Formulario Analisi 2

RIASSUNTO ESERCIZI ANALISI II

EQUAZIONI DIFFERENZIALI DEL PRIMO ORDINE

Equazioni a variabili separabili

Y′ = a(t)

Y’ = a(t)·b(y) --> b(y)

Y′ = a(t)dt + C

∫ ∫

b(y)

Problema di cauchy

Y’ = a(t)·b(y) →

Y(t )= Y con la seconda condizioni si trovano le costanti C

0 0

Equazioni differenziali lineari del 1° ordine

→Y’ + a(t)·y = f(t) = eq. NON omogenea ()

-A(t) -A(t) · ()

Y = C·e + e ∫

Soluzione dell’eq. non omogenea: ·

→Y’ + a(t)·y = 0 = eq. OMOGENEA (quando f(t)=0)

-A(t)

Y = C·e

Soluzione dell’eq. omogenea:

a(t)dt

∫

Dove A(t)= EQUAZIONI DIFFERENZIALI DEL SECONDO ORDINE

Equazioni a coefficienti costanti (soluzioni EQ. OMOGENEA)

Y’’ + aY’ + bY = 0 2

λ + aλ + b=0

Per trovare le soluzioni si scrive l’equazione caratteristica:

Δ

In base a determinante ( ) dell’equazione caratteristica si ha:

Δ > 0

• λ λ

Vuol dire che l’equazione caratteristica ha due radici reali e distinte e quindi tutte le soluzioni

1 2

dell’equazione a coeff. costanti sono date da: λ1t λ2t

C ·e + C ·e

1 2

Δ < 0

• Vuol dire che l’equazione caratteristica ha due radici complesse coniugate:

iβ iβ

λ = α + λ = α -

e

1 2

quindi tutte le soluzioni dell’equazione a coeff. costanti sono date da:

αt

e · [C ·cos(βx) + C ·sen(βx)]

1 2

Δ = 0

• λ

Vuol dire che l’equazione caratteristica ha una sola soluzione di molteplicità due ed è quindi

tutte le soluzioni dell’equazione a coeff. costanti sono date da:

λt

e · (C + C ·t)

1 2

Soluzioni equazione NON omogenea

➢ POLINOMIO →

ũ = C ũ = X · C

-grado 0: →

ũ = BX + C ũ = X · (BX + C)

-grado 1: →

2 2

ũ = AX + BX + C ũ = X · (AX + BX + C)

-grado 2: →

3 2 3 2

ũ = DX + AX + BX + C ũ = X · (DX + AX + BX + C)

-grado 0: λ=0,

e così via… se una radice dell’equazione caratteristica è

allora si moltiplica tutto per X. 2

X

Se l’equazione caratteristica ha una radice con molteplicità due, moltiplico per .

➢ ESPONENZIALE

→

αt αt

e e )

ũ = A · ũ = ·(A ·

X

α

Se è uguale a una radice dell’equazione caratteristica, si moltiplica tutto per X.

α

Se è uguale a una radice dell’equazione caratteristica e l’equazione caratteristica ha una radice con

2

X

molteplicità due, moltiplico per .

➢ Polinomio + esponenziale + SENO/COSENO

αt

Y’ + aY’ + bY = Pm(t) · e · cos(βt) oppure al posto di cos, si può avere sen(βt).

❖ α + iβ 2

è soluzione dell’equazione caratteristica (λ + aλ + b=0),

Se

si cercano soluzioni del tipo:

ũ = Asen(βx) + Bcos(βx) ũ = [Asen(βx) + Bcos(βx)]

X ·

→ λ=0,

se una radice dell’equazione caratteristica è

allora si moltiplica tutto per X.

LIMITI

Per calcolare il limite si utilizzano le coordinate polari:

x = ρ cosθ 2 2

√ +

Dove ρ =

y = ρ senθ

Per vedere se il limite esiste si applicano 2 condizioni:

1. il limite NON deve dipendere da θ

lim (ρcosθ, ρ senθ ) = L indipendente da θ

ρ→0

2. deve esistere questa disuguaglianza:

g( )

(, ) – L | ≤

| →0

g( )

ρ

Dove è una funzione che dipende solo da e che tende a

CALCOLO DIFFERENZIALE PER FUNZIONI DI PIU’ VARIABILI

DERIVATE PARIZALI )−( )

( +ℎ, ,

0 0 0 0 )

lim ( ,

La derivata parziale di f rispetto a X in (x , y ): =

0 0 0 0

ℎ

h→0 )

( , +ℎ)−( ,

0 0 0 0 )

lim ( ,

La derivata parziale di f rispetto a Y in (x , y ): =

0 0 0 0

ℎ

h→0

DIFFERENZIABILITA’

Equazione del PIANO TANGENTE:

)( )

= ( ) ( ( )( )

, + , − + , −

0 0 0 0

0 0 0 0

Per vedere se una funzione f è DIFFERENZIABILE, possiamo applicare il teorema della differenziabilità:

- se f ammette derivate parziali (rispetto a X e Y) in un intorno del punto (x , y )

0 0

- se le derivate parziali e sono continue

→allora f è differenziabile nel punto (x , y )

0 0

Quando non si può applicare il teorema, devo utilizzare la definizione:

)− ( )·ℎ ( )·

( +ℎ, +)−( , , − ,

0 0 0 0 0 0 0 0

lim = 0

2 2

√ℎ +

(h,k)→(0,0)

Quindi per la definizione, se questo limite esiste ed è = 0, la f è differenziabile.

