Formulario di Fondamenti di automatica

RAPPRESENTAZIONE DI UNA FUNZIONE DI TRASFERIMENTO

s +4 s +4

G (s) = = (s + 1) (s + 2)

2

s + 3s + 2 S = ¡1

1

S = ¡2

2 MAPPA POLI E ZERI

G(s) espresso in forma p-z

- ogni polo è espresso da una X

- ogni zero è espresso di uno O

ES. Z 1

1

s +3

G (s) = (s + 1) (s + 4) (s ¡ 1)

P

P P 3

1 2 k

Se ho più poli coincidenti, si esprimono con [x] rapporto tra l'uscita a regime

y (1)

Costante di guadagno statico k =

1 e l'ingresso a regime

u (1)

• se l’uscita sarà ampli cato di ·

k > 1

1 1

• se l'uscita sarà attenuata di

k < 1

1

ANTITRASFORMATA DI LAPLACE (UNILATERA) ¡1 1

fF (s)g = f (t) t.IE

L estos

s

METODO PER ANTITRASFORMATA (SENZA UTILIZZARE LA DEFINIZIONE) DI UNA QUALUNQUE

USCITA Y(s) FUNZIONE RAZIONALE FRATTA

½ ¾

N (s)

¡1 ¡1

fY (s)g = dove N e D sono polinomi

L L D (s)

Considero a parte il caso particolare di Y(s) funzione propria ma non strettamente

(deg (N) = deg (D)). Se N(s) e D(s) hanno lo stesso grado posso e ettuare la divisione tra N(s) e D(s):

funzione

strettamente

Y (s)

1 propria

N (s) R (s)

F (s) = = q + ¡1 ¡1 ¡1 ¡1

¡1 ¡1

0 f1g + fY (s)g )

=> fY (s)g = fq + Y (s)g = fq g + fY (s)g = q L

L L L L L

0 1 0 1 0 1

D (s) D (s) ) Y (t) = q ¢ ± (t) + Y (t) ) Se Y(s) è proprio ma non strettamente,

Polinomio 0 1

quoziente l'uscita nel campo mostrerò un impulso

di grado zero in t=0

SCOMPOSIZIONE IN FRATTI SEMPLICI

D(s) ha tutte le radici di molteplicità

1º CASO molteplicità pari a 1 (radici e poli distinti) D (s) = (s ¡ p ) (s ¡ p ) : : : (s ¡ p ) deg (D) = l

1 2 l

N (s)

F (s) = D (s) k

X

2 r = l

D(s) ho delle radici a molti. algebrica > 1 i

D (s) = (s ¡ P ) : : : (s ¡ P )

2° CASO 1 k i=1

D(s) ha tutte le radici di molteplicità

1º CASO molteplicità pari a 1 (radici e poli distinti) D (s) = (s ¡ p ) (s ¡ p ) : : : (s ¡ p ) deg (D) = l

1 2 l

espressione di F(s) in forma di somma

N (s) k k k di fratti semplici, dove ki sono costanti e

2 l

1

F (s) = = + + ::: +

(s ¡ p ) (S ¡ p ) (s ¡ pe) s ¡ r s ¡ p s ¡ p

2 l

1 2 1 da calcolare

½ ¾ ½ ¾

1 1 =

¡1 ¡1 ¡1

Supponendo di aver calcolato le Ki ) fF (s)g = · ¢ + : : : + k ¢

L L L

1 l

s ¡ p s ¡ p

1 l

l

X

¡ ¢

p t p t P t

= k e + : : : + k e ¢ 1 (t) ) f (t) = k e ¢ 1 (t)

1 l i

1

1 l =1

i

PROCEDURA PER IL CALCOLO DEI ki (CASO 1)

Voglio trovare k1

N (s) k k

1 l

F (s) = = + ::: +

s ¡ p s ¡ p

(s ¡ p ) : : : (s ¡ p )

1 l 1 l

Moltiplico entrambi i membri per (s-p1) e valuto i membri in s=p1 :

