Formulario Idraulica

Idraulica

Generalità

• Peso Specifico

γ = _Peso/_Volume

γ = ρ g

• Densità

ρ = _Massa/_Volume

• Pressione

p = _Peso/_Area

p = γ h

1 atm = 1 bar = 10⁵ Pa

Legge di Newton

Forze Tangenziali

τ = μ γ̇

• μ = coefficiente di viscosità
• γ̇ = velocità di deformazione

Legge di Laplace

ΔP = S (1/r₁ - 1/r₂)

h = ΔP/δ

Legge di Henry

V_x = V_e cosθ

Rotore

rot v =

Gradiente

grad v = (∂v/∂x) î + (∂v/∂y) ĵ + (∂v/∂z) k̂

Divergenza

div(v) = ∂u/∂x + ∂v/∂y + ∂w/∂z

Idraulico

Generilità

• Peso Specifico

_γ = Peso / Volume

γ = ρ * g

• Densità

_ρ = Massa / Volume

• Pressione

P = Peso / Area

p = γ * h

1 atm = 1 bar = 10⁵ Pa

• Legge di Newton

Forze Tangenziali

_τ = μ * _γ

μ = coefficiente di viscosità

_γ = velocità di deformazione

• Legge di Laplace

Differenza di pressione

DP = S (1/R₁ - 1/R₂)

• Legge di Jurin-Borelli

Altezza interfaccia dovuto agli effetti capillari

h = DP / γ

• Legge di Henry

Assorbimento dei gas

V_gx = V_e cosθ

Rotore

rot_ν = _i^ ^τV/τ_x + _j^ ^τV/τ_y + _k^ ^τV/τ_z

Gradiente

grad_ν = _i^ ^τV/τ_x + _j^ ^τV/τ_y + _k^ ^τV/τ_z

Divergenza

div_(V) = ^τU/τ_x + ^τV/τ_y + ^τW/τ_z

Idrostatica

• Equazione indefinita della statica dei fluidi

grad P

• Equazione globale dell'equilibrio statico

+ G = 0

• Equazione fondamentale dell'idrostatica

Z +

= quota geometrica= altezza piezometricaZ = quota piezometrica

• Spinta

F = g h A

N = baricentro rispetto l.p.c iO = asse su cui agisce la spinta

• Forza peso

G = W

V = volume di controllo

• Centro di spinta

X₀ = ^I⁄_M = ^I₀⁄_AX0

I = momento d'inerziaM = momento statico rispettoquel retto di spintaI_xy = momento centrifugo

Y₀ = ^I_xy⁄₄ = ^I_xy⁄_AX0

• Forma di piogge

r_i = P l D

266mm

P = pressione a cui sisubopostiD = diametro tubazioneGamma pressione delnatura

Cinematica dei fluidi

∂_v / ∂t + ∂v / ∂t + (∂v / ∂x + ∂v / ∂y + ∂v / ∂z)

Derivata Totale Derivata Locale Componente Convistriva Grad

Qv = ∫_A v_u n_u dΩ

Portata

Volume di fluido nell'unità di tempo

Velocità media

V_m = ∮_A v dΩ

Equazione Ipernetta di continuità per i fluidi comprimibili

∂_p / ∂t - div(p_v) = 0

∂_p / ∂t + ρ div(v) = 0

Equazione Globale di continuità per fluidi compressibili

∫_Ω ρv_m dΩ = ∫_w ∂_e / ∂t dW

Equazione di continuità applicata ad un volume corrente di fluido comprimibile

X(pQ_A) / X(pA) = 0

Dinamica dei Fluidi

• Equazione indefinita della dinamica dei fluidi

ρ(_F - A) = ⌠_v dφ₁ ⌡ + ⌠_v dφ₂ ⌡

• Equazione di Eulero (fluido perfetto)

ρ(_F - A) = grad p = accelerazione

• Equazione globale dell'equilibrio dinamico

_T + _G + _Π + _Tl2 = 0

• _Ff= ⌠_Q φ_n dA (spinta)
• _G = ⌠_w ρ ΔW (peso)
• _Π = ⌠_w ⌡ ðρν ðxν
• _T1-T2 = ⌠_Q p ΔQ (flusso di quantità di moto)

• Coefficiente di ragguaglio della quantità di moto (fluido comprimibile)

β = ^⌠_Qρν2dA ⁄ _pmν²m

Il Teorema di Bernoulli

_{Teorema di Bernoulli.}

Fluido perfetto, pesante e incomprimibile e moto permanente

1^a Forma

H = z + ^p⁄_δ + ^V2⁄_2g = cost

2^a Forma

H = E_p + E_press + E_c

H = carico totale dell'unità di peso

• E_p = energia potenziale
• E_press = energia di pressione
• E_c = energia cinetica

