Analisi matematica 2 - formulario

DI

O U

,

, 8 CE PER J

INTERN DOMINIO CRIMU

A

VINCOL IN

# PUN CUI

DEL SONO CLASSE

OU DI

,

, 03)

COwen VO(RO) (0 ,

= /

8

INTERN DOMINIO CE

A

VINCOL IN

PUN CUI

DEL

# OU SONO CLASSE

DI CRITI PER LA

,

, 03)

Lower (0

LAGRANGIANA VL(10) = ,

quota+I quota

il pint

Faccio ballotiaggro assoluto

min

ass

max

: e

f(x

7 4) =

ass

max ...

,

Se

QUANDO WEIERSTRASS

VALE

NON PUNTO PRECEDENTE

CERCO CANDIDAT Come Al

· BALLOTAGGIO CANDIDAR

del

· MIN (3)

Test

verifico sono max Di MONOTONIA

e

che CON

·

TH DEI MOUIPUCATORI

fornisce caudiolati

Ci i del

aASy )

2) bordo 4(x 0

cerco punti , = (RADIC MODUL)

C

f

PUNT 4 POTREBBERU

Sy WI ESSERE

NON

b) Di IN 2 ,

y)

E 4(x 0

2) VINCOLO

PUNT IN

DEL CUI =

,

4x 0

=

4x 0

=

d) IL

VAL

DOVE 4(x

TH E 3) 0

=

, y)

fx(X x4x(x y) 0

=

+ ,

,

fy(x y)

d4y2x 0

y) =

+ ,

, LINEARI

FORME DIFFERENZIALI

ho il dominio lo

1) vedo stellato

scrivo

se non se è

e

,

2) chiusa

e

w : 8

Y

1R2 > =

· - & -F

:az

Fe i

R5 =

p = =

· ax

differenziabile A

A dV

75 R

A

in =w

in

weesata ovvero

3) +

: :

* Y A

in ATTENZIONE

N

M

ower

. :

e

= = 7

A stellato

è A

in

we'esatta

D

oli We dusa A

primitive

we'

se in

o

esata = A A

A stellato connesso

D

convesso =

~

Trovo I 8

4) - =

IR2 y)dy

y)0x N(x

M(x

w

· = +

, , (M(X y) y(y)

y(y) t(x

facendo

3) 330x

-Cx

Calcolo

1) + +

, ,

, =

&Y

Calcolo y'(y)

ty(x y

2 eventuale

+

,

= ↓

4 )

41(y)+( evenivale

miticavo

che

Impongo

3) Ne ...

= ↓

(4(4)

facendo (2)

)

4143 (

Risalgo c c

a

4) +

=

+

+ ...

(m)

5) 2(Y)

che w(X

Dato y) (m)

y) c

t(X

2 D

= + +

= +

= ,

,

IR3 z)dx z)dz

Fr(x F3(X

Fz(X z)dy

w y

y

y

· +

+

, , ,

,

,

,

= /Fe(x z)

z)01x t(x 4(y z)

f(y z)

z) , x,

facendo

-2x

Calcolo

1) y

3 +

= ,

+ ,

, , ,

, &Y(y

or

2) calcolo z)

ty(X z)

y

= + ,

, , evenivale

-Y ↓

4

3) z)

Impongo (y

che .

Fz mitica <

+

e ...

= eventuale

, *

(8Y ↑(z) (n) Y(z)

Risalgo z) )

facendo

(1 (

z)dy

(y

a

4) + = +

+

...

