Formulario Fondamenti Di Automatica

Gaspare Mascolino © Formulario Fondamenti Di Automatica {

y = μu g =0

Problemi di controllo Stabilità su polinomio caratteristico di A μ =

Guadagno:

I problemi di controllo consistono nell’imporre un Se il sistema è AS allora i coefficienti del polinomio g

lim s G (s) g ≠ 0

s−>0

funzionamento desiderato ad un processo assegnato. caratteristico hanno lo stesso segno (cond. necess.)

Il Controllore (o Regolatore) determina l’andamento della N.B: Nelle matrici 2x2 è una cond. neccess. e suff. 2 2

s + 2ξω s + ω

Pulsazioni naturali e smorzamento:

variabile di controllo. n n

Stabilità sulla traccia di A

Controllore + Processo = Sistema di controllo 2

a = − ξω b = ω 1 − ξ

n n

Il Controllore si dice in: Se la traccia è = 0 il sistema non può essere AS.

•

Anello aperto, se possiede informazioni solo sul Se la traccia è > 0 il sistema è I (1 autovalore > 0)

• • Forma canonica di raggiungibilità

segnale di riferimento ed eventualmente sul disturbo. Criterio di Routh

Anello chiuso, se possiede informazioni sulla variabile

• 0 1 0 0

controllata e quindi l’azione di controllo dipende anche Affinchè un sistema sia AS i coefficienti della prima [ ]

A = B =

0 0 1 0

da essa. colonna devono essere concordi (righe n+1). −α −α −α 1

0 1 n−1

[ ]

h h

1

Sistemi Dinamici a Tempo Continuo (SD a TC) [ ]

1 i+1 β β β

C = D = β

w = − d et 0 1 n−1 n

Lineare, f e g lineari in x e u. i

• k k

k 1 1 i+1

Stazionario o Tempo Invariante, se in f e g non

• Forma canonica di osservabilità

compare t Linearizzazione

Proprio, se in g non compare u

• ′

x (t) = A x (t) + Bu(t) 0 0 −α β

0 0

{ y(t) = Cx (t) + Du(t)

f (x, u ) = 0 1 0 −α β

A = B =

1 1

Equilibrio y(t) = g(x, u ) 0 1 −α β

∂f (x, u ) ∂f (x, u ) n−1 2

A(t) = B(t) =

∂x ∂u C = [0 1] D = β

0

Movimento (Formula di Lagrange) n

∂g(x, u ) ∂g(x, u )

t Schemi a blocchi

At A(t−τ)

∫

x (t) = e x (0)+ e Bu(τ)dτ t ≥ t C(t) = D(t) =

0

0 ∂x ∂u G (s) = G (s)G (s)

Serie:

t a b

At A(t−τ)

∫

y(t) = Ce x (0) + C e Bu(τ)dτ + Du(t) t ≥ t 0 G (s) = G (s) + G (s)

0 Parallelo: a b

Rappresentazioni equivalenti G (s)

a

x = T x (t) G (s) =

Principio di sovrapposizione degli effetti Retroazione:

t ±

1 G (s)G (s)

−1 −1

A = TAT B = T B C = C T D = D a b

t t t t

′

′

′ ′ ′

′ ′

′

′ ′ ′

′

u (t) = α u (t) + βu (t) x = α x + βx

Se e t 0 t t

0 0 Risposte in frequenza

Matrice di raggiungiabilità

allora: Sinusoide

•

′

′

′ ′ ′