_Applicazioni

a) Procassa di efflusso

1^o caso

• Bernoulli z₀ + ^p₀⁄_δ + ^V2₀⁄_2g = z₀ + ^P₀⁄_δ + ^V2⁄_2g
• Velocità teorica V_B = V_T = √2gh
• Velocità effettiva V_e = C_v √2gh
• C_v = ^V_e⁄_Vt (coefficiente velocità) 0,58
• Portata Q = MA √2gh
• M = C_v C_e (coefficiente efflusso) 0,6
• C_e = ^Q_eff⁄_Qth (coefficiente conduttore) 0,61

2° caso

• Bernoulli

Z₀ + P_a / δ + V_B² / 2g = Z₀ + P_a / δ + V_A² / 2g

(C_d = 1)

• Velocità terminale

V_B = V_A = √(2 g (h₀ - (C_d = a)))

• Portata

Q = A₀ b √(2 g (h₀ - (C_d = a)))

a = b = Getto

b = profondità

3° caso

• Bernoulli

Z₀ + P_a / δ + V_T² / 2g = Z₀ + P_a / δ + V_B² / 2g

h₀ h_B

• Velocità terminale

V_T = V_B = √(2 g h)

• Portata

Q = μ A √(2 g h)

h = h₀ - h_B

Bernoulli

z₀ + _P0/^$ + V₀²/2g = z₂ + _P1/^$ + V₂²/2g

h

Velocità torricelliana

V₁ = √(2g h_M)

V_i = √(2 g h_M)

Portata

Q = μ A √(2g h_M)

Variante

se la luce è molto grande

Q = μ √(2g) ∫_a dλ, Q = μ √(2gh₁) ∫_a dλ

Q = μ ∫_a √(2g) dλ - μ √(2gh₁) ∫_a √h dh

Portata

Q = 2/3 μ √2g₀ (h₂^3/2 - h₁^3/2)

h_B

b) TUBO DI PITOT (Serve a misurare la velocità puntuale)

B = punto di ristagno

Bernoulli

Z_A + P_A/ + V_A²/2 = Z_B + P_B/ + V_B²/2

V_B = 0

Velocità puntale V_A = √2Δh

Δh = P_B- P_A/

c) TUBO CONVERGENTE - VENTURIMETRO (Serve a calcolare la portata in tubazioni cilindriche)

LIBRO DEI CARICHI TOTALI

LIBRO PIEZOMETRICO

Bernoulli

Z₀ + P₀/ + V₀²/2 = Z₁ + P₁/ + V₁²/2

P₀/ - P₁/ = V₁²/2 - V₀²/2

Portata Q = V₀A₀ = V₁A₁ ⇒ √2 Q² (₀ - ₁)/( (₀-₁))

Q = √(2) Q_A1/A02/0-A1)

Teorema di Bernoulli

Esteso ad una corrente gradualmente variata

H = z + _p/^δ + V²/_2g = cost

H = carico totale. Energia specifica modulo dell'energia.

Coefficiente di regimazione della potenza cinetica

Ξ = ∫_So V³ dS/_{V^m * A}

Coefficiente di Coriolis

E tanto più prossimo a 1 tanto più il moto è turbato

Relazione tra i coefficienti di regimazione

2 = 1 + 3(β-1)

Potenza energetica

N = γ * Q * H

γ = peso dell'unità di volume

Q = volume nell'unità di tempo

Teorema di Bernoulli

Esteso ai moto vario

(Moto non permanente)

H(s) - Ho = ∫_s v/di

Ho = carico della sezione iniziale

H(s) = carico nella sezione di ascissa S

Teorema di Bernoulli

Esteso ai fluidi di refi

(Fluidi non perfetti)

H(s) - Ho = ∫_s F(s) S(s) ds

S(s) = caduta rappresenta la perdita di energia subita dall'unità di peso del liquido, nell'unità di percorso

Teorema di Bernoulli

Esteso a fluidi comprimibili

(Fluidi comprimibili)

∫ z + p/^δ + v²/_{2g Js} + p/^δ Js = -1/8 ∫_Jv/dt

Equazione di Eulero per un moto con potenziale di velocità

Campi irrotazionali

pF = grad(p + ρψ - ρV²/2)

ψ: potenziale di velocità

Approssimazione notevole

Spinta su profilo piano in movimento

S_ϒ1 = p_0 (V^-U) = p∇W (∇·U)

V: velocità getto

U: velocità pistone

W: sezione trasversale del getto

Equazioni del moto dei fluidi reali

Equazione indefinita di equilibrio per fluido viscoso

p(F_∇) = grad·p - η∇²∇ + μg^λδΛη

(il termine - μ^λδΛη viene costì -

effetti dovuti alla viscosità)

