Formulario automatica

1) Sistemi non lineari

Stati d'equilibrio

0 = f(x̄, x̄, ū) ➜ Ricavo x̄ detti pto d'equilibrio x̄.

0 = y(x̄, x̄, ū)

Stabilità pto equilibrio

A = {∂f/∂x, ∂f/∂u∂g/∂x, ∂g/∂u}➜ det |λI - A| se triangolare e λ com p.p. negativa ▲ Asint. stabile

Linearizzazione sistema intorno all'equilibrio

{Δẋ = (∂f/∂x) Δx + (∂f/∂u) Δu...Δy = (∂g/∂x) Δx + (∂g/∂u) Δu}➜ Inserisco il pto d'equilibrio trovato

Movimento stato ed uscita del sistema

Se ho delle c.i. e un ingresso a scalino (u(t) = δu(t)) posso usare LagrangeSe x(t₀) = pto equilibrio ho che x(t) è all'equilibrio ➜ no movimentox(t) = e ^A(t-t₀) x(t₀) + ∫ e ^A(t-τ) B δu(τ) dτ; y(t) = C e ^A(t-t₀) x(t₀) + ∫ C e ^A(t-τ) B δu(τ) dτ

2) Sistemi lineari

Valori λ t.c. Asintoticamente stabile

A = [...] ➜ det |λI - A| , se gli autovalori sono tutti λ p/parte reale negativa il sistema è asintoticamente stabile

Ricava l'espressione del movimento libero e forzato

Movimento libero: x(t) = e ^A(t-t₀) x(t₀) ➜ è quello dovuto al contributo delle c.i.

Movimento forzato: x(t) = ∫ e ^A(t-τ) B u(τ) dτ ➜ è quello dovuto al contributo degli ingressi

y(t) = ∫ e ^A(t-τ) B(x̄) d(τ) + D δu(t)

Se ho Δu(t) = u, u(t) perd ➜ x(t) = u(t) + u(t) = u(|t|)x(t) = δu(|t|)

1) Sistemi non lineari

• Stati d'equilibrio
  • 0 = f(...), x̄, ū₁ → Ricavo x̄, detti pto d'equilibrio
  • 0 = ẋ, x̄, ū₁
• Stabilità pto equilibrio
  • A = | ∂f/∂x , ∂f/∂u | → det |λI-A|
  • | ∂g/∂x , ∂g/∂u | Se triangolare e λ con P.R. negativa ▲ asint. stabile
• Linearizzazione sistema intorno all'equilibrio
  • Δẋ = | ∂f/∂x Δx + ∂f/∂u Δu | → Inserisco il pto d'equilibrio trovato
  • Δy = | ∂g/∂x Δx + ∂g/ ∂u Δu |
• Movimento stato ed uscita del sistema
  • Se ho delle c.i. e un ingresso a scalino (u(t) = s(t)) posso usare Lagrange
  • Se x̄₁(t₀) = pto equilibrio ho che x̅ è all'equilibrio e no movimento
  • x(t) = e^A(t-t₀) x(t₀) + ∫₀^t e^A(t-ξ) B u(t) dξ ; y(t) = Ce^A(t-t₀) x(t₀) + ∫₀^t C e^A(t-ξ) B dξ + D u(t)

2) Sistemi lineari

• Valori λ t.c. Asintoticamente Stabile
  • A = [...] → det |λI - A| se gli autovalori sono tutti a parte reale negativa il sistema è asintoticamente stabile
• Ricava l'espressione del movimento libero e forzato
  • Movimento libero : x(t) = e^A(t-t₀) x(t₀) è quello dovuto al contributo delle c.i.
  • Movimento forzato : x(t) = ∫₀^t e^A(t-ξ) B u(t) dξ
    • y(t) = ∫₀^t Ce^A(t-ξ) B dξ + D u(t) è quello dovuto al contributo degli ingressi
  • Se ho u(t) = ū(t) → x̄̇ = ū(t) = u̅p(t) x̅(t) = s̅c(t)

Traccia la risposta allo scalino trovata (y(t))

Y(t→0) da dove parte

Y(t→∞) a che valore tende

ζ = 1/1A con A > e^-At

T_a = 5.τ tempo assestamento

Ricava la fdt del sistema

• Sẋ: ẋ = x + x_u + U
• Sẋx: ẋx = x_u2 + x₁
• Y = x₁
• Ricavo Y(s) = F(s)U(s)

