Formulario Idraulica

Idraulica: generalità

Peso specifico e densità

Peso specifico (γ) = _Peso/_Volume

γ = ρ g

Densità (ρ) = _Massa/_Volume

Pressione

p = _Peso/_Area

p = γ h

1 atm = 1 bar = 10⁵ Pa

Legge di Newton

Forze tangenziali: τ = μ γ̇

• μ = coefficiente di viscosità
• γ̇ = velocità di deformazione

Legge di Laplace

ΔP = S (1/r₁ - 1/r₂)

h = ΔP/δ

Legge di Henry

V_x = V_e cosθ

Rotore e gradiente

rot v = | î ĵ k̂ || ∂/∂x ∂/∂y ∂/∂z || u v w |

grad v = (∂v/∂x) î + (∂v/∂y) ĵ + (∂v/∂z) k̂

div(v) = ∂u/∂x + ∂v/∂y + ∂w/∂z

Idraulica: generalità avanzate

Peso specifico γ = Peso / Volume

γ = ρ * g

Densità ρ = Massa / Volume

Pressione

P = Peso / Area

p = γ * h

1 atm = 1 bar = 10⁵ Pa

Legge di Laplace

Differenza di pressione DP = S (1/R₁ - 1/R₂)

Legge di Jurin-Borelli

Altezza interfaccia dovuto agli effetti capillari: h = DP / γ

Legge di Henry

Assorbimento dei gas: V_gx = V_e cosθ

Rotore e gradiente

rot_ν = _i^ ^τV/τ_x + _j^ ^τV/τ_y + _k^ ^τV/τ_z

grad_ν = _i^ ^τV/τ_x + _j^ ^τV/τ_y + _k^ ^τV/τ_z

div_(V) = ^τU/τ_x + ^τV/τ_y + ^τW/τ_z

Idrostatica

Equazioni di statica dei fluidi

• Equazione indefinita della statica dei fluidi: grad P
• Equazione globale dell'equilibrio statico: + G = 0
• Equazione fondamentale dell'idrostatica: Z + = quota geometrica = altezza piezometrica

Z = quota piezometrica

Forze e momenti

Spinta: F = g h A

N = baricentro rispetto l.p.c

iO = asse su cui agisce la spinta

Forza peso: G = W

V = volume di controllo

Centro di spinta

X₀ = ^I⁄_M = ^I₀⁄_AX0

I = momento d'inerzia

M = momento statico rispetto quel retto di spinta

I_xy = momento centrifugo

Y₀ = ^I_xy⁄₄ = ^I_xy⁄_AX0

Forma di pioggia

r_i = P l D 266 mm

P = pressione a cui si suboposti

D = diametro tubazione

Gamma pressione del natura

Cinematica dei fluidi

∂_v / ∂t + ∂v / ∂t + (∂v / ∂x + ∂v / ∂y + ∂v / ∂z)

Derivata

• Totale
• Locale
• Componente convettiva

Grad Qv = ∫_A v_u n_u dΩ

Portata

Volume di fluido nell'unità di tempo

Velocità media: V_m = ∮_A v dΩ

Equazione ipernetta di continuità per i fluidi comprimibili

∂_p / ∂t - div(p_v) = 0

∂_p / ∂t + ρ div(v) = 0

Equazione globale di continuità per fluidi compressibili

∫_Ω ρv_m dΩ = ∫_w ∂_e / ∂t dW

Equazione di continuità applicata ad un volume corrente di fluido comprimibile: X(pQ_A) / X(pA) = 0

Dinamica dei fluidi

Equazione indefinita della dinamica dei fluidi

ρ(_F - A) = ⌠_v dφ₁ ⌡ + ⌠_v dφ₂ ⌡

Equazione di Eulero (fluido perfetto)

ρ(_F - A) = grad p = accelerazione

Equazione globale dell'equilibrio dinamico

_T + _G + _Π + _Tl2 = 0

• _Ff = ⌠_Q φ_n dA (spinta)
• _G = ⌠_w ρ ΔW (peso)
• _Π = ⌠_w ⌡ ðρν ðxν
• _T1-T2 = ⌠_Q p ΔQ (flusso di quantità di moto)

Coefficiente di ragguaglio della quantità di moto (fluido comprimibile)

β = ^⌠_Qρν2dA ⁄ _pmν²m

Il teorema di Bernoulli

_{Teorema di Bernoulli.} Fluido perfetto, pesante e incomprimibile e moto permanente

1^a Forma

H = z + ^p⁄_δ + ^V2⁄_2g = cost

2^a Forma

H = E_p + E_press + E_c

• H = carico totale dell'unità di peso
• E_p = energia potenziale
• E_press = energia di pressione
• E_c = energia cinetica

