Formulario Fondamenti Di Automatica

Anello chiuso, se possiede informazioni sulla variabile

• 0 1 0 0

controllata e quindi l’azione di controllo dipende anche Affinchè un sistema sia AS i coefficienti della prima [ ]

A = B =

0 0 1 0

da essa. colonna devono essere concordi (righe n+1). −α −α −α 1

0 1 n−1

[ ]

h h

1

Sistemi Dinamici a Tempo Continuo (SD a TC) [ ]

1 i+1 β β β

C = D = β

w = − d et 0 1 n−1 n

Lineare, f e g lineari in x e u. i

• k k

k 1 1 i+1

Stazionario o Tempo Invariante, se in f e g non

• Forma canonica di osservabilità

compare t Linearizzazione

Proprio, se in g non compare u

• ′

x (t) = A x (t) + Bu(t) 0 0 −α β

0 0

{ y(t) = Cx (t) + Du(t)

f (x, u ) = 0 1 0 −α β

A = B =

1 1

Equilibrio y(t) = g(x, u ) 0 1 −α β

∂f (x, u ) ∂f (x, u ) n−1 2

A(t) = B(t) =

∂x ∂u C = [0 1] D = β

0

Movimento (Formula di Lagrange) n

∂g(x, u ) ∂g(x, u )

t Schemi a blocchi

At A(t−τ)

∫

x (t) = e x (0)+ e Bu(τ)dτ t ≥ t C(t) = D(t) =

0

0 ∂x ∂u G (s) = G (s)G (s)

Serie:

t a b

At A(t−τ)

∫

y(t) = Ce x (0) + C e Bu(τ)dτ + Du(t) t ≥ t 0 G (s) = G (s) + G (s)

0 Parallelo: a b

Rappresentazioni equivalenti G (s)

a

x = T x (t) G (s) =

Principio di sovrapposizione degli effetti Retroazione:

t ±

1 G (s)G (s)

−1 −1

A = TAT B = T B C = C T D = D a b

t t t t

′

′

′ ′ ′

′ ′

′

′ ′ ′

′

u (t) = α u (t) + βu (t) x = α x + βx

Se e t 0 t t

0 0 Risposte in frequenza

Matrice di raggiungiabilità

allora: Sinusoide

•

′

′

′ ′ ′

′ ′

′

′ ′ ′

′

x (t) = α x (t) + βx (t) y (t) = α y (t) + β y (t) Il sistema è completamente raggiungibile se il rango di

e | |

u(t) = Usin(ω t) y(t) = G ( j w ) Usin(w t + argG ( j w ))

2 n−1

M = [B A B A B . . . A B] 0 0 0 0

è pari a n.

r Serie di Fourier

• +∞ +∞

Stabilità jnw t jnw t

∑ ∑

u(t) = U e w = 2π /T y(t) = Y e

t − > ∞ 0 0

Matrice di osservabilità

AS: se e solo se i ML tendono a zero per

• n 0 n

Il sistema è completamente osservabile se il rango di

I: se e solo se almeno un ML non è limitato (div) n=−∞ n=−∞

• +∞ +∞

′ ′ ′ ′ 2 ′ ′

n−1 1 1

M = [C A C A C . . . A C′

] ∫ ∫

è pari a n.

S: se e solo se i ML sono limitati (né div né conv)

• jωt jωt

o u(t) = U( jω)e d ω y(t) = Y( jω)e d ω

2π 2π

−∞ −∞

Funzione di trasferimento

Stabilità su autovalori di A Esponenziale

•

−1

G (s) = C(sI − A) B + D λt λt

AS: se e solo se tutti gli autovalori sono < 0 u(t) = Ue y(t) = G (λ)Ue

• I: se almeno un autovalore è > 0

• Y(s) = G (s)U(s)

S/I: se tutti gli autovalori sono > 0 e ve ne sono = 0

•

Gaspare Mascolino ©

Diagrammi di Bode Criterio di Jury Compensazione di disturbi misurabili

2 2 2 2

ρ∏ (s + z )∏ (s + 2ζ α s + α ) μ∏ (1 + τ s)∏ (1 + 2ζ s /α + s /α ) C(s) = C = − H(s)/M(s)P(s)

