del vincolo di bilancio

L’intercetta orizzontale si trova ponendo, nell’equazione del vincolo di bilancio, y = 0, così si trova la quantità massima di x che il consumatore può acquistare dato il suo reddito;

L’intercetta verticale si trova ponendo, nell’equazione del vincolo di bilancio, x = 0, così si trova la quantità massima di y che il consumatore può acquistare dato il suo reddito.

1.3 Trovare la pendenza del vincolo di bilancio

Dobbiamo scrivere la forma esplicita dell’equazione del vincolo di bilancio, ossia:

p_x x + p_y y = I

y = (I - p_x x) / p_y

La pendenza è data da -p_x/p_y.

1.4 Rappresentazione grafica del vincolo di bilancio

È una retta e la rappresentiamo in un sistema di assi cartesiani, mettendo sull’asse x il bene x e sull’asse y il bene y. È sufficiente rappresentare le due intercette ed unirle per rappresentare la retta del vincolo di bilancio.

1.5 Saggio Marginale di Sostituzione (MRS)

MRS = MU_x / MU_y = y / x

1.6 Trovare il paniere di ottimo (di equilibrio) del consumatore

Il consumatore vuole massimizzare la sua utilità dato il vincolo di bilancio che ha. Nel caso di preferenze Cobb-Douglas, l’ottimo è dato dal punto di tangenza tra la curva di indifferenza e il vincolo di bilancio.

Analiticamente per trovarlo dobbiamo risolvere il seguente sistema:

equazione del vincolo di bilancio

MRS = p_x/p_y

1.7 Trovare la funzione di domanda del bene al variare di p_x

Conosciamo i valori di p_y e di I; impostiamo lo stesso sistema del paniere ottimo del consumatore, ma lasciamo p_x incognito. In questo modo ricaviamo un’equazione che ci dice come varia la domanda del bene x al variare di p_x (es: x = ...)

1.8 Spostamenti del vincolo di bilancio

Vedi slides del Prof. Moscati "Capitolo 2, Le scelte del consumatore, Parte III", slides 11-13.

1.9 Razionamento

Quando un bene è razionato, significa che non è possibile acquistarne più di una certa quantità. Il vincolo di bilancio cambia e diventa non lineare; il vincolo di bilancio diventa una linea spezzata, ossia si interrompe in corrispondenza della quantità massima del bene razionato (vedi prima esercitazione, esercizio pag. 26 delle soluzioni).

2. Perfetti sostituti

Si tratta di beni intercambiabili in proporzione fissa.

2.1 Scrivere la funzione di utilità

Se al soggetto a unità del bene x danno la stessa utilità di b unità del bene y, la funzione di utilità è la seguente:

U(x, y) = (x/a) + (y/b)

2.2 Saggio Marginale di Sostituzione (MRS)

MRS = MU_x / MU_y = b/a MRS è costante. Le curve di indifferenza sono rette parallele con pendenza opposta al MRS.

2.3 Vincolo di bilancio, intercette, pendenza e rappresentazione

Vedi Cobb-Douglas

2.4 Trovare il paniere di ottimo (di equilibrio) del consumatore

Il consumatore vuole massimizzare la sua utilità dato il vincolo di bilancio che ha. Nel caso dei perfetti sostituti per trovare l’ottimo è sufficiente confrontare p_x/p_y: Si possono verificare 3 casi:

• MRS < p_x/p_y: il consumatore consuma solo il bene y, abbiamo una soluzione d’angolo: E (0; I/p_y).
• MRS > p_x/p_y: il consumatore consuma solo il bene x, abbiamo una soluzione d’angolo: E (I/p_x; 0).
• MRS = p_x/p_y: il consumatore è indifferente, tutti i panieri che soddisfano il vincolo di bilancio vanno bene.

3. Perfetti complementi

Si tratta di beni che devono essere consumati in proporzione fissa.

3.1 Scrivere la funzione di utilità

Se al soggetto a unità del bene x si accompagnano perfettamente a b unità del bene y, la funzione di utilità è la seguente:

U(x, y) = min{x/a, y/b}

Le curve di indifferenza sono fatte ad "L". Per rappresentarle, mettiamo il bene x sull’asse x e il bene y sull’asse y. Tracciamo la retta che congiunge i vertici, ossia i punti corrispondenti ai panieri in cui le quantità sono nelle proporzioni giuste. Le curve di indifferenza giacciono su questa retta.