N (s) N (s) IN GENERALE

¢ (s ¡ p ) js = p => k = j k = F (s) ¢ (s ¡ p ) js = p

1 s=p

1 1 i i i

1

(s ¡ p ) : : : (s ¡ p ) (s ¡ p ) : : : (s ¡ p )

2 l

1 l

CASO 1B)

F (s) ha poli distinti ma ha almeno una coppia di poli complessi e coniugati

1º metodo 2 2

p = ¾ § jw : (s ¡ ¾) + w = (s ¡ ¾ + jw) (s ¡ ¾ ¡ jw)

1

Poli complessi 2

N (s) N (S)

F (s) = = h i

D (s) 2 2

D (s) (s ¡ ¾) + w radici reali

K k k

1 2 l

) F (s) = + + ::: +

S ¡ ¾ ¡ j! 5 ¡ ¾ + j! (s ¡ p )

l

: - calcolo anche k2 -

Calcolo K1 · = F (s) (s ¡ p ) js = p

1 1 1

e

Denoto k = w + jv k = u ¡ jv

1 2

Calcolo separatamente le anti-trasformate dei termini ai poli complessi

2º metodo ®s + ¯ · k

3 l

N (s) N (S) = + + ::: +

h i

F (s) = = h i s ¡ p s ¡ p

2

D (s) 2 2

(s ¡ ¾) + w 3 l

2

D (s) (s ¡ ¾) + w

h i N (s)

2 2

) F (s) ¢ (s ¡ ¾) + w j = j =

s=¾+j! s=¾+j!

D (s) =0

=0 k i

h

l

h i h i 2 2

¾) +w

+:::+ ¢ (s¡

®s + ¯ · 3 s ¡ p

2 2

2 2 js = ¾ + j!

= ¢ (s ¡ ¾) + w + ¢ (s ¡ ¾) + w js = ¾ + jw

h i l

s ¡ p

2 2

(s ¡ ¾) + w 3

h i

2 2

) F (s) ¢ (s ¡ ¾) + w j = ®s + ¯j = ® (¾ + j!) + ¯ = ®¾ + ¯ + j®! )

s=¾+j! s=¾+j!

h i ®s + ¯

)

2 2 RISOLVO E TROVO α e β ANTITRASFORMATA DI

) F (s) ¢ (s ¡ ¾) + w j = ®¾ + ¯ + j®! )

s=¾+j! 2 2

(s ¡ ¾) + !

k

X

e r = l

D(s) ho delle radici a molti. algebrica > 1 i

D (s) = (s ¡ P ) : : : (s ¡ P )

2° CASO 1 k i=1

k

X

N (s)

F (s) = r = l = deg (D (s))

r

r r i

1 2 k

(s ¡ p ) ¢ (s ¡ p ) ¢ :::: ¢ (s ¡ p )

k

1 2 i=1

Considero il polo i-esimo: a tale polo di molteplicità ri corrispondono ri termini nell'espansione in fratti semplici

r

k

k k k X X

i k

ir

i i2 ij

i

1 + + : : : + ) F (s) = +1

r ¡j

¡1

r

r i

(s ¡ p )

(s ¡ p ) s ¡ p

i

(s ¡ p )

i i

i=1 j=1

i i

i CALCOLO DI Kij

Considero l'i-esimo polo a molteplicità ri al quale sono associati

i termini:

k k

i1 i r

2 i

+ : : : +

r i

(s ¡ p ) (s ¡ p )

i i

Calcolo Ki1: =0 =0

· ¸

· · ·

i i ir

r r r

r =

1 2 i

i i i

i

F (s) ¢ (s ¡ p ) js = p = ¢ (s ¡ p ) + ¢ (s ¡ p ) + : : : + ¢ (s ¡ p )

i i i i

i r r ¡1

i

(s ¡ p ) s ¡ p r

i

(s ¡ p )

i i

i

r i

= · = F (s) ¢ [(s ¡ p ) ] js = p

i i

i1

Derivo r i

F (s) ¢ (s ¡ p ) :

