Elementi di fisica

Lezione 1 - Meccanica (Modulo 1)

Cinematica

Si occupa solo (!) di descrivere movimento.

Dinamica

Studia anche le cause del movimento, in termini di forze.

Cinematica

La descrizione del moto necessita di coordinate, nella forma di sistemi di riferimento.

Lo spazio che percepiamo alla nostra scala sembra essere tridimensionale, con l’aggiunta della variabile tempo.

Dunque sono necessarie tre coordinate spaziali (solitamente indicate con x, y, z).

Cenni di teoria della misura

La Fisica è spesso definita come la scienza che studia la “realtà”. Siccome non è tanto facile dire che cos’è davvero la realtà, si è cercato fare un passo avanti definendo la Fisica come la disciplina che studia tutto quanto è misurabile. Ma che significa misurare? Vuol dire associare in qualche modo un numero (con uno strumento di misura, come vedremo) alla grandezza che si sta analizzando. In questo modo essa acquista la qualifica di grandezza fisica.

Quindi: misurare = associare un numero a una grandezza fisica.

La definizione data non è rigorosa, perché presenta problemi di circolarità logica. Infatti una grandezza fisica è proprio ciò che si può... misurare! Comunque, a livello elementare, la definizione permette di intraprendere l’analisi del mondo che ci circonda.

Grandezze fisiche

Sì: colore (nel senso di lunghezza d’onda associata alla radiazione luminosa), campo elettrico, velocità, accelerazione, corrente elettrica, energia cinetica, energia potenziale gravitazionale, energia potenziale elastica, forza, pressione (forza/superficie)...

No: colore (nel senso di giallo, verde, beige, carminio), bellezza/bruttezza, intelligenza (alla faccia del Q.I.), energia mentale, energia nervosa, energia positiva/negativa, pressione mentale, forza mentale...

Le liste che abbiamo dato non sono rigide come sembrano. Può succedere infatti che, grazie ai progressi della scienza, una quantità diventi una grandezza fisica (esempio: l’età del Sole, la composizione chimica delle stelle, la curvatura dello spazio-tempo). Però può anche succedere l’inverso!! Un esempio divenuto celebre è l’impossibilità, riconosciuta fin dal 1927, di misurare contemporaneamente velocità e posizione di un elettrone (o di altre particelle abbastanza piccole).

La cosa più importante da ricordare è questa: una misura non ha alcun valore se non esiste una stima del suo errore. L’errore è qualcosa che si può ridurre, mai eliminare completamente: quindi esiste per ogni misura. Ma come si effettuano le misure? Di solito si utilizzano strumenti di misura, in grado di fornire dati più precisi delle stime “a occhio” (comunque largamente usate dai fisici per farsi un’idea rapida dei fenomeni).

Esiste una grandissima varietà di strumenti, dal righello all’orologio atomico, ma tutti condividono alcune caratteristiche fondamentali:

• Portata: è l’intervallo massimo di valori (della grandezza fisica) che lo strumento riesce a misurare. Per esempio, la portata di un righello da 20 cm è proprio 20 cm. Un normale orologio a lancette ha una portata di 12 ore.
• Prontezza: è la rapidità di risposta dello strumento. Un termometro a mercurio impiega circa otto minuti a misurare la temperatura del corpo umano, mentre un moderno termometro digitale può fare la stessa cosa in meno di cinque secondi.
• Sensibilità: è la più piccola divisione che esiste sulla scala dello strumento. Per esempio, un normale righello ha sensibilità 1 mm, cioè la più piccola divisione apprezzabile sulla scala dello strumento.
• Precisione: è il rapporto portata/sensibilità [alcuni testi riportano il rovescio: sensibilità/portata].

Tipologia degli errori

In generale, un errore può essere:

• Accidentale: dovuto alla scarsa abilità di chi misura oppure ai limiti dello strumento.
• Casuale: generato da fluttuazioni imprevedibili.
• Sistematico: dovuto a malfunzionamento dello strumento di misura o a cause esterne di cui non si è tenuto conto.

Errori accidentali e sistematici

Un esempio di errore accidentale è quello che si verifica quando misuriamo con un normale metro a nastro l’altezza di un muro, tenendo però il nastro in posizione obliqua. In tal caso è chiaro che il valore ottenuto è superiore all’altezza effettiva del muro.