3.2 Saggio Marginale di Sostituzione (MRS)

MRS è infinito nella parte verticale della curva di indifferenza, non definito nei punti angolosi ed è uguale a zero nella parte orizzontale della curva di indifferenza.

3.3 Vincolo di bilancio, intercette, pendenza orizzontale/verticale e rappresentazione

Vedi Cobb-Douglas

3.4 Trovare il paniere di ottimo (di equilibrio) del consumatore

Nel caso dei perfetti complementi, il paniere di ottimo è dato dal punto di intersezione tra la retta che congiunge i vertici e il vincolo di bilancio.

Seconda esercitazione di microeconomia

1. Le curve di domanda

1.1 Domanda individuale del bene X in funzione di p_x

Impostare il medesimo problema del paniere di consumo ottimo, lasciando p_x incognito sia nell’espressione del saggio marginale di sostituzione sia nel vincolo di bilancio. Si ottiene: X = ...;

1.2 Curva di Engel del bene X

Impostare il medesimo problema del paniere di consumo ottimo, lasciando I incognito nell’equazione del vincolo di bilancio. Si ottiene: I = nX. Si rappresenta nello spazio cartesiano mettendo il bene X sull’asse x e I sull’asse y.

Dalla curva di Engel si può dedurre se il bene in questione è un bene normale o inferiore:

• Il bene è normale se il suo consumo aumenta all’aumentare del reddito: la curva di Engel è crescente;
• Il bene è inferiore se il suo consumo diminuisce all’aumentare del reddito: la curva di Engel è decrescente.

1.3 Domanda del bene X in funzione al reddito e al prezzo

Impostare il medesimo problema del paniere di consumo ottimo, lasciando il prezzo del bene x ed il reddito incogniti nell’equazione del vincolo di bilancio. Si ottiene X in funzione del reddito e del suo prezzo.

1.4 Elasticità della domanda del bene X al prezzo

Calcoliamo la derivata parziale della domanda del bene X in funzione al reddito e al prezzo rispetto al prezzo e la moltiplichiamo per P/X e sostituiamo ad X l’espressione della sua domanda:

ε_x = (∂X/∂P_x) * (P_x/X)

• ε_x < 1: domanda inelastica;
• ε_x = 1: domanda ad elasticità unitaria;
• ε_x > 1: domanda elastica.

1.5 Spesa totale (Total Expenditure = TE)

TE = P_x * X

Per valutare come varia TE, dobbiamo calcolare ε_x:

• Se ε_x < 1: P_x aumenta di una certa % ma il consumo di X diminuisce di una % inferiore, quindi TE aumenta;
• Se ε_x = 1: P_x aumenta di una certa % e il consumo di X diminuisce esattamente della stessa %, quindi TE non cambia;
• Se ε_x > 1: P_x aumenta di una certa % ma il consumo di X diminuisce di una % maggiore, quindi TE diminuisce.

2. Variazioni di prezzo

2.1 Effetto di reddito (ER), effetto di sostituzione (ES) e effetto totale (ET)

ES: sempre negativo: P_x aumenta → Q_x diminuisce; P_x diminuisce → Q_x aumenta;

ER:

• Negativo per i beni normali: P_x aumenta → Q_x diminuisce;
• Positivo per i beni inferiori: P_x aumenta → Q_x aumenta.

ET: ET = ER + ES

• Negativo per i beni normali (ER e ES agiscono nella stessa direzione e sono entrambi negativi);
• Negativo per i beni inferiori (ER e ES agiscono nella direzione opposta - ER positivo e ES negativo - ma dato che ES > ER, ET è negativo);
• Positivo per i beni di Giffen (ER e ES agiscono nella direzione opposta - ER positivo e ES negativo - ma dato che ES < ER, ET è positivo).

3. Benessere del consumatore

Surplus del consumatore: è la differenza tra quanto il consumatore è disposto a pagare per una certa quantità del bene e quanto effettivamente paga. Si può calcolare in termini grafici (vedi esercizio fatto in classe).

4. La famiglia

4.1 Espressione analitica del vincolo di bilancio e sua rappresentazione

N = ore dedicate al tempo libero; L = ore dedicate al lavoro; L + N = T → L = T - N

w = salario orario;

Vincolo: p_C C = (T - N) w

In caso ci sia anche una rendita R: p_C C = (T - N) w + R → il valore del consumo (p_C C) deve essere uguale al reddito (L w + R).