Equazioni Navier-Stokes (fluido incomprimibile)

p(_{F_∇}-∇) = grad·p - η∇²∇

Equazione globale dell'equilibrio dinamico per un fluido viscoso

τ + z + τ + η₁ - η₂ = H ∫ _{V ^Jv} Jv_ε dε

T: azione tangenziale a superficie

Azione di trascinamento

τ = δA_{< >}

Sforzo tangenziale sulla parete

τ₀· = δ _{J Rs}

R: ρ (raggio medio sezione)

P: perimetro

CORRENTI IN PRESSIONE

- moto laminare

in CONDOTTO CIRCOLARE

U = _δJ/_4μ (D² - r²)

adottato parabolico alla ducti

U_max = _δJ/_16μ D²

Q = π _{δJ D}⁴/_{128 μ}

• _λ

• Forza di Poiseuille

• (Legge Q = S * δl _ΔP / Δx conservativo alle dissipazione)

V_MED = _δJ/_2μ R²

R = _D/₄ RAGGIO IDRAULICO

In generale

V_MED = _δJ/_μ R²

z = z (Forma)

nel MOTO PIANO INDEFINITO

U = _δJ/_2μ (h² - y²)

U_max = _δJ/_2μ h²

Q = ₂³ _δJ/_μ bh³

V_MED = _δJ/_3μ R²

Equazione Globale dell'Equilibrio Dinamico in Riferimento di Volume

^G + ∫_n ρ_w v_wn dA = ∫_A ^{∫_ynv y_m} dA + p_n∫_Ao v_no dA + pV∫_V ^dy_V dA + p(y_vw)∫_V v_n dA + p_o v_nw∫_V dA - p_w ∫^v w_v^t dV

Forze

• ^Fv= ∫_w v_FF dW (Pressione)
• ^F= ∫_A v_A dA (Spinta)
• v = μ ∫_A ^υ dA Causa Taglio Superficie (Superfici)

Flusso Quantità Di Moto

• ^F= ∫_y ^πy_m dA + ∫_A v_A dA Termini che Tiene Conto degli Effetti di Tutto
• ^F = ∫_y^v_locali dA (Inversori Locali)
• Flusso turbolento spinthe
• Pressioni esterne forze

Spalto Turbulente e Turbulente

Σ Forze, da di fatto resistenza motone

• Turbulento Resistenza (Viscose)
• Moto Viscosso (Turbulento)
• (F) Spalte (Moto Turbulento)

In periodo in un caso, a cui si ha moto turbolento, segui funzioni _in (Viscosse) a caso, veri Turbolenti a densità, spaziò e rimanente di parole spessi parti Turbolente.

Distribuzione della velocità media

teorica lungo un regolo nel moto

turbulento

Indice dimensionale

Moto laminare

Moto turbolento

Moto di transizione

C_o1 = X V M / D

C_o3 = γ₁ PV²

C_o = γ₂ PV²

γ_o costante di irregolarità

Resistenza notevole soprattutto sperimentale

Formula di Von Karman

C_o2 = P V D

Numero di Reynolds

Piccolo CR < 2000 → Moto laminare

Intermedio (2500 < Re < 10⁵) di transizione

Grande C Re ≥ 10⁵ → Moto turbolento

P = 3.8 Z₁ ⇒ J = 2 V² / 2 D δ

Formula di Darcy-Weisbach

(vale per qualunque tipo di moto)

Legge la parte che carico al comportamento del moto

λ = 64 * Re^-1

λ = 0,316 * Re^-0,25

Formula di Blasius

In generale J = KV^m / Dⁿ

m + n = 3

Formule Parti che (molto possibilmente lunedì)

• Formula di Chezy

∑ = ^V²/_cR = ^2V²/_cD

C = ϕ(^ε/_D)

Bazini

C = 87 ¹/_√R

Kitter

C₁ = 100 ¹/_√S

Gauckler - Stricker

C_c = R^1/6

• Formula di Darcy

∑ = uQ = U = ^B/_S → B = 6,636 /_C²

Perdita di carico localizzate

Perdita per brusco allargamento

(variando da aetica della nuova parte)

ΔH = ^{(V₁ - V₂)²}/_2g

V₁ = velocità che aveva

V₂ = velocità che assume

Perdita per sbocco

ΔH = ^V2/_2g

Perdita per imbocco

ΔH = ^{0.5 V2}/_2g

ΔH = ^V/_2g ^{(1/_mC - 1)}²

C_c = 0,61

Formula pratica sempre valida

DARCY - WEISBACH

delle

delle

COLEBROOK E WHITE

forma un insieme

Formula di Supino - Damiani

Re_lim COLEBROOK WHITE

moto nei tubi scabri

Condizioni di moto

Assolutamente turbolente

numero di Reynolds di r

velocità che avera

velocità che assume

= scabrezza relativa

U* = velocità di attrito

= viscosità cinematica [10^-6 m²/s]

= peso specifico