Un esempio di errore sistematico è invece quello che si ottiene misurando un intervallo di tempo con un orologio che “va avanti”. Tutti i valori in questo caso ottenuti saranno più piccoli di quelli “veri”.

Tipi di errore che ci interessa considerare

• Assoluto. Per una misura L esso si indica con ΔL (oppure con EA(L), che significa appunto “errore assoluto su A L”). Il simbolo Δ è la lettera “delta” maiuscola dell’alfabeto greco (che la Fisica saccheggia di frequente) e la scrittura ΔL si legge “delta L”: non rappresenta un prodotto! L’errore assoluto ha le stesse unità di misura (metri, kg, secondi, eccetera) della grandezza associata; quando si fa un’equivalenza sulla grandezza, anche l’errore assoluto deve essere trasformato.
• Relativo. È il rapporto ΔL/L, cioè l’errore assoluto diviso per il valore della grandezza. La notazione per esso usata è ER(L) oppure anche ΔL/L. Trattandosi del rapporto di due quantità espresse nelle stesse unità, l’errore relativo non ha unità di misura: è un numero puro, senza dimensioni. L’errore relativo è più importante dell’assoluto, perché esprime il grado di precisione di una misura.
• Percentuale. L’errore percentuale è una variante dell’errore relativo: si ottiene infatti da esso moltiplicandolo per 100. Lo si indica con E%(L). Dal punto di vista concettuale l’errore percentuale è sostanzialmente uguale all’errore relativo. La moltiplicazione per 100 avrebbe lo scopo di lavorare con meno cifre decimali e virgole.

Misura 1

Supponiamo di misurare un banco di scuola con un metro a nastro, trovando per la lunghezza il valore a = (750,0 ± 0,5) mm.

Domanda per voi: qual è la sensibilità del metro che si sta usando?

L’errore assoluto è Δa = 0,5 mm e l’errore relativo è Δa/a = 0,5/750 = 6,7 × 10^-4.

Misura 2

Misuriamo, con un fascio laser e uno specchio, la distanza tra il punto e uno specchio, la distanza tra il punto in cui ci troviamo e un punto della superficie lunare. In questo caso un valore attendibile è D = 384456 km, con un errore assoluto ΔD = 50 cm, cioè 5 × 10^-4 km.

Confrontiamo le misure di a e D: l’errore assoluto su a è mille volte più piccolo di quello su D, ma nessuno (spero) direbbe che la misura di a è più precisa. Il motivo è che D è molto più grande di a! Infatti D è misurato assai meglio di a, perché il suo errore relativo è ER(D) = ΔD/D = 5 × 10^-4 / 384456 = 1,3 × 10^-9, che è un numero cinquecentomila volte più piccolo di ER(a)!

Propagazione degli errori

Quasi sempre le misure dirette effettuate in laboratorio vengono manipolate per determinare altre grandezze fisiche in modo indiretto. Un esempio molto semplice è la misura dell’altezza e del diametro di un cilindro per calcolarne superficie e volume. Ogni volta che manipoliamo misure effettuando operazioni (moltiplicazione, divisione, elevamento a potenza, estrazione di radice, eccetera) l’errore sulla misura inevitabilmente si modifica anch’esso, o meglio: si propaga. Salvo casi eccezionali, manipolare una misura significa diminuirne la precisione.

Regole per le quattro operazioni

• Somma: date le grandezze a ± Δa, b ± Δb, l’errore assoluto sulla somma a+b è la somma degli errori assoluti. Quindi: EA(a+b) = Δa + Δb.
• Differenza: date le grandezze a ± Δa, b ± Δb, l’errore assoluto sulla differenza a−b è ancora la somma degli errori assoluti. Quindi: EA(a−b) = Δa + Δb.
• Prodotto: date le grandezze a ± Δa, b ± Δb, l’errore relativo sul prodotto a×b è la somma degli errori relativi. Quindi: ER(a×b) = ER(a) + ER(b) = Δa/a + Δb/b.
• Quoziente: date le grandezze a ± Δa, b ± Δb, l’errore relativo sul quoziente a:b è la somma degli errori relativi. Quindi: ER(a:b) = ER(a) + ER(b) = Δa/a + Δb/b.