Applicazioni

a) Procassa di efflusso

1^o caso

Bernoulli z₀ + ^p₀⁄_δ + ^V2₀⁄_2g = z₀ + ^P₀⁄_δ + ^V2⁄_2g

Velocità teorica V_B = V_T = √2gh

Velocità effettiva V_e = C_v √2gh

C_v = ^V_e⁄_Vt (coefficiente velocità) 0,58

Portata

Q = MA √2gh

M = C_v C_e (coefficiente efflusso) 0,6

C_e = ^Q_eff⁄_Qth (coefficiente conduttore) 0,61

2^o caso

Bernoulli Z₀ + P_a / δ + V_B² / 2g = Z₀ + P_a / δ + V_A² / 2g

(C_d = 1)

Velocità terminale V_B = V_A = √(2 g (h₀ - (C_d = a)))

Portata Q = A₀ b √(2 g (h₀ - (C_d = a)))

a = b = Gettob = profondità

3^o caso

Bernoulli Z₀ + P_a / δ + V_T² / 2g = Z₀ + P_a / δ + V_B² / 2gh

h₀ h_B

Velocità terminale V_T = V_B = √(2 g h)

Portata Q = μ A √(2 g h)

h = h₀ - h_B

Bernoulli z₀ + _P0/^$ + V₀²/2g = z₂ + _P1/^$ + V₂²/2gh

Velocità torricelliana

V₁ = √(2g h_M)

V_i = √(2 g h_M)

Portata Q = μ A √(2g h_M)

Varianti

Se la luce è molto grande

Q = μ √(2g) ∫_a dλ, Q = μ √(2gh₁) ∫_a dλ

Q = μ ∫_a √(2g) dλ - μ √(2gh₁) ∫_a √h dh

Portata Q = 2/3 μ √2g₀ (h₂^3/2 - h₁^3/2)

h_B

Tubo di Pitot

(Serve a misurare la velocità puntuale)

B = punto di ristagno

Bernoulli Z_A + P_A/^$ + V_A²/2 = Z_B + P_B/^$ + V_B²/2

V_B = 0

Velocità puntuale V_A = √2Δh

Δh = P_B - P_A/^$

Tubo convergente - Venturimetro

(Serve a calcolare la portata in tubazioni cilindriche)

LIBRO DEI CARICHI TOTALI

LIBRO PIEZOMETRICO

Bernoulli Z₀ + P₀/^$ + V_0²/2 = Z₁ + P₁/^$ + V_1²/2

P₀/^$ - P₁/^$ = V_1²/2 - V_0²/2

Portata Q = V₀A₀ = V₁A₁ ⇒ √2 Q² (₀ - ₁)/( (₀-₁))

Q = √(2) Q_A1/A02/0-A1)

Teorema di Bernoulli esteso

Esteso ad una corrente gradualmente variata

H = z + _p/^δ + V²/_2g = cost

H = carico totale. Energia specifica modulo dell'energia.

Coefficiente di regimazione della potenza cinetica

Ξ = ∫_So V³ dS/_{V^m * A}

Coefficiente di Coriolis

E tanto più prossimo a 1 tanto più il moto è turbato

Relazione tra i coefficienti di regimazione 2 = 1 + 3(β-1)

Potenza energetica N = γ * Q * H

γ = peso dell'unità di volume

Q = volume nell'unità di tempo

Teorema di Bernoulli esteso ai moto vario

(Moto non permanente)

H(s) - Ho = ∫_s v/di

Ho = carico della sezione iniziale

H(s) = carico nella sezione di ascissa S

Teorema di Bernoulli esteso ai fluidi di refi

(Fluidi non perfetti)

H(s) - Ho = ∫_s F(s) S(s) ds

S(s) = caduta rappresenta la perdita di energia subita dall'unità di peso del liquido, nell'unità di percorso

Teorema di Bernoulli esteso a fluidi comprimibili

(Fluidi comprimibili)

∫ z + p/^δ + v²/_{2g Js} + p/^δ Js = -1/8 ∫_Jv/dt

Equazione di Eulero per un moto con potenziale di velocità

Campi irrotazionali

pF = grad(p + ρψ - ρV²/2)

ψ: potenziale di velocità

Approssimazione notevole

Spinta su profilo piano in movimento

S_ϒ1 = p_0 (V^-U) = p∇W (∇·U)

V: velocità getto

U: velocità pistone

W: sezione trasversale del getto

Equazioni del moto dei fluidi reali

Equazione indefinita di equilibrio per fluido viscoso

p(F_∇) = grad·p - η∇²∇ + μg^λδΛη

(il termine - μ^λδΛη viene costì - effetti dovuti alla viscosità)

