Formulario Fondamenti di Automatica

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X Xr := a c := a =⇒i ij j ij ≤ ≤min c λ max ci j i jDj=1 i=13 Configurazioni notevoli

3.1 Integratore Rẋ(t) = u(t) y(t) = u(t) dtModello interno: G(s) = 1/sModello esterno: λ = 0Stabilità: è semplicemente stabile perché è regolare.λ = 0In parallelo: è semplicemente stabile perché è regolare.λ = 0In cascata: è debolmente instabile perché non è regolare.

3.2 Sistemi a memoria finitat̃ t̃∃ ∀x(0),t̃ > 0 : x (t̃) = A x(0) = 0 Φ(t̃) = A = 0Sistemi dove che è equivalente a dire: eL n⇐⇒A ∆ (λ) = λquindi la matrice è nilpotente ( ).A

3.3 Sistemi in cascatay (t) = u (t).• Se 1 2 ∪σ(A) = σ(A ) σ(A )• 1 2 ⇐⇒A A A• è asintoticamente stabile e sono asintoticamente stabili1 2⇐⇒A A A• è instabile forte e/o sono instabili forti1 2G(s) = G G (s)

3.4

Sistemi in parallelo u(t) = u(t) e y = y + y•

Se σ(A) = σ(A ) σ(A )• 1 2 ⇐⇒A A A• è asintoticamente stabile e sono asintoticamente stabili1 2⇐⇒A A A• è instabile forte e/o sono instabili forti1 2

G(s) = (G + G )(s)• 1 23.5 Sistemi in retroazione ±y (t) = u (t) = y(t) u = u y•

Se 1 2 1 2A A A• La conoscenza di e non porta a conclusioni su1 2GG(s) = (s)1• 1∓(G G )1 2 64 Sistemi non lineariẋ = f (x(t), u(t)) x(t + 1) = g(x(t), u(t))

4.1 Equilibrio f (x̄) = 0 f (x̄) = x̄per t.c. per t.d.

Gli equilibri, se esistono, possono essere molteplici;• Nessun equilibrio (Palla su scivolo);• Un equilibrio (Palla in una conca);• Un numero finito di equilibri, ma più di uno (palla su più conche) - no nei SL;• Un numero infinito numerabile di equilibri (palla su infinite conche) - no nei SL;• Un numero infinito non numerabile (palla

4.1.1 Stabilità

Non è il sistema a essere stabile o meno, ma il singolo equilibrio.

Instabilità: Un equilibrio è instabile se non è nessuno dei seguenti casi;

Stabilità locale: Una piccola perturbazione dello stato non porta il sistema lontano dall'equilibrio.

Asintotica stabilità: Qualunque piccola perturbazione viene asintoticamente riassorbita; {x(0) → B(x̄) = : x(t) x̄}.

Bacino d'attrazione: nB(x̄) =.

Stabilità globale: L'equilibrio è detto globalmente stabile se R.

4.2 Linearizzazione x̄

Si definisce sistema linearizzato nell'intorno il sistema lineare che si ottiene con lo sviluppo di Taylor al primo ordine.

∂f 2· ·δ ẋ(t) = f (x̄) + δx(t) + o(δx(t) ) δ ẋ(t) = J(x̄) δx(t)∂x x̄

4.2.1 Teorema di linearizzazione

J(x̄) ⇒ x̄• è asintoticamente stabile.

stabile⇒ ℜ(λ ∨ |λ | ∀iJ(x̄) ) < 0 < 1– asintoticamente stabile i iJ(x̄) =⇒ x̄• è esponenzialmente instabile è instabile⇒ ℜ(λ ∨ |λ |J(x̄) ) > 0 > 1 i– esponenzialmente instabile per qualchei iJ(x̄) =⇒• è debolmente instabile o semplicemente stabile nessuna conclusione5 Raggiungibilità = 0).

Lo studio della raggiungibilità si occupa solo del movimento forzato (x(0)(R t −exp A(t τ ) bu(τ ) dτ t.c.0x(t) = Ψ(t)u Ψ(t) =[0,t) t−1 t−1−iP A bu(i) t.d.i=075.1 Matrice di raggiungibilità 2 n−1 b Ab A b . . . A bR = ⇐⇒ ⇐⇒ ̸(A, b) rank(R) = n det(R) = 0è completamente raggiungibile5.2 Legge di controllou = kx + v, (A + kb).Se allora la nuova matrice oggetto di studio diventa5.3 Sistema stabilizzabile ∃k(A, b) (A + bk)si dice stabilizzabile se tale che