Lezione 2 - Elementi di cinematica

Una volta fissato un sistema di riferimento con la sua origine O è possibile descrivere in ogni istante la posizione del punto P al passare del tempo t per mezzo della terna di coordinate (x(t), y(t), z(t)). L’insieme dei punti dello spazio attraversati da P al passare del tempo è detto traiettoria.

Il "punto materiale"

Spesso conviene considerare un oggetto come se fosse un punto senza dimensioni (punto materiale), dotato soltanto di massa. La validità di questa approssimazione dipende dall’oggetto, ma ancor più dal fenomeno che si sta studiando. Un esempio: la Terra non è certo un punto materiale per chi ne abita la superficie. Ma nel contesto del Sistema Solare si può descrivere la sua orbita intorno al Sole come se a percorrerla fosse un punto, di massa uguale a quella terrestre.

Un altro esempio: la traiettoria di un’auto su un lungo rettilineo può essere schematizzata come quella di un punto su una retta e se ne può scrivere l’equazione. Nel progetto dell’auto, però, l’aerodinamica ha un ruolo essenziale e per studiarla non si può certo approssimare l’auto a un punto materiale. Nella descrizione della realtà si passa poi a corpi estesi ma di forma costante (corpi rigidi) e poi – se proprio si deve – si introducono le deformazioni. Ovviamente le cose diventano molto più complicate man mano che l’approssimazione migliora. Noi resteremo quasi sempre al punto materiale...

I vettori del moto

Per una descrizione completa del moto serve definire dei vettori da associare alla traiettoria. Essi sono:

• Il vettore posizione
• Il vettore spostamento
• Il vettore velocità (media e istantanea)
• Il vettore accelerazione (media e istantanea)

Osservazioni

Il vettore posizione dipende dal sistema di riferimento scelto, il vettore spostamento no... e quindi descrive meglio la situazione. Entrambi i vettori, comunque, possono essere usati per definire i vettori velocità media e istantanea.

I grafici del moto

I grafici s(t), v(t) e a(t) sono strettamente collegati tra loro. Si può passare dall’uno all’altro attraverso l’analisi di due caratteristiche:

• La pendenza della tangente al grafico
• L’area compresa tra la curva e l’asse delle ascisse

Lezione 3 - Il moto parabolico

Si può ottenere combinando, in direzioni perpendicolari l’uno all’altro, un moto rettilineo uniforme e un moto rettilineo uniformemente accelerato. Una delle sue applicazioni più importanti in fisica è lo studio del moto dei proiettili (ammesso che rimangano vicini alla superficie terrestre): in tal caso il moto uniformemente accelerato è quello in verticale, e la causa dell’accelerazione (che è g = 9,81 m/s²) è la forza di gravità terrestre. Per poter considerare il moto orizzontale rettilineo uniforme è necessario poter trascurare la resistenza dell’aria.

Moto parabolico

È la combinazione di un moto rettilineo uniforme e di un moto uniformemente accelerato, perpendicolari tra loro. Una delle sue applicazioni più importanti in fisica è lo studio del moto dei proiettili (ammesso che rimangano vicini alla superficie terrestre): in tal caso il moto uniformemente accelerato è quello in verticale, e la causa dell’accelerazione (g = 9,81 m/s²) è la gravità terrestre.

N.B. La formula precedente vale soltanto nel caso in cui la quota di partenza e quella di arrivo siano uguali!

Risolviamo ora alcuni esercizi tipici sull’argomento...

Le relazioni di proporzionalità

Servono a studiare il comportamento di coppie di grandezze fisiche, studiandone il grado di correlazione nella maniera più semplice possibile. Sono più comunemente utilizzate: diretta, inversa, quadratica, quadratica inversa, cubica, dipendenza lineare, eccetera.

Proporzionalità diretta

È quella in cui la relazione tra due grandezze fisiche x e y si esprime attraverso la legge y = kx, dove k è una costante. Nel piano cartesiano la relazione (x,y) è illustrata da una retta, con pendenza uguale esattamente al valore k. Esempi di proporzionalità diretta: massa/volume, tensione/corrente, molla con peso/allungamento...

Dipendenza lineare

È una generalizzazione della proporzionalità diretta. La relazione tra due grandezze fisiche x e y si esprime attraverso la legge y = kx + c dove k e c sono costanti. Nel piano cartesiano il grafico è come il precedente, solo che la retta (sempre di pendenza k) non passa più per l’origine, e l’intersezione con l’asse y è un punto di ordinata uguale a c.