i h i

d d h i

r r ¡1 r ¡2

i

[F (s) ¢ (s ¡ p ) ] = i

· + · ¢ (s ¡ P ) + : : : + · ¢ (s ¡ p ) = i

· + 2 (s ¡ p ) ¢ · + : : : + · (r ¡ 1) (s ¡ p ) =

i i i ir i i

i i ir i

i i 2 3 i

i

1 2

ds

ds d r i

) · = [F (s) ¢ (s ¡ p ) ] js = p

i i i

2 ds 2

1 d r

Calcolo la derivata seconda i

) · = ¢ [F (s) ¢ (s ¡ p ) ] js = p

i i i

3 2

2 ds

j¡1

1 d r

GENERALIZZATO: 8j 2 f1; : : : ; r g

i

· = ¢ [F (s) ¢ (s ¡ p ) ] js = p

ij i i i

j¡1

(j ¡ 1) ! ds

TEOREMA DEI RESIDUI

Se de nisco "residuo" del polo i-esimo la costante:

la somma dei k residui è:

· = · (8i 2 f1; : : : ; kg) )

i ir i

8 n ¡ m> 1

0 m¡1

m

k < b S + b S + : : : + b

X 1 0

m m¡

F (s) =

b

k = n

i n n¡1

n = m +1 + : : : + a

a S + a S

: n n¡1 0

a

i=1 n SCHEMI A BLOCCHI

BLOCCO DI GUADAGNO G(s) PUNTO DI PRELIEVO

Y (s) = G (s) ¢ U (s)

se s

NODO SOMMATORE y (t) = u + u + u

1 2 3

ms Y (s) = U (s) + U (s) + U (s)

1 2 3

we

INTERCONNESIONI NOTEVOLI G (s) = G (s) ¢ G (s)

INTERCONNESSIONI IN SERIE: 1 2

INTERCONNESSIONI IN PARALLELO: G(S) = G (s) + G (s)

1 2

Y (s) G (s)

INTERCONNESSIONI IN RETROAZIONE: G (S) = =

0 R(s) 1 + G (s) ¢ H (s)

SISTEMI DEL PRIMO ORDINE

dy du con (altrimenti sarebbe un sistema statico)

a + a y = b + b u a 6

=0

1 0 1 0 1

dt dt ( rapporto tra la trasformata dell’uscita forzata e la

trovo la funzione di trasferimento trasformata dell’ingresso

f a

b 0

poloinp = ¡

0 1

s + a s ¡ z

1

Y (s) b s + b b b b ) G (s) = k ¢

1 0 1 0

1 0

) G (s) = = = ¢ => zeroinz = ¡ s ¡ p

1

a b

0

U (s) a s + a a 1

s +

1 0 0 b 1

k =

a 0 (f.d.t. di un sistema del I ordine)

1 a 1

b 1

1 ¡ p

b z

0

® = = =

a 1

1 z

¡

a p

0 1 + ®¿s

G(s) = k ¢ 1 + ¿s )

ANALISI DEI SISTEMI LTI DEL I ORDINE PRIVI DI ZERI (alfa=0

Voglio trovare la risposta a 1(t). Tale risposta prende il nome di risposta indiciale

0 1

t

¡

@ A

¿

Y (t) = k ¢ 1 ¡ e ¢ 1 (t)

f y(1)

¿> 0 ) p< 0 )

so y (1) = k ) k = ) y (1) = k

L'uscita ho un regime pari a u (1)

t

L'uscita diverge esponenzialmente che è un esponente positivo

) ¡

¿< 0 ) p> 0 ¿

so e

a causa del termine k< 0

y (1) ! §1 se k> 0

L'uscita diverge linearmente

¿ ! +1 ) p = 0 )

so

Calcolo del tempo di assestamento all' di un sistema del I

"q (t )

0 s;"q 0

ordine senza zeri

³ ´

"

t = ¡¿ ¢ log

s;"q 0 100