Il vincolo si rappresenta nello spazio cartesiano con il tempo T sull’asse x (si indica chiaramente il numero di ore disponibili) e il consumo C sull’asse y, trovando le intercette. Attenzione a come varia la rappresentazione nel caso in cui ci sia la rendita (caso visto in classe!).

Pendenza = -w / p_C

4.2 Il paniere di equilibrio della scelta tra consumo ed ore dedicate al lavoro nel caso di preferenze Cobb-Douglas

MRS = MU_N / MU_C = w / p_C

Vincolo di bilancio: troviamo C, N, L

4.3 Il paniere di equilibrio della scelta tra consumo ed ore dedicate al lavoro nel caso di beni perfetti sostituti

MRS = MU_N / MU_C = b/a

Confrontiamo MRS e w/p_C. Si possono verificare tre casi:

• MRS < w/p_C: il consumatore consuma solo il bene c → abbiamo una soluzione d’angolo: E(0; I/p_C)
• MRS > w/p_C: il consumatore dedica tempo solo a n → abbiamo una soluzione d’angolo: E(I/n; 0)
• MRS = w/p_C: il consumatore è indifferente, tutti i panieri che soddisfano il vincolo di bilancio vanno bene.

Troviamo: C, N, L

4.4 Il paniere di equilibrio della scelta tra consumo ed ore dedicate al lavoro nel caso di beni perfetti complementi

Nel caso dei perfetti complementi, il paniere di ottimo è dato dal punto di intersezione tra la retta che congiunge i vertici e il vincolo di bilancio.

4.5 Vincolo di bilancio intertemporale

Vogliamo trovare la combinazione di consumo presente e consumo futuro; i = tasso di interesse; se il tasso è pari al 12%, i = 0.12.

Denaro = (1 + i) Denaro_t=1 / Denaro_t=0

I₀ = reddito presente; I₁ = reddito futuro;

C₀ = consumo presente; C₁ = consumo futuro;

Vincolo intertemporale: I₀ + I₁ / (1 + i) = C₀ + C₁ / (1 + i)

Il vincolo impone che la somma del reddito presente e del reddito futuro sia uguale alla somma del consumo presente e del consumo futuro.

Il vincolo si scrive ricavando C₁ in funzione di C₀: C₁ = ...;

Pendenza = -(1 + i);

Il vincolo si rappresenta nello spazio cartesiano con C₀ sull’asse x e C₁ sull’asse y, trovando le intercette.

Se C₀ > I₀: l’individuo è mutuatario; importo preso a prestito I₀ - C₀

4.6 Punto di equilibrio o di ottimo tra C₀ e C₁

Nel caso di preferenze Cobb-Douglas, calcoliamo MRS = MU_C0 / MU_C1 e troviamo: C₀, C₁ impostando: MRS = 1 + i

Vincolo di bilancio intertemporale: Per trovare l’equilibrio tra C₀ e C₁ nel caso di beni perfetti sostituti o perfetti complementi, si procede in maniera analoga a quanto visto sopra.

4.7 Offerta di lavoro straordinario

(Vedi soluzioni dell’esercizio a pag 20 delle soluzioni dell’esercitazione 2) Cambia il vincolo di bilancio e quindi cambia la pendenza; l’insieme dei panieri accessibili si amplia e la scelta ottima cambia.

Microeconomia - Terza esercitazione

Tecnologia e produzione

Breve periodo: almeno un fattore è fisso. Lungo periodo: tutti i fattori sono variabili.

1. Preferenze Cobb-Douglas

1.1 Prodotto Marginale del Lavoro (MPL)

Consideriamo una funzione di produzione con due input L = lavoro, K = capitale; sostituiamo a K il valore che ci viene dato dall’esercizio; calcoliamo la derivata parziale della funzione di produzione ottenuta rispetto ad L: MPL = ∂F/∂L

1.2 Prodotto Marginale del Capitale (MPK)

Consideriamo una funzione di produzione con due input L = lavoro, K = capitale; sostituiamo a L il valore che ci viene dato dall’esercizio; calcoliamo la derivata parziale della funzione di produzione ottenuta rispetto ad K: MPK = ∂F/∂K

1.3 MRTS

È il rapporto al quale si può sostituire un fattore con un altro, mantenendo invariata la produzione.

MRTS = MPL / MPK

1.4 Isocosto