,

, &7 Y'(z)

+=(x

5) z)

calcolo

N(z)

adesso 14 z)

- y

D e

= =

= +

, , ,

E

Impongo P(z)

> che Es Tricas

e evenivale

= ↓

(P(z)dz +(mm) ))

c

P(z)

7) Risalgo c

facendo l'integrate + = +

a 4(z) DV(X z)

z) z)

Y(y t(x

(3

8) ))

che

Dato y

c c

y +

=

= + = +

, ,

= , , ,

Su

Calcolo l'integrate [a b] IR

curvilineo w

5) U : +

,

ATTENZIONE in A 3

wesata

: 2(e(b)) -(e(a))

· x(yw -

= =

Regolare

~

·

ATTENZIONE : I D(2)

(1)

A

(1) ESATTA

W =

IN

/W D(3)

(2)

YO REGOLARE CHIUSA

GENERALMENTE

(2) 0 =

)

=>

= Ju

Jug (3)

DUN

FUe D(1)

REGOLARi

GENERALMENTE CONGIUNgoNO

(3) Stessi

che al

w w =

= ,

13

A ACR3

Sia F -

: z))

Un z)=(F1(X z)

F(X Fz(X

z) F3(X equivalentemente

Y y

y

y o

campo ,

, ,

, ,

, , ,

, , F3(x

z)dy

z)0x

F1(X Fz(X

f z)dz

01 e

Una y

W y

y

= +

+ ,

, ,

,

. . , ,

. A

zC+) in

(x(+) Regolare

13 y(t)

[a b]

Y (+)

Y sostegno

con

D

-> =

se :

· ,

, ,

= a

(

(0w [Fz(e(t)

l'integrale F3(y(+1)z'(t)]

Fz(e(t))y'(t)

curvilineo x(t) ot

= + +

1

l'integrate

lungo

lavoro F

del [Fzle(t) ='))

Fz(e(ty'(t)

campo x(t) FlyCt) olt

= +

+ chiusa

il qualunque

lavoro lungo

F generalmente

di

Fe conservativo Regolare

curva

se una

· A

contenuta nullo

in risulta detto F

POTENZIALE Oli

In 2

questo Viene

caso FeC(A) il

il risulta

di

A F

F è

dove

e IRROTAZIONALE in nullo

corore motore

e i

se

· (6 653 ,

651 -

IE E

AxF = -

- I conservativ

FEC(A) A

in =D F IRROTAZIONALE

se e

· , conservative

F

Finorazionale rispetto

FEC(A) stellato ad

A punto

ed D

un

è suo =

se

· ,

RICORDIAMO E CONSERVATVO

IRROTAzionale

CAMPO

ROTORE=O IL E

CHE SE IL =D =d

DOMINIO RETANGOLARE d)

[(x

b) d]

[c

[a

A =12

y) b

x y

x = =

= c

a

:

=

, ,

= =

, , D((x

M f(x

f(((A) 3)axdy

Sia ,

=

i due

ha risoluzioni :

,

Ia 1 8(x

ax ax

.

> "ay 1

I 8(x x ax

25 ,

.

NORMALE

DOMINIO

AcIR2 all'asse

olice Ispetto

Si NORMALE se

x B(x))

((x

E 4

[9 b]

,: IB +R2

Ia y) a(x)

continue b

a =

= =

: :

= =

, , ,

fra tra due funzioni

due edly

vaia numeri

ovvero x (adx(a,

D(x f(x

f(x ay

=((A) >

f 3)axdy ,

Sia , =

=

Qui l'integrate

l'ordine risolve funzioni

alle

rispetto

prima

conta au

; ?

funzione

Ma vaia tra costante

chi

capisco una una

come e

A [a 3]

L'INTERVALLU

DETERMINO

1) PROIETTO SUL'ASSEXE ,

UN b] ENTRA

[9 partire Questo

Esso

2) Faccio

punto UN assey

1

su E FILO

FILO

Fisso da

, .

B(x)

C(x)

GRAFICI

ATTRAVERSO

DOMINIO

ED DAL

ESCE =

/ B(x)]

[C(X)

Nell'INTERVALLO

VARIABILE y

FUNZIONE 8 DELLA SOL

LA

INTEGRA

SI

3) , b

[a

Nell'INTERVALLO

SARA'

INTEGRA RISULTATO VARIABILE

SOL

4) Si Nella X

IL CHE ,

COORDINATE

TH INTEGRALI DOPPI

CAMBIO GLI

PER

. f=C(E)

8 R

E EcIR2

->

: , w))

f(u R2

(h(u

&: v)

v)

E R2

A g(u (P(A) :