Equazioni Navier-Stokes (fluido incomprimibile)

p(_{F_∇}-∇) = grad·p - η∇²∇

Equazione globale dell'equilibrio dinamico per un fluido viscoso

τ + z + τ + η₁ - η₂ = H ∫ _{V ^Jv} Jv_ε dε

• T: azione tangenziale a superficie
• Azione di trascinamento: τ = δA_{< >}
• Sforzo tangenziale sulla parete: τ₀· = δ _{J Rs}
• R: ρ (raggio medio sezione)
• P: perimetro

Correnti in pressione

- Moto laminare in condotto circolare

U = _δJ/_4μ (D² - r²)

• Adottato parabolico alla ducti
• U_max = _δJ/_16μ D²
• Q = π _{δJ D}⁴/_{128 μλ}

Forza di Poiseuille

(Legge Q = S * δl _ΔP / Δx conservativo alle dissipazione)

V_MED = _δJ/_2μ R²

R = _D/₄ RAGGIO IDRAULICO

In generale

V_MED = _δJ/_μ R²

Moto piano indefinito

U = _δJ/_2μ (h² - y²)

• U_max = _δJ/_2μ h²
• Q = ₂³ _δJ/_μ bh³
• V_MED = _δJ/_3μ R²

Equazione globale dell'equilibrio dinamico in riferimento di volume

^G + ∫_n ρ_w v_wn dA = ∫_A ^{∫_ynv y_m} dA + p_n∫_Ao v_no dA + pV∫_V ^dy_V dA + p(y_vw)∫_V v_n dA + p_o v_nw∫_V dA - p_w ∫^v w_v^t dV

Forze

^Fv= ∫_w v_FF dW (Pressione)

^F= ∫_A v_A dA (Spinta)

v = μ ∫_A ^υ dA

Causa taglio superficie (superfici)

Flusso quantità di moto

^F= ∫_y ^πy_m dA + ∫_A v_A dA

Termini che tiene conto degli effetti di tutto

^F = ∫_y^v_locali dA (Inversori Locali)

Flusso turbolento

spinthe Pressioni esterne forze

Spalto Turbulente e Turbulente

Σ Forze, da di fatto resistenza motone

Turbulento Resistenza (Viscose)

Moto Viscosso (Turbulento)

(F) Spalte (Moto Turbulento)

In periodo in un caso, a cui si ha moto turbolento, segui funzioni _in (Viscosse) a caso, veri Turbolenti a densità, spaziò e rimanente di parole spessi parti Turbolente.

Distribuzione della velocità mediateorica lungo un regolo nel mototurbulento

• Indice dimensionale
• Moto laminare
• Moto turbolento
• Moto di transizione

Coefficiente

C_o1 = X V M / D

C_o3 = γ₁ PV²

C_o = γ₂ PV²

γ_o costante di irregolarità

Resistenza notevole soprattutto sperimentale

Formula di Von Karman

C_o2 = P V D

Numero di Reynolds

Piccolo CR < 2000 → Moto laminare

Intermedio (2500 < Re < 10⁵) di transizione

Grande C Re ≥ 10⁵ → Moto turbolento

P = 3.8 Z₁ ⇒ J = 2 V² / 2 D δ

Formula di Darcy-Weisbach

(vale per qualunque tipo di moto)

Legge la parte che carico al comportamento del moto

λ = 64 * Re^-1

λ = 0,316 * Re^-0,25

Formula di Blasius

In generale J = KV^m / Dⁿ

m + n = 3

Formule Parti che (molto possibilmente lunedì)

Formula di Chezy

∑ = ^V²/_cR = ^2V²/_cD

C = ϕ(^ε/_D)

Bazini

C = 87 ¹/_√R

Kitter

C₁ = 100 ¹/_√S

Gauckler - Stricker

C_c = R^1/6

Formula di Darcy

∑ = uQ = U = ^B/_S → B = 6,636 /_C²

Perdita di carico localizzate

Perdita per brusco allargamento (variando da aetica della nuova parte)

ΔH = ^{(V₁ - V₂)²}/_2g

V₁ = velocità che aveva

V₂ = velocità che assume

Perdita per sbocco

ΔH = ^V2/_2g

Perdita per imbocco

ΔH = ^{0.5 V2}/_2g

ΔH = ^V/_2g ^{(1/_mC - 1)}²

C_c = 0,61

Formula pratica sempre valida

DARCY - WEISBACH

delledelle COLEBROOK E WHITE

forma un insieme

Formula di Supino - Damiani

Re_lim COLEBROOK WHITE

moto nei tubi scabri

Condizioni di moto

Assolutamente turbolento

Numero di Reynolds

di rvelocità che avera

velocità che assume = scabrezza relativa

U* = velocità di attrito = viscosità cinematica [10^-6 m²/s] = peso specifico