Formulario Analisi 2

Riassunto esercizi analisi ii: equazioni differenziali del primo ordine

Equazioni a variabili separabili

Y′ = a(t)Y′ = a(t)·b(y) → b(y)Y′ = a(t)dt + C∫ ∫b(y)

Problema di Cauchy

Y′ = a(t)·b(y) → Y(t) = Y con la seconda condizione si trovano le costanti C₀.

Equazioni differenziali lineari del 1° ordine

Y′ + a(t)·y = f(t) = eq. non omogenea

-A(t) -A(t) · ()Y = C·e + e ∫

Soluzione dell’eq. non omogenea:

Y′ + a(t)·y = 0 = eq. omogenea (quando f(t)=0)

-A(t)Y = C·e Soluzione dell’eq. omogenea:

a(t)dt∫

Equazioni differenziali del secondo ordine

Equazioni a coefficienti costanti (soluzioni EQ. OMOGENEA)

Y′′ + aY′ + bY = 0 2λ + aλ + b=0

Per trovare le soluzioni si scrive l’equazione caratteristica: Δ

In base a determinante (Δ) dell’equazione caratteristica si ha:

Δ > 0: Vuol dire che l’equazione caratteristica ha due radici reali e distinte e quindi tutte le soluzioni dell’equazione a coeff. costanti sono date da: λ₁t λ₂tC ·e₁ + C ·e₂

Δ < 0: Vuol dire che l’equazione caratteristica ha due radici complesse coniugate: iβ iβ λ = α + λ = α - e_{1 2} quindi tutte le soluzioni dell’equazione a coeff. costanti sono date da: αte · [C ·cos(βx) + C ·sen(βx)]_{1 2}

Δ = 0: Vuol dire che l’equazione caratteristica ha una sola soluzione di molteplicità due ed è quindi tutte le soluzioni dell’equazione a coeff. costanti sono date da: λte · (C + C ·t)_{1 2}

Soluzioni equazione NON omogenea

• Polinomio: ϑ = C ϑ = X · C
• Grado 0: ϑ = BX + C ϑ = X · (BX + C)
• Grado 1: ϑ = AX + BX + C ϑ = X · (AX + BX + C)
• Grado 2: ϑ = DX + AX + BX + C ϑ = X · (DX + AX + BX + C)

Se una radice dell’equazione caratteristica è λ=0, allora si moltiplica tutto per X.

Se l’equazione caratteristica ha una radice con molteplicità due, moltiplico per 2X.

Esponenziale

αt αte e )ϑ = A · ϑ = ·(A ·X α

Se è uguale a una radice dell’equazione caratteristica, si moltiplica tutto per X.

Se è uguale a una radice dell’equazione caratteristica e l’equazione caratteristica ha una radice con 2X molteplicità due, moltiplico per .

Polinomio + esponenziale + seno/coseno

Y’ + aY’ + bY = P_m(t) · e · cos(βt) oppure al posto di cos, si può avere sen(βt).

Se α + iβ 2 è soluzione dell'equazione caratteristica (λ + aλ + b=0), si cercano soluzioni del tipo: ϑ = Asen(βx) + Bcos(βx) ϑ = [Asen(βx) + Bcos(βx)]X · → λ=0, se una radice dell’equazione caratteristica è allora si moltiplica tutto per X.

Limiti

Per calcolare il limite si utilizzano le coordinate polari: x = ρ cosθ e y = ρ senθ, dove ρ = √(x² + y²).

Per vedere se il limite esiste si applicano 2 condizioni:

• Il limite NON deve dipendere da θ: lim (ρ cosθ, ρ senθ) = L indipendente da θ ρ→0
• Deve esistere questa disuguaglianza: g( )(, ) – L | ≤ | →0g( ) ρ Dove è una funzione che dipende solo da e che tende a

Calcolo differenziale per funzioni di più variabili

Derivate parziali

(...)( + ℏ,..., 0 0 0 0 )lim ( ,