Affinchè un sistema sia AS i coefficienti della prima

i i ni ni i i ni ni

i i i i

G (s) = = id

∏ ∏

s (s + p )∏ (s + 2ξ ω s + ω ) s (1 + T s)∏ (1 + 2ξ s /ω + s /ω )

2 2

g 2 g 2 colonna devono essere concordi (righe n+1)

i i ni i i ni

ni ni N.B: se Z > P si aggiungo P e/o si tolgono Z ottenendo

i i i i [ ]

h h

1

Modulo

• 1 v−i+1 una funzione che approssimi (decade) il disturbo.

l = d et v = n . elem ent i, ogni r iga v − 1

1 i

| |

μ μ h h

h

g π

Pendenza -g, in w = 1 => 20log| | e 0 dB = 1 r/s = 1/2 Hz

1 v i

Fase

• {

y = μu g =0

μ (ωT ) (ω τ)

Arg( ) - g90° | | R.d.f: + ∑arctan - ∑arctan Regolatori indusitriali di tipo PID

μ =

Z P 1 + sT

g

lim (z − 1) G (z) g ≠ 0

|

Arg(μ) = 0 per μ ≥ 0 − 180 per μ < 0 i

( ) z−>1 R = K (stabilire i par. per sodd. richieste)

PI p sT

Polare

• i

± (1 + sT )(1 + sT )

μ Sistemi di Controllo a Tempo Continuo (SC a TC)

Se g = 0 il diagramma inizia dal punto G(0) ( 0 dx/sx) 1 2

R = μ

L (s) = R(s)G (s) = R(s)T (s)P(s)A(s) = > N(s)/(N(s) + D(s)) PID

Se g < 0 il diagramma inizia dall’origine s(1 + sT )

L (s) p

Se g > 0 il diagramma parte all’infinito da - g90° F(s) =

Sens. Realizzazioni digitale di regolatori

1 + L (s)

Se il grado della funzione (P-Z) > 0 il diagramma termina Discretizzazione

1

ϕ

nell'origine con = diag. della fase. Se il grado è 0 S(s) = = 1 − F(s)

Sens. Comp

ω +∞ z − 1 z − 1

1 + L (s)

termina sull'asse reale nel punto: lim( -> ) G(s) R* (z) = R( ) R* (z) = R( )

R(s) EI

EA T zT

Q(s) =

Modulo Fa se Sens. dal Contr. s s

1 + L (s)

Z sx Su Su 2 z − 1

AS: se il p.c N(s) + D(s) ammette autovalori < 0 R* (z) = R( )

Zdx Su Giu′ TU T z + 1

Psx Giu′ Giu′ s

Criterio di Nyquist

Pd x Giu′ Su Un sistema in anello chiuso è AS se e solo se N è ben

definito (non definito se passa da -1) e riulta:

N = P (N = n gir i su − 1, P = n poli > 0)

Sistemi Dinamici a Tempo Discreto (SD a TD) d d

{

x (k + 1) = x (k) = x N.B = Per trovare N a volte occore stabilire l’intersezione

Equilibrio y(t) = g(x, u ) ϕ

con l’asse reale (Im = 0, = -180°)

Criterio di Bode

Movimento k−1 1. L(s) non ha poli a parte reale positiva

k−k k−i−1

∑

x (k) = A x + A Bu(i )

0 2. Il diagramma del modulo interseca 0dB una volta

k 0 ω : jω

pulsazione critica, diagramma taglia a 0 |L( )=1|

i=k 0 c c

k−1 ϕ : ω ω τ

fase in corrispondenza di arctan( *(T o ))

c c c

k−k k−i−1

∑

y(k) = C A x + C A Bu(i ) + Du(k)

0 k ϕ : ϕ

0 margine di fase, differenza 180° - | |

m c

i=k 0 Il sistema in anello chiuso è AS se e solo se:

{

Stabilità su autovalori di A μ > 0

L

| |

λ < 1 ∀i − 1 < λ < 1

AS: se e solo se

• i i ϕ > 0

m

| |

λ > 1

I: se almeno un autovalore di A

• i Errore dovuto al segnale di riferimento (linea andata

| |

λ ≤ 1

S/I: se tutti gli autovalodi A e ve ne sono con

• i cambio segno) gL +1

modulo uguale ad 1. s

1 = lim Y

e = lim Y

°(s) °(s)

∞ 1 + L (s) s + μ

g

L

s−>0

s−>0

Stabilità su polinomico caratteristico (cond. necess.) L

Errore dovuto al disturbo in linea di retroazione

ϕ /ϕ < 1

Se il sistema è AS il modulo di .

• μ s

L (s)

n 0 L

e = lim s N(s) = lim N(s)

ϕ

Se il p.c in z = 1 sia concorde con

• ∞ s−>0

i 1 + L (s) s + μ

g

L

s−>0 L

Se la sequenza dei coefficienti sia decrescente e > 0

• ϕ ω τ 180/π

RITARDO => a si sottrae (e)

ϕ

Se la somma dei coeff è < m c

• 0

Gaspare Mascolino ©

Numeri complessi Segnali a tempo continuo Segnali a tempo discreto

0, t <0 0, k <0

iθ { { { {

z = re z = r (cosθ + isin θ ) { {

0, k <0 0, k <0

0, t <0 0, t <0 sca(t) = r a m(t) = par (t) =

sca(t) = r a m(t) = par (t) = k(k − 1)

| |

z z 2 1 , k ≥ 0 k , k ≥ 0

t , k ≥ 0

1 , t ≥ 0 t , t ≥ 0 , t ≥ 0

1 1

2 2 | |

r = x + y z = = > z = 2

2

| z | = Traformata Zeta

| |

z z Trasformata di Laplace

2 2 +∞

∞ m−1

∫ −k

∑

F(z) = f (k)z

−st m m −k

F(s) = f (t)e dt ∑

z [ f (k + m)] = z F (z ) − z f (k )z

y

ar cta n se x > 0 k=0

0 k=0

x Teorema del valore inziale Teorema del valore inziale

y

ar cta n + π se x < 0, y ≥ 0 f (0) = lim sF(s) f (0) = lim F(z)

grad(D) > grad(N) -> grad(D) > grad(N) ->

x s−>∞ z−>∞

y

arg(θ ) = ar cta n − π se x < 0, y < 0 Teorema del valore finale Teorema del valore finale

x lim f (t) = lim sF(s) lim f (t) = lim F(z)

grad(D) > grad(N) -> grad(D) > grad(N) ->

π se x = 0, y > 0 s−>∞ s−>0 k−>∞ z−>1

2 π f (t) F(s)

− se x = 0, y < 0 f (k) F(z)

2 im p(t) 1 im p(k) 1

arg(θ /θ ) = arg(θ ) − arg(θ ) z

1

N.B = sca(t) sca(k)

1 2 1 2 s z − 1

z

1 k

αt a sca(t)

e sca(t)

Matrice di Jordan z − a

s − α

m

La indica quante volte compaiono i numeri nella

a az

1 k

a r a m(t)

αt

te sca(t)

m

diagonale mentre la di un autovalore indica il numero 2

2 (z − a)

g (s − α)

m ω

di blocchi di Jordan (esistono blocchi 1x1 = 1). zsin(θ)

sin(ωt)sca(t)

a sin(θ t)sca(t)

2 2

λ 1 0 s + ω 2

z − 2cos(θ)z + 1

1 ω

cos(ωt)sca(t) z[z − cos(θ)]

0 λ 0

J = cos(θ t)sca(t)

2 2

1 s + ω 2

z − 2cos(θ)z + 1

0 0 λ n Heaviside

Poli semplici:

r

Blocco di Jordan: (2x2 della Matrice J) Autovalori nella i

diagonale e 1 sopra la diagonale. s + p

i −pi t

y(t) = r e + …)sca(t)

Potenza di matrice i

k

ϕ(k) = A con A diagonalizzabile. Poli multipli:

ϕ (k) = di ag(λ , . . . λ ) r

r

D 1 n i(k−1)

ik

n +

k

∑

ϕ = r λ (s + p ) (s + p )

n n−1

generico elemento i i

i, j (i, j)m i k−1 k−2

t t

m=1 −pi t −pi t −p

y(t) = r e + r e + α e t