INVERTBILE E -

+ = , ,

,

,

,

1) A Area

di NULLA

un Insieme

In

eccetto siamo

0 in se

OPERIAMO SOSTITUZIONE

LA :

v)

(x n(u ,

= v)

y(u

y = , /e i

(se+ )

( ((af(n(u 121dude

u))

a) g(u 151

8xx A

axay

y/ in

0

= ,

, ,

=> = =

,

= 12

Esempi Coordinate IN

di

COORDINATE PER PART

DA

DOMINIO FORMATO

UTL CERCHIO SUE

POLARI ,

E X Xo pcoso

+ 161

= B

=

pseno

y Yo +

= b

SEMASSI

Ellissi O

DI

per Formato PARA

ellitiche 9

da

DOMINIO

coordinate utili SUE

,

,

E apcosa

&

X +

= 181= ATTENZIONE

ab NELL'ELLISSE PERCHE

UMITAZIONI DIVERSE

DIO SONO

Le

y bpsenO ,

B

= + VIENE LEGGERMENTE CAMBIATO

V3X

ESEMPIO SE Y

X =

=

:

BS

2) 2

(x +LY-

- I sostituisco

pongo

2 e

= E X y

pcosO ELICHE

le

x

az b = = Seno 2cost

pseno = 2 p Seno

=> => =D

=

TRASLATO

elusse pseno

y = ty0 arctg

Oc

B)

(2 2 2

D

CENTRO =

=

=

, N3X RIPETO

E

POI Y = 13

2 N5CSO

213pcoso=1

! 2

B

N 1 AyO

0 pseno =D

SEMPRE

P Seno

=

= =D

=> = =

.

. = 213 02

arcty 0

Oz [

&

= =

= 2

IR2

INTEGRALI IMPROPRI IMPOSTO

HO SEGNO

QUANDO IMPROPRIO CHE

CONTROLLO L'INTEGRALE

UN IL SIACOSTANTE

INT ED :

. E'

& INT

NUMERO =D

se UN

Viene

· 8 E' INT

NON

VIENE

SE =

+8

~ perche' f

HO IN

VIENE Questo

I POSIVA

SBAGUATO cont

SE e

caso

· - ,

INTEGRALI TRIPL zx

EcR3 normale

olice al

si piano

iisperio se

xz ....

z))

[(X a(X (x

z)

7 E =13

D(R2 z)eD

(X

z)

R =

B D y y

:

:

: - = -y

= ,

, ,

, , .......

,

, , i

per it dell'integrale quindi

calcolo avremo : x

((dxdz(x z)

I((= , z)dY

f(x

z)dxdydz

f(x 3

y = ,

, ,

, C(X E)

,

COORDINATE

TH INTEGRALI

CAMBIO GLI

PER TRIPLI

. fEC(E)

8 E R Ec(RY)

: + , w)) CLAS

s(u

(h(n w) INVERBILE

AC3 w) g(u

& (u w) E

A

I E v

v :

v

v = ,

: , , ,

,

+ ,

,

, , ,

,

Operiamo La SOStuzIONE

h(4 w)

I v

X ,

= , w)

y G(u v

= ,

, w)

S(u

z v

= ,

, I e

deter

///18(h(a

Il ms)

8(x 121

z)dxydz a) 181

dudrdur

sin

gu

9 , ,

we

,,

2, to

=> , =

, , , =

ESEMPI 1R3

DI COORDINATE IN

coordinate clundriche FORMA

DOMINIO CERCHIO

ProeTATO XY

Urle Il

QUANDO Su PART

LORO

, ,

,

POSO

E X = 151

y psene P

= =

Z Z

= Cilindriche ellitiche Forma

Dominio proiettato

coordinate XY

urle il

quando Loro

ellissi

su part

O

, ,

,

apcoso

E X = 161 ab

bprene

3 = =

z Z

= ..........

coordinate Il

sferiche Quando DOMINIO Formato Parl

SFere

da

Utile è DI Esse

O

, 7

3

psenecoso 0 i

E X = e

= 2

0 &I

O

= 00

LONGITUDINE

=