è asintoticamente stabile.(A, b)• Se è completamente raggiungibile, allora è stabilizzabile.(A, b) A• Se non è completamente raggiungibile, si possono scegliere solo gli autovalori di . SeRA (A, b)di suo è asintoticamente stabile, allora è stabilizzabile.N R6 Osservabilitàx̄ [0, t]è uno stato non osservabile in se lasciando evolvere il sistema in movimento libero si trova∀τ ∈y(τ ) = 0 [0, t].in uscita (cioè in uscita non si osserva nulla.6.1 Matrice di osservabilità  ccA O =  .. . n−1cA⊥T −X = ker O = [Im O ] dim(X ) = n rank ON O N O⇐⇒(A, c) dim(X ) = 0è completamente osservabile N O⇐⇒ ⇐⇒ ̸ ⇐⇒ {0}rank O = n det O = 0 X =N O6.2 Ricostruzione dello stato→ ∀e(0) ⇐⇒e(t) 0 (A + lc) è asintoticamente stabile.6.3 Sistema rivelabile ∃l(A, c) (A + lc)si dice

rivelabile se tale che è asintoticamente stabile, cioè se ammette un ricostruttore. (A, c) • Se è completamente osservabile, allora è rivelabile. (A, c) A • Se non è completamente osservabile, si possono scegliere solo gli autovalori di . Se RA (A, c) di suo è asintoticamente stabile, allora è rivelabile. N R 87 Sintesi del regolatore Un regolatore è l'unione di legge di controllo e ricostruttore dello stato. ẋ A bk x b= + v = A x + b vreg reg˙ -lc A + bk + lc x̂ bx̂ Con cambio di coordinate se il sistema è c.r. e c.o.: A + bk bk-1à = T A T = reg reg 0 A + lc ·∪ (λ) = ∆ (λ) ∆ (λ)σ( à ) = σ(A + bk) σ(A + lc) ∆reg A+bk A+lcà reg7.1 Scomposizione in 4 parti di Kalman (A, b, c) z = T x. Un sistema è scomponibile in 4 parti con una trasformazione

d   
  0 0 0 A 0d
• Completamente raggiungibile     bA Aa aab −, ,0 A bb b
• Completamente osservabile  A Ab bd  −, c c, b d0 A d
• Completamente raggiungibile e completamente osservabile(A , b , c )a b b (R, O) b).
• La funzione di trasferimento descrive solo la parte (cioè il blocco−1 −1− − {poli}G(s) = c(sI A) b = c (sI A ) b = G (s) = σ(A )b b b b b⇐⇒G(s) = nGrado del denominatore di Il sistema è c.r e c.o.
98 Stabilità esterna ⇐⇒ ⇐⇒(A, b, c) R, Oè esternamente stabile asintoticamente stabile(ℜ(p ∀i) < 0 t.c.i⇐⇒ ⇐⇒ {p }A : G(s)asintoticamente stabile poli diib |(p ∀i)| < 1 t.d.iA =⇒ (A, b, c)Teorema Se è asintoticamente stabile è esternamente stabile⇐⇒(A, b, c) A (A, b, c)
• Se è c.r. e c.o.: è asintoticamente stabile è esternamente

stabile

Risposte canoniche

9.1 Ingressi canonici

Impulso (imp(t) = 0 per t = 0, u(t) = imp(t) = +0, R imp(t) dt = 1-0)

• t-continuo:
  • Atg(t) := y(t) = ce^b = cΦ(t)
• t-discreto:
  • g(t) := y(t) = t-1 - cA^b = cΦ(t-1)b per t > 0

Scalino (≥1 t 0, u(t) = step(t) = 0 per t< 0)

Rampa (≥t t 0, u(t) = 0 per t< 0, u(t) qualunque t)

Z ZA(tτ) * y(t) = c e^bu(τ) dτ = g(tτ)u(τ) dτ =: g * u0

9.2 Trasformata di Laplace

L[αf(t) + βf(t)] = αF(s) + βF(s)

Linearità:

1 2 1 2h i h i2df(t) d f(t) ′2L - L - - = sF(s) f(0) = s F(s) sf(0) f(0)

Derivazione:

2dt dthR it 1L f(τ)dτ = F(s)

Integrazione:

s0L[f * h] = F(s)H(s)

Convoluzione

Traslazione (≤ ≤0 0 t T - sT)

h(t) = H(s) = F(s)e-f(t T) t > T

9.2.1 Trasformate notevoli

L[imp(t)] = 1 (Impulso)

L[step(t)] = 1/s (Scalino)

L[exp(at)] = 1/(s-a) (Esponenziale)

L[t^n * exp(at)] = n!/(s-a)^(n+1) (Esponenziale alla n)