Ricava i poli della fdt

I poli sono le radici del denominatore

Se poli reali e distinti F(s)=0 → transitorio esaurito

T_a = ¹/_pd = s ↔ tempo assestamento

Se poli complessi coniugati F(s)=0 → transitorio esaurito

oscillazioni smorzate

T_a = 5.1/³/_ω con

• ζω = p.Re
• ∏^|∏ = p.Im

Traccia qualitativamente la risposta all'ingresso partendo dalla fdt

Y(s) = F(s)U(s)

Analiticamente Y(s) = ^A/_x + ^B/_x + ^C/_x = F(s)

Pongo i numeratori = e ricavo A.B.C.

Y(s) = A.□ + B.□ + C.□

ANTITRASFORMATA

Graficamente Y(t=0) = lim F(s).U(s)

λ→0

Y(t→∞) = lim F(s).s.U(s)

λ→0

T_a = 5.¹/_pd

3) Funzioni di trasferimento

• Diagrammi di Bode

Calcolo i poli (radici denominatore) → stabile se - instabile se +

Calcolo gli zeri (radici numeratore) → stabile se - instabile se +

M = fisso se non ho zeri o poli nell'origine

20_log |μ| → valore nel primo polo/zero

Se m=0 inizia lineare

±20 pendenza -20dB/1

Ogni polo la pendenza diminuisce di 20dB, per ogni zero incontrato aumenta di 20 dB

Se μ 1

Criterio di Routh-Hurwitz per i sistemi lineari tempo continui

Preso il polinomio caratteristico a_ssⁿ + a_s-1s^n-1 + ... + a₀ = 0 e riempita la tabella :

a_s a_s-2 a_s-4 ... 0

a_s-1 a_s-3 a_s-5 ... 0

───

k_1,4 k_1,3 ...

───

k_2,4 k_2,3

───

k_3,4 k_3,3 0

───

o altre righe due righe e, solo i coefficenti del polinomio caratteristico.

Quando N è pari, l’ultimo elemento della seconda viene posto a 0.

Gli elementi delle righe successive sono definiti come segue:

K_i.j = (K_i-1,1)(K_i,2) - (K_i-1,2)(K_i,1) / K_i-1,1

Condizione necessaria e sufficiente perchè tutte le radici del polinomio abbiano p.Re. negativa è che tutti gli elementi della prima colonna siano non nulli e con uguale segno.

Teorema della risposta in frequenza

Si consideri un sistema con F(s) con ingresso u(t) = a sin(wt), se il sistema non ha poli in iwl allora ammette un’uscita periodica, ottenibile per c.i. opportune, della forma

y(t) = A_ssin(wt + ɸ) con A = |F(iw)|

ɸ = ∠F(iw)

Se il sistema è asintoticamente stabile questa uscita deve descrivere il comportamento asintoto + c.z.

Come è definito il diagramma di Nyquist di una F(jw), criterio di stabilità di Nyquist

Il diagramma di Nyquist è definito come l’immagine nel piano complesso della circoclrercha di Nyquist tramite la funzione F(jw), si può ottenere facilmente dal diagramma polare per riflessione intorno all’asse delle ascisse.

Dato così assumiamo che gli eventuali autovalori nascosti siano a parte reale negativa.

Chiano P_L il num. di poli LIA a parte reale strettamente positiva.

N il numero di giri del diagramma di Nyquist intorno al -1 contati positivamente in senso antiorario, se passo per -1 N si dice ben definito

Il sistema è asintoticamente stabile se e solo se N è ben definito e N = P_L.

V definisci il concetto di margine di fase e l'utilità nella sintesi dei sistemi di controllo

ɸ_m = 180° - |ɸ_c| dove ɸ_c è la fase in corrispondenza della pulsaziaione critica wc che è la pulsazione alla quale il diagramma di modulo attraversa 0 dB del sistema Fwc lascato, ɸ_m piccolò più si avvicina al limite di stabilità.

Per Fmc 60° il sist. In anello chiuso è ben approssimato da un sistema a singolo polo (4 ordine).

Per marg. di 60° si ha buona approssimazione di un sist. Se con gancio col costo 1/10 w_mc.

E’ai limiti mc marg. di fase è tanto più si piccolo Fmc.