DERIVATA DIREZIONALE ( +)−( )

0 0

lim

La derivata rispetto alla direzione V: = )

(

0

→0

) ( )

( , = , ⋅

0 0 0 0

( )

,

Dove è il gradiente della funzione nel punto (x , y ) e le sue componenti sono la derivata parziale

0 0

0 0

rispetto a X e Y nel punto (x , y ):

0 0

( ) ( ), ( )]

, = [ , ,

0 0 0 0 0 0

PUNTI CRITICI: MAX, MIN E SELLA

MASSIMI E MINIMI RELATIVI, PUNTI DI SELLA

2

La funzione f Є C (A) e considero il punto critico (x , y ).

0 0

Per trovare i punti di max/min e sella:

- trovo le derivate parziali della funzione rispetto a X e Y e le eguaglio a 0:

= 0

= 0

Quindi riesco a trovare i punti critici (x , y ).

0 0

- Considero la matrice Hessiana nei vari punti critici che ho trovato.

Hf(x , y )=

0 0

e in base al risultato del determinante della matrice Hessiana si possono avere diversi casi:

• det Hf(x , y ) > 0

0 0 ( )

, < 0

MAX relativo:

= 0 0

(x , y )

allora 0 0 ( )

, > 0

=MIN relativo: 0 0

• det Hf(x , y ) < 0

0 0

allora (x , y ) è un punto di SELLA

0 0

• det Hf(x , y ) = 0

0 0

non si può dire niente in generale, ma si deve vedere caso per caso

quando ho det Hf(x , y ) = 0 posso vedere il segno della funzione nell’intorno del punto

0 0

critico: →

> se la funzione è sempre NEGATIVA (x , y ) è un punto di MAX. relativo

0 0

→

> se la funzione è sempre POSITIVA (x , y ) è un punto di MIN. relativo

0 0

> se la funzione CAMBIA segno nell’intorno→ (x , y ) è un punto di SELLA

0 0

MASSIMI E MINIMI VINCOLATI

1. disegnare il dominio

2. vedere se esistono punti CRITICI INTERNI

per trovare i punti critici interni, svolgere il seguente sistema

(se torna impossibile, vuol dire che non esistono punti interni):

= 0

= 0

Per capire se questo è un punto di max, min o sella faccio gli stessi passaggi dei punti critici relativi.

Quindi calcolo la matrice Hessiana e il suo determinante e in base ai vari casi descritti precedentemente

stabilisco se è un punto di max, min o sella.

3. Stabilire se esistono punti CRITICI SULLA FRONTIERA

Per trovare i punti critici sulla frontiera, svolgere il seguente sistema:

(, ) = · (, )

dove e sono le derivate della funzione rispetto a x e y,

(, ) = · (, )

e sono le derivate della funzione del dominio rispetto a x e y,

(, ) = 0 è la funzione che troviamo nel dominio.

Svolgendo il sistema posso trovare vari punti.

A quel punto guardo che valore assume la funzione nei punti trovati e scelgo il valore massimo e il valore

minimo. INTEGRALI DOPPI

3 TIPOLOGIE DI RISOLUZIONE

1. Quando il dominio è una circonferenza posso utilizzare il cambio di variabili:

x= ρcosθ, y= ρsenθ , dxdy= ρdρdθ n m

2. Quando dal dominio capisco come varia X ([a, b])e la Y dipende da x [αx , βx ]

∬ ∫ ()

3. Quando abbiamo due condizioni, che possono essere riportate entrambe a condizioni di una

funzione si utilizza il cambio di variabili in (u,v) e il determinante della MATRICE JACOBIANA

1 < x + y < 2, 1 < 2x - y < 3

ESEMPIO: D= { }

ponendo: u= x + y e v= 2x- y pongo u e v a sistema e trovo la x(u,v) e la y(u,v).

A questo punto calcolo il determinante della matrice Jacobiana

(, ) (, )

(, ) = (, ) (, )

Adesso posso calcolare l’integrale:

∬ (, ) = ∬ ((, ), (, ))|(, )|

′

➔ Se all’interno dell’integrale ho un prodotto tra una funzione che dipende da x e una che dipende

da y posso separare i due integrali in dx e dy e moltiplicarli successivamente

∬ () · () = ∫ () · ∫ ()

[,][,]

➔ Se all’interno dell’integrale ho una somma tra una funzione che dipende da x e una che dipende

da y prima svolgo l’integrale in dx e dopo quello in dy (o viceversa)

➔ Se una funzione non dipende da x e dipende solo da y (o viceversa) posso spezzare i due

integrali:

∬ () = ∫ · ∫ ()

[,][,]

Se trovo un VALORE ASSOLUTO posso fare l’unione di due insiemi e sommare i due integrali nei rispettivi

insiemi.

Cambiamento di variabili in COORDINATE POLARI

X= ρcosθ

Y= ρsenθ

dxdy --> ρdρdθ

Quando cambio le variabili cambia anche il dominio, qui