Proporzionalità inversa

È quella in cui la relazione tra due grandezze fisiche x e y si esprime attraverso la legge yx = k con k costante. Nel piano cartesiano la relazione (x,y) è illustrata da un ramo di iperbole equilatera: conviene allora mettere 1/x al posto di x come ascissa, così da avere ancora una retta (la cui pendenza sarà proprio k). Esempi di proporzionalità inversa: base/altezza di triangoli equivalenti, superficie e altezza di cilindri con lo stesso volume, pressione e volume di un gas ideale a temperatura costante.

Proporzionalità quadratica

È quella in cui la relazione tra due grandezze fisiche x e y si esprime attraverso la legge y = kx² con k costante. Nel piano cartesiano la relazione (x,y) è illustrata da un arco di parabola. Conviene allora mettere x² al posto di x come ascissa, per avere ancora una retta, la cui pendenza sarà proprio k. Esempi di proporzionalità quadratica: tempo di volo/altezza di un oggetto che cade, lunghezza/periodo di un pendolo semplice.

Proporzionalità quadratica inversa

È quella in cui la relazione tra due grandezze fisiche x e y si esprime attraverso la legge yx² = k con k costante. Nel piano cartesiano la relazione (x,y) è illustrata da una curva simile all’iperbole equilatera, ma non sono la stessa cosa! Conviene allora mettere 1/x² al posto di x come ascissa, e il grafico così modificato mostrerà una retta, la cui pendenza è proprio k. Esempi di proporzionalità quadratica inversa: forza e distanza tra due corpi soggetti alla gravità (legge di Newton) oppure elettrica (legge di Coulomb).

Le relazioni di proporzionalità servono soprattutto nell’analisi dei dati sperimentali provenienti da misure effettuate in laboratorio. Le nozioni teoriche qui esposte troveranno applicazione soprattutto in tale ambito.

Lezione 4 - Le forze e i principi della dinamica, applicazioni

• Il piano inclinato (con e senza attrito)
• Il pendolo semplice (approssimazione di piccoli angoli)

La dinamica

È quella parte della meccanica, nata nel ‘600, che studia le cause del moto dei corpi. In questo è spesso opposta alla cinematica, che cerca di descrivere il moto dei corpi senza investigare sulle cause. La dinamica classica (cioè quella che precede l’avvento della teoria dei quanti e della relatività) individua le forze come cause del moto. Fondamento della dinamica sono i suoi tre principi. Sono rappresentabili come vettori, quindi dotate di modulo, direzione e verso.

Esempi di forze

Forza elettrica, gravitazionale, elastica, di attrito, centripeta/centrifuga, magnetica, nucleare, vincolare… ‘forza’ elettromotrice? No!!

I principi della dinamica

1° principio [detto anche principio di inerzia, o di Galileo]

Un corpo permane nel suo stato iniziale di quiete o moto finché non interviene una causa esterna (forza) a modificarne la situazione.

Commenti: Caso particolare del 2° principio, è stato il primo ad essere formulato. La sua importanza storica è enorme perché smentisce le affermazioni di Aristotele (che avevano dominato per 18 secoli!). Il merito di Galileo è stato andare oltre le apparenze di quanto si osserva. Sulla Terra l’attrito, che è ovunque, sembra confermare l’idea aristotelica che per generare un moto rettilineo uniforme sia necessaria la continua applicazione di una forza.

2° principio [Legge di Newton]

Per un sistema in cui la massa non cambia nel tempo la somma (vettoriale) di tutte le forze esterne agenti su di esso è proporzionale all’accelerazione. La costante di proporzionalità è proprio la massa.

Commenti: È quello che trova più larga applicazione agli esercizi. L’enunciato originario di Newton utilizza il concetto di quantità di moto (che vedremo quando parleremo di urti) e vale anche per sistemi con massa variabile nel tempo.

3° principio

Il ragionamento è certamente giusto… solo fino al “quindi”, però!! Esso trascura il punto fondamentale che le due forze non si applicano allo stesso corpo, ma sempre a corpi diversi e quindi non vanno sommate tra loro.

L'attrito

Praticamente ogni sistema sulla Terra è soggetto alle forze di attrito – un fenomeno che può essere complesso da analizzare in dettaglio, ma che gioca un ruolo fondamentale nella dinamica dei sistemi fisici.