Formulario Fondamenti di Automatica

Formulario di fondamenti di automatica

Sistemi lineari

Equilibrio

T-continuo

Ax + bū = 0
y = cx + dū
A non singolare: -1 -1 -1
-A - x̄ = bū
ȳ = [d cA b]ū = dū + cx̄
µ = d cA b

A singolare: possono esistere infiniti equilibri oppure nessuno, ma non uno.

T-discreto

(I A)x = bū
y = cx + dū
(I A) non singolare:
-1 -1 -1
- - - - - x̄ = (I A) bū
ȳ = [d c(I A) b]ū
µ = d c(I A) b
(I A) singolare: possono esistere infiniti equilibri oppure nessuno, ma non uno.⇐⇒ ∈A: det(I A) = 0

Autovalori

ρ(A).

Formula di Lagrange

x(0) u(·)

Sia noto e

T-continuo

ẋ = Ax + bū t
ZAt A(t−τ)x(t) = e^At x(0) + e^A(t−τ) bu(τ)dτ₀

T-discreto

x(t + 1) = Ax(t) + bu(t) t−1
X_t t−1−ix(t) = A^t x(0) + A^t−1−i bu(i)
i=0

Movimento libero e matrice di transizione

Φ(t) = L t - A t discretot̃∃ ∀x(0).t̃ > 0 : x(t̃) = A x(0) = 0

Sistemi a memoria finita

Segue che è nilpotente e Ln∆(λ) = λ quindi .A

Formulazione esterna (I/O)

(n) nx s x.

T-continuo:

Si sostituisce con l'operatore

T-discreto:

Si sostituisce con l'operatore

Funzione di trasferimento

N(s)−1

G(s) = [c(sI A) b + d] y = G(s)u G(s) = ∆(s)AN(s) n < 0 d = 0.

Polinomio di grado se e solo se p = ρ(A)

Poli: iq
Zero: i

Se i polinomi non sono coprimi si hanno casi critici.

Regime stazionario

∀t ≥u(t) = ū x(t) = x̄ y(t) = ȳ 0

α y = β ū.

T-continuo

n nα = 0:

• Se n βn ȳ = ū
  µ = G(0)αn
• ⇐⇒α = 0 (det(A) = 0):
• Se o esistono infiniti equilibri o non esistono.

T-discreto

P P(1 + α )y = (b )ū.

P >βi

• Se i P βi ȳ = ū
  µ = G(1)P1 +
• αiP ⇐⇒ − ⇐⇒ ∈1 + α = 0 (det(A I) = 0 1 ρ(A)):
• Se o esistono infiniti equilibri o non esistono.

Forma canonica di controllo

n n−1 · · ·β s + β s + + β

0 1 n n n−1 n−2 · · ·∆ (λ) = λ + α λ
+ α λ + + α

G(s) = 1 2 nA∆ (s)A  ···0 1 0 0 0···0 0 1 0 0     ···0 0 0 0 0  A = B =  .. .. .. .. ... ..  .. . . .    ···0 0 0 1 0  −α −α −α · · · −α 1n n−1 n−2 1 · · ·β β β β β

C = D = 0n n−1 n−2 1

In la matrice si implementa nel modo seguente, con "alpha" vettore dei coefficienti ordinatiMatlabdel polinomio caratteristico.

A=zeros(n,n)+diag(ones(n-1,1),1);

A(n,[n:-1:1])=-alpha;

Stabilità

Studio del solo movimento libero. Dipende solo dalla matrice A.

Tipi di stabilità

∀x(0).x (t) = Φ(t)x(0)

• Asintotica stabilità: Il sistema è circa all’equilibrio in .L ∀x(0) ∃x̃(0) ̸x (t) : lim Φ(t) = 0.
• Semplice stabilità: è limitato e t→∞L∃x̃(0) ∥x → ∞.: (t)∥
• Instabilità: L

Teorema 1 (Asintotica stabilità e convergenza verso l’equilibrio): Sia un sistema ad ingresso ∀t ≥ ∀ū ∃!u(t) = ū 0. x̄ : costante tale che Il sistema è asintoticamente stabile se e solo se ∀x(0).x(t) x̄ (∃! x̄⇐⇒Σ è asintoticamente stabile → ∀x(0)x(t) x̄.

Sistemi di ordine 1

T-continuo

atx(t) = e^at x(0) A = [a]

• a < 0: Se Asintotica stabilità.
• b −x̄ = ū
• Equilibrio: a −1/aT = > 0
• Costante di tempo:
• a = 0: Se Semplice stabilità. a < 0: x(0) = 0.Se Instabilità. Diverge set-discreto

T-discreto

tx(t) = a x(0) A = [a]

• a > 1: Se Instabilità.
• a = 1: Se Semplice stabilità.
• 0 < a < 1: Se Asintotica stabilità. −1/T = log(a) > 0
• Costante di tempo:
• a = 0: Se Asintotica stabilità. Sistema nullo, convergenza in tempo finito (t−1 < a < 0: Se Asintotica stabilità.
• Il sistema oscilla con ampiezza sempre minore. −1/T = log(|a|) > 0
• Costante di tempo:
• −1:a = Se Semplice stabilità. Il sistema oscilla con ampiezza costante. −1:a < Se Instabilità. Il sistema oscilla con ampiezza sempre maggiore.

Sistemi di ordine maggiore a 1

A diagonalizzabile

T-continuo La parte immaginaria degli autovalori è ininfluente.

• ⇐⇒ ℜ(λ ∀iA ) < 0
• è asintoticamente stabile
• −1/ℜ(λλ : T = )Costante di tempo associata a ogni i i i
• ⇐⇒ ∃ ℜ(A λ̃ : λ̃) > 0
• è instabile ⇐⇒ ℜ(λ ≤ ∀i ∧ ∃ ℜ(A ) 0 λ̃ : λ̃) = 0
• è semplicemente stabile

Se ci sono autovalori complessi il sistema presenta oscillazioni. Se gli autovalori dominanti T = 2π/ℑ(λ ).sono complessi coniugati, il sistema oscilla con Dt-discreto Si considera il modulo degli autovalori.

• ⇐⇒ |λ | ∀iA < 1
• è asintoticamente stabile i −1/ |λ : T = log|λCostante di tempo associata a ogni i i i
• ⇐⇒ ∃ |A λ̃ : λ̃| > 1
• è instabile ⇐⇒ |λ | ≤ ∀i ∧ ∃ |A 0 λ̃ : λ̃| = 1
• è semplicemente stabile

Se ci sono autovalori negativi il sistema